递推公式求通向
递推公式求通项
类型一：an?1?an?f(n)注意不是累加法
思路：an?1?an?f(n)①式，an?an?1?f(n?1)②式，
①-②得：an?1?an?1?f(n)?f(n?1)，讨论奇偶。
思路2（叠加法）：an?an?1?f(n?1)，依次类推有：an?1?an?2?f(n?2)、an?2?an?3?f(n?3)、…、a2?a1?f(1)，将各式叠加并整理得an?a1??f(n)，即
i?1n?1
an?a1??f(n)。
i?1n?1
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递推公式求通向
例：已知a1?1，an?an?1?n，求an。
解：方法1（递推法）：an?an?1?n?an?2?(n?1)?n?an?3?(n?2)?(n?1)?n? ……?a1?[2?3?…?(n?2)?(n?1)?n]??n?
i?1nn(n?1)。 2
方法2（叠加法）：an?an?1?n，依次类推有：an?1?an?2?n?1、an?2?an?3?n?2、…、
n?1?12an?a1?q=3n?1
2（n为奇数）
类型四：an?1?f(n)?an 累乘法
思路1（递推法）：
an?f(n?1)?an?1?f(n?1)?f(n?2)?an?2?f(n?1)?f(n?2)?f(n?3)?an?3?…?f(1)?f(2)?f(3)?…?f(n?2)?f(n?1)?a1。
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思路2（叠乘法）：anaa?f(n?1)，依次类推有：n?1?f(n?2)、n?2?f(n?3)、…、an?1an?2an?3
aa2?f(1)，将各式叠乘并整理得n?f(1)?f(2)?f(3)?…?f(n?2)?f(n?1)，即a1a1
an?f(1)?f(2)?f(3)?…?f(n?2)?f(n?1)?a1。
以a1??为首项、p为公比的等比数列，则an?n?1??a1??p，即p?1?p?1?
?q?n?1q。 an??a1?p??p?1?1?p?
例：已知数列?an?满足an?2an?1?3且a1?1，求数列?an?的通项公式。
解：方法1（递推法）：an?2an?1?3?2(2an?2?3)?3?2??2?2an?3?3??3???3?…… 第 3 页 共 3 页
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3?n?13??2??2n?1?3。 ?2n?1?3(1?2?22?…?2n?2)??1??1?2?2?1?
方法2（构造法）：设an?1???2?an???，即??3，?数列?an?3?是以a1?3?4为首项，2为公比的等比数列，则an?3?4?2n?1?2n?1，即an?2n?1?3。 类型六：an?1?pan?qan?1 三项递推
方法2（构造法）先构造等比数列an?1?san?t(an?san?1)，解得an?1?(t?s)an?tsan?1， 所以t?s??1,ts??6 ，解得两组解，分情况讨论，以t??3,s?2为例以 an?1?2an??3an?2an?1
a2?2a1为首项，q??3的等比数列，得到递推公式求解即可
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类型七：an?1?pan?rqn （p?q?0）
思路（构造法）：an?pan?1?rqn?1，设??an?1?an??q?p，则，????????n?1?nn?1nq??q??????1?q?rq
p????q
?aa1rpr??从而解得?。那么?n是以为首项，为公比的等比数列。 ???bn?bn?1???，依此类推有bn?1?bn?2????2??2?
2n、bn?2?bn?3????2?、…、n?1??1?b2?b1???，各式叠加得bn?b1????，即?2?i?2?2?
n?1?1n?1??1??1?bn?b1??????????????1??? 2i?2?2??2?i?2?2?i?1?2?nnnnn
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n??1??nn?an?4?bn?4??1?????4n?2n。
???2???
类型九：an?1?panr （an?0）
思路（转化法）：对递推式两边取对数得logman?1?rlogman?logmp，我们令bn?logman，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。
首项、为公比的等比数列，则bn?2??n?1，即bn?，?an?n?2。 n?12222?7类型十一： an?1?a?an?b（c?0、ad?bc?0） c?an?d
ax?b2即cx?(d?a)x?b?0。当特征cx?d思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为x?
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????1??1方程有两个相等实根x1?x2??时，数列?我们可设?为等差数列，?即?a?da???n??an??2c??
11；当特征方程有两个???（?为待定系数，可利用a1、a2求得）a?da?dan?1?an?2c2c
不等实根x1、x2时，数列??an?x1
?a1?x1是以为首项的等比数列，我们可设?
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常见递推数列通项公式的求法
【典型例题】
[例1] an?1?kan?b型。
（1）k?1时，an?1?an?b?{an}是等差数列，an?b?n?(a1?b)
n?1n∴ an?1?kan?(k?1)An?(k?1)B?A
∴ ?ba?(k?1)A?aa， 解得：A? B??2k?1(k?1)k?1?(k?1)B?A?b
∴ {an?An?B}是以a1?A?B为首项，k为公比的等比数列
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∴ a?An?B?(a?A?B)?kn?1 n1
∴ a?(a?A?B)?kn?1?An?B 将A、B代入即可 n1
（3）f(n)?qn（q?0，1）
等式两边同时除以qn?1得an?1kan1??n?
n?1qqqq
解：设an?1?m?2(an?m) an?1?2an?m ∴ m?1
∴ {an?1?1}是以4为首项，2为公比为等比数列
∴ a?1?4?2n?1 ∴ a?2n?1?1 nn
2. 已知{an}的首项a1?1，an?1?an?2n（n?N*）求通项公式。
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解：an?an?1?2(n?1)
an?1?an?2?2(n?2)
an?2?an?3?2(n?3)……
a3?a2?2?2
1bn?2?bn?3?n?2…… 2
1b3?b2?3 2 1b2?b1?22 第 10 页 共 10 页
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11n?1[1?()]211111bn?b1?2?3???n???n 1222221?2
nn1112?12∴ b?? ∴ a? ??nnnnn22222?1
5. 已知：a?1，n?2时，an?1
1an?1?2
n?1，求{an}的通项公式。
n（1）求证：{1为等差数列 （2）求{an}的通项公式 Sn
1(an?2)2 86. 已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足Sn?
（1）求证：{an}是等差数列 （2）若bn?1an?30求{bn}的前n项和的最小值 2 第 11 页 共 11 页
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参考答案：
1. 解：由an?1?an?2n，得an?an?1?2n?1
n?2……∴ a?a?2n?1，a?a nn?1n?1n?2?2a2?a1?2
n?12(1?2)n∴ a?a? ∴ a?2n?2?a?2n?1
?2?2n1n11?2
12)?21?（2）Sn? ∴ an?(n?2) 212n?14n?8n?32??12n?12(
?1?又 ∵ a1?1 ∴ an???2??4n2?8n?3
第 12 页 共 12 页 n?1(n?2)
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6. 解：（1）a1?S1?1(a1?2)2 ∴ a1?2 8
11n?2时，an?Sn?Sn?1?(an?2)2?(an?1?2)2 88
整理得：(an?an?1)(an?an?1?4)?0
∵ {an}是正整数数列 ∴ an?an?1?0 ∴ an?an?1?4
张老师常年带高三毕业班，通过大量的高考习题及毕业班经验，整理的原创（部分习题予以借鉴）模板学案，谨希望各位老师与同学参考，禁止售卖转让，尊重作者版权，谢谢！ 最后预祝各位同学高考金榜题名！
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