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管理类联考初数（一）整除
1、数的整除
整除的定义：当整数a除以非零整数b，商正好是整数而余数为零时，则称a能被b整除，或b
能整除a，记作b∣a。
当b∣a时，称a是b的倍数，b是a的约数（因数）。
0能被任何整数整除，1能整除任何整数。
整除的性质：
1、传递性：若a∣b，b∣c，则a∣c
2、可加可减性：若a∣b，a∣c，则a∣（b±c）
3、可乘性，若a∣b，则a∣m×b
4、可拆性：若ab∣c，则a∣c，b∣c
5、★互质可除性：若a∣mb，且（a，m）=1，则a∣b
（注：（a，m）即两数的最大公因数，（a，m）=1代表两数互质。关于最大公因数和互质的知识将在后面介绍，如果同学们已经遗忘可以翻到相应篇章进行学习。）
例1：若a∣b，b∣c，则当m=（）时，m∣c。
（A）a?b（B）b（C）a?b（D）b?a（E）ab a
解析：令b?Ma,c?Nb?MNa(M,N?正整数）
例2：n是一个整数。 14
3n也是一个整数； 14
n（2）n是一个整数，且也是一个整数。 7（1）n是一个整数，且
解析：利用整除性质做题
3n是一个整数，14∣3n，由于（14，3）=1，所以14∣n 14
n条件（二）是一个整数，n∣7，根据整除性质无法推出n∣14。 7条件（一）
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所以选（A）
整除的特征（用处：快速判别某数能否被常用数整除或快速分解质因数）
能被2/5整除的数：个位能被2/5整除；
能被3/9整除的数：各数位数字之和必能被3/9整除；
能被4/25整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4/25整除；
能被11整除的数：奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除。
能被7、11、13整除的数（末三位法）：将后三位与前几位做差（大减小），判断差能否能被7/11/13整除。
例3：数A能被11整除。
（1）A是形如abcabc的数（a是1~9的整数，b、c均为0~9的整数）；
?321 （2）A=3232?????
10个32
解析：直接利用整除特征做题
条件（1），利用末三位法，abc－abc=0，11∣0，所以abcabc是11的倍数；
条件（2）利用奇偶数位和做差法，奇数位之和：3×10+1=31，偶数位之和2×10=20，差为31－20=11，是11的倍数，所以（2）也充分
答案选（D）
例4：一个班的同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则
这班的人数 （）
（A）一定是4的倍数 （B）不一定是4的倍数 （C） 一定不是4的倍数
（D） 一定是2的倍数，不一定是4的倍数 （E）以上均不正确
解析：通过分析具体的情境判断数的性质
设有同学A1，和他（她）同性的仍记为A2，异性的记为B，则A两侧的排列应该是A2A1B1B2，说明在这些同学中，任取相邻的四个人都是两男两女，所以必是四的倍数。选A。
连续n个数乘积可被n整除原则。连续n个正整数之积一定是n的倍数。
推广：连续n个数乘积一定是n！的倍数。
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例5：若n是一个大于100的整数，则n3?n一定有约数 （）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （E）以上均不正确
解析：利用连续n个数乘积可被n！整除原则。
n3?n=?n?1?n?n?1?，有定理：连续k个数的乘积一定能被k整除。所以?n?1?n?n?1?既能被2整除，又能被3整除，故选B。
练习题：
1.从1到120的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（ ）个。
（A）64 （B）48 （C）56 （D）46 （E）55
2.如果2m是3的倍数，3m是2的倍数，那么m必然是（ ）的倍数。
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （E）9
3.m?n。
（1）m|n,且n|m；
（2）m?n且n?m。
4.一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是（ ）
（A）858（B）855 （C）852 （D）849 （E）868
5.9a是整数。 28
9ap（p，q是互质的正整数），是一个整数； 14q
7ap（p，q是互质的正整数），是一个整数。 16q（1）若a?（2）若a?
6、若m?n(n?2)(n?4)，则m（ ）
（A）必然是2的倍数
（B）必然是3的倍数
（C）必然至少是6的倍数
（D）必然不能被任何数整除
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（E）不一定是某个数的倍数
7、有（ ）个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的各位数字都能整除它本身。
（A）10 （B）7 （C）8 （D）5 （E）6
8、下面说法中有（ ）是正确的。
（1）0可以被任何整数整除；
（2）如果a|c,b|c,a?b则ab|c；
（3）一个数是4的倍数，必然是2的倍数；
（4）如果1078是7的倍数，3647也是7的倍数，那么1078（m,nm?3647n必然也是7的倍数。是正整数）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4
练习题讲评：
1、前120个正整数中，能被3整除的数有40个，能被5整除的数有24个，能同时被3和5整除的数（即能被15整除）有8个。
根据容斥原理（后文将有介绍），要求的应该是40+24－8=56个。选（C）
2、显然m必然是2和3的倍数，即是6的倍数。选（C）。
3、两个数互为倍数，这两个数必然相等，条件（1）充分；条件（2）显然也充分，选（D） 4、17的两位数倍数最大是85，个位最大是8时，组成的三位数能被3整除。选（A）
5、条件（1），当a?14时，显然结论不成立，条件（1）不充分；条件（2），当a?16时，显然结论不成立。
条件（1）（2）联合起来，p既是14的倍数，又是16的倍数，q既是9的约数又是7的约数，可见q=1，p是112的倍数。显然a是28的倍数。选（C）
6、显然当n为奇数时，m是个奇数，不能被2整除。再看一下能否被3整除，此时n除以3的结果只有三种可能：整除、余1、余2，逐一验证发现三种情况下，m都能被3整除，选（B）。
7、奇数共有1、3、5、7、9五个，无论选哪四个，都必然会有3或9，说明这个四位数必然能被3整除，则这四个数之和必然能被3整除。这样的四个数可以是1、3、5、9（大家可以验证其它都不可以）。由于有5存在，个位必须是5。前三位共有6种排法。选（E）
8、（1）显然当除数为0时不成立；（2）当a?3,b?6,c?12时，显然不成立。所以整除的可拆
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性不可逆。（3）根据整除的传递性，成立。（4）根据整除的可乘可加性，成立。选（C）。
2.奇数和偶数
概念与知识点
偶数：能被2整除的整数叫做偶数（双数）。如－2，0，2，4，6，?
奇数：不能被2整除的整数叫做奇数（单数）。如－1，1，3，23，?
显然有：整数??奇数 。
?偶数
奇数与偶数的运算性质：
奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数；
奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数；
奇数个奇数之和还是奇数，奇数个偶数之和还是偶数，偶数个奇数之和是偶数，偶数个偶数之和还是偶数。
奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数； 在整数的加减运算中，加减号互变，结果的奇偶性不变。
一般设2n是偶数，设（2n－1）或（2n+1）是奇数。（n∈Z）
两个相邻的数必定一奇一偶。
??x?
n?xn,n是偶数??n ??x,n是奇数x，当n是奇数时，x可以为任意实数；当n是偶数时，x只能是非负数。
体验奇偶数“交叉排列”的含义*。
基本做题思路：
例1：有偶数位来宾。 （根据12年第20题改编）
（1）聚会时所有来宾都被安排坐在一张圆桌周围，且每位来宾与其邻座性别不同。
（2）所有来宾坐成一排，每位来宾与其邻座性别不同。
例2：m为偶数
（1）设n为整数，m=n（n+1）
（2）在1，2，3，??1988这1988个自然数中每相邻两个数之间任意添加一个加号或减号，设
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这样组成的运算式的结果是m。
例3：象棋中的“马”每次走棋总是沿“日”字的对角线 进行，那么经过n次过后，“马”有可能跳回到最初的位置。
（1）n=3
（2）n=4
例4：如果有理数m<0，则（ ）
（A）当n为偶数时，??1??m2nn?1?0
（B）当n为奇数时，??1??mnn?1?0
2nn?1（C）当n为任意自然数时，??1??m
（D）当n为任意自然数时，??1??m2n?0 ?0 n?1
（E）当n为偶数时，??1??mnn?1?0
练习题：
1.已知m，n是正整数，则m是偶数。（12年第18题）
（1）3m+2n是偶数。
（2）3m2+2n2是偶数。
2.m为偶数。
（1）一个三位数依次减去构成这个数的三个数字所得的差为m。
（2）一个两位数，颠倒次序后形成一个新的两位数，将这两个两位数相加，所得的和为n，再将n所有数位上的数字相加，得m。
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3.一个转盘被平分成20小格，指针停到偶数号格，就可以得大奖，则小明有可能得到大奖。
（1）小明先用骰子随意掷出一个6以内的整数N，指针先指到N所在的位置，再继续向前转动2N格。
（2）小明先用骰子随意掷出一个6以内的整数N，指针先指到N所在的位置，再继续向前转动N格，再倒退一格。
4、m是偶数。
（1）若干个人相互各握手一次，每个人的握手次数之和为m；
（2）若干个人相互各握手一次，握手次数为奇数的人数为m。
3.质数和合数
概念与知识点
质数（素数）：如果一个大于1的正整数，只有1和它本身两个约数，那么这个正整数就叫做质
数。
合数：除了1和本身之外还有其他约数的正整数叫做合数。
最小的质数是2，质数中为偶数的数是2，最小的合数是4。
100以内的质数（25个，记住30以内的）：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29
31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
质数与合数判别法：
对于一个不很大的自然数N（N>1，N为非完全平方数），从质数2开始用不同的质数试除N，如果能被某质数整除，则说明N是合数，否则继续用下一个质数试除；如果试到质数P，发现P2>N时，无需再试，N为质数。
例1：三名小孩中有一名学龄前儿童（年龄不足6岁），他们的年龄都是质数，且依次相差4岁，他们的年龄之和为 （ ）
（A）21 B）27 （C）33 （D）39 （E）51
解析：考察30以内的具体质数
最小的质数小于6，可能是2、3或者5，如果是2或5的话都不符合题意，答案只能是3、7、11。选（C）。
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例2：已知三个质数a,b,c，满足a?b?c,a?c?36，那么a?b?c?（ ）
（A）36（B）38（C）39（D）40（E）72
解析：利用质数的奇偶性做题。
如果a、b、c全是奇数的话，原式不可能成立。所以这三个数中必有一个为2。验证后发现只有b可以为2，所以原式=36+2=38。选（B）。
例3：已知三个质数a,b,c满足a?b?c?abc?99，那么a?b?b?c?a?c的值等于（ ）。
（A）30 （B）31 （C）32 （D）33 （E）34 解析：连续利用质数的奇偶性做题。
如果a、b、c全是奇数的话，原式不可能等于奇数。所以这三个数至少有一个为2，不妨设是a=2。原式=2+b+c+2bc=99，可以看出b、c应该是一奇一偶，不妨设b=2，可以求出c=19。选（E）。
例4：有几个质数（素数）的乘积为770，则他们的和为（ ）（14年第9题）
（A）85 （B）84 （C）28 （D）26 （E）25
解析：利用分解质因数做题
将770分解质因数，得770=2×5×7×11，可知这几个数分别是2、5、7、11。
所以选E
例5：m是质数，满足m=n2+4n－5（n为正整数），则m+ n=（ ）
（A）7 （B）9 （C）10 （D）11 （E）15
解析：利用质数m仅能表示成m=1×m解题。
M=n2+4n－5=（n－1）（n+5）
n?1,n?5两个式子中，必有一个为1，另一个为m，显然只能是n?1为1，则n?2,m?7,m?n?9，选B。
练习题：
1.在20以内的质数中挑出6个数，使其两个一组分成三组，且每组两个数之和相等。则这6个数
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之和为（ ）
（A）42 （B）51 （C）66 （D）72 （E）81
2.三个质数之积恰好等于它们和的5倍，则这三个质数之和为（ ）
（A）11 （B）12 （C）13 （D）14 （E）15
3.用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是m，最大是n，则n－m等于（ ）
（A）360 （B）345 （C）330 （D）375 （E）390
4.如果两数和为64，两数积可以整除4875，那么这两数的差为（ ）
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15 （E）17
5.有一个两位质数，其个位数、十位数都是质数，且前后颠倒后仍是个两位质数，则这两个两位质数的和是（ ）
（A）55 （B）88 （C）66 （D）99 （E）110
6.A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数，满足要求最小的质数A的值为m，则m2+m+1为（ ）
（A）55 （B）13 （C）21 （D）43 （E）31 7.甲乙两人的岁数之和是一个两位数，这个两位数是一个质数，这个质数的各个数位数字之和是13，甲比乙也刚好大13岁，那么甲乙两人的岁数之积是（ ）
（A） 900 （B）1000 （C）1080 （D）1280 （E）1500
8.把60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能地小，那么最大的质数是m。
（1）大于?3的负整数有m个；
（2）m=7。
9.三个人的年龄之积为1771，他们中最小的也已经上了小学。那么三人年龄和是（ ）
（A）41 （B）51 （C）61 （D）71 （E）81
10.若x，y是质数，则1000x+4y=2012。
（1）xy是偶数；
（2）xy是6的倍数。
11、有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数中最大的与最小的之差为（ ）。
（A）101 （B）599 （C）367 （D）891 （E）921
练习题讲评： 13
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1.前20以内的质数有8个：2、3、5、7、11、13、17、19，找出其中和相等的三组分别为5+19,7+17,11+14。则和为72，选（D）。
2.abc?5(a?b?c)，显然三个数中有一个为5，不妨设a?5，原式可化为bc?5?b?c， (b?1)(c?1)?6，显然只有b,c为2,7时才能成立。选（D）
3.显然这个三位数个位是5，另两位是2、3、7中的两个。要保证能被3整除，剩下的两个必须是3和7。所以最大的三位数是735，最小的是375，差了360，选（A）。
4.先将4875分解质因数：4875=5×5×5×3×13，其中小于64的约数有1、3、5、13、15、25、39，其中相加为64的是25和39，差为14，选（C）。
5.显然这样的两位数可以是37和73。选（E）
6.尝试可知A最小是5。选（E）
7.将数位之和为13的两位数都列出来，其中满足是质数的只有67，再通过甲比乙大13岁，求出甲、乙分别是40和27岁。选（C）。
8.首先对结论进行分析，求出m的具体值。既然要求最大的质数尽可能小，则这十个质数应该尽可能地接近。根据平均数为6可知最小的应为5，最大的应为7，此时60=5+5+5+5+5+7+7+7+7+7，所以m=7。条件（1）符合条件的只有?3,?2,?1三个，不充分。条件（2）显然充分。选（B）
9.将1771分解质因数：1771=11×7×23，根据最小的已经上了小学，所以三人年龄只能是7岁、11岁、23岁。选（A）
10.条件（1）说明x,y中至少有一个为2，不充分；条件（2）说明x,y一个为2，另一个为3，也不充分。联合起来等同于条件（2）。选（E）
11.显然这三个数字必有两个为1，一个为质数。这样的三位数最大为711，最小为112。选（B）
4.最小公倍数、最大公约数
最大公约数：几个数公有的约数，叫这几个数的公约数；其中最大的一个，叫这几个数的最大公约数，整数a、b的最大公约数用符号表示为（a，b）。
最小公倍数：几个数公有的倍数，叫这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫这几个数的最小公倍数，整数a、b的最小公倍数用符号表示为[a，b]。
互质数：公约数只有1的两个数称为互质数。
两个相邻的正整数必定互质（n和n+1互质）。
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求最大公约数/最小公倍数的方法：
A、依次分别写出a、b的约数/倍数，从两组数中找出最大/最小的相同的数，即是最大公约数/最小公倍数。
B、将a、b分别因式分解，最大公约数是取每个质因数在所有数中出现的最低次后，再把这些最低次质因数相乘求积。最小公倍数是取每个质因数在所有数中出现的最高次后，再把这些最高次质因数相乘所得的积。
如：a?22?32,b?2?33?7，则[a,b]?22?33?7，(a,b)?2?32
C、辗转相除法
求两数的最大公约数时，可以保留其中较小数，将大数去掉，改成大数除以小数的余数，此时求出来的最大公约数不变。如此可以反复辗转相除，直到一数是另一数的倍数。（适用于数比较大时）
如：（72，84）=（72，12）=12
（24，34）=（24，10）=（4，10）=（4，2）=2
求出最大公约数后，再利用后面所讲的公式求出最小公倍数。
说明：实际做题过程中，往往是“看”出来的。比如求（180，108） ，一眼看出两数有公因数9，则（180，108）=9×（20，12）；又看出来20和12有公因数4，此时原式=9×4×（5，3），而5和3显然是互质的，所以（180，108）=9×4=36。
性质：
A、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数；
两个自然数的最小公倍数分别除以这两个数，所得的商是互质数。
B、两个数的公约数一定是它们最大公约数的约数；
两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数。
C、两个数的和或差是它们最大公因数的倍数。
D、两个数如果有倍数关系，则它们的最小公倍数为较大数，最大公约数为较小数。
E、重要公式：（a，b）×[a，b]=a×b
比较：集合公式：A∪B=A+B-A∩B
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重要方法：对于两个数a，b，如果设（a，b）=p的话，那么可设a=m×p，b=n×p，（m，n互质），则[a，b]=m×n×p
基本做题思路
例1：已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，符合条件的两个数有（ ）组。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （E）5
解析：利用重要方法解题。
设两个数分别为15m，15n，（m，n）=1，则15m+15n=165，m+n=11
显然，满足要求的只有（1，10）（2，9）（3，8）（4，7）（5，6）五组。
选（E）
例2：有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是k，则k的各个数位
上的数之和为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）6
解析：利用重要方法做题
选（A）
例3： 今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆。每堆中这三种课本的数量分别相同，那么最多可以分（ ）堆。
（A）10 （B）12 （C）14 （D）15 （E）20
解析：利用最大公约数解题。
如果分成了x堆，显然42、112、70都是x的倍数，x是这三个数的公约数，要想让x最大，即是求三个数的最大公约数。
选（C）。
例4：今天小明、小玲和小红同时来到图书馆看书，其实三个人的看书时间非常有规律，小明是每12天去一次图书錧，小玲每15天去一次，小红每20天一次。那么，下次三个人再同时出现在图书馆应该是再过（ ）天。
（A）30 （B）40 （C）50 （D）60 （E）180
解析：利用最小倍数做题。
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假设再过x天三人同时来到图书馆，显然x必须是12、15、20的倍数，“最近一次”即求三者的最小公倍数。选（D）
练习题
1.教师节到了，校工会买了320个苹果，240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工，请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？
（A）10 （B）15 （C）18 （D）20 （E）40
1.显然是求三个数的最大公约数。选（E）
2.（m，n）=23
（1）m－n=23，且23|n；
（2）[m，n]=138，且m，n都是两位数。
2.条件（1）可知，(m,n)?(23,n)?23，充分；条件（2）可知，m|138,n|138，由于138=2×3×23，所以两数只能是23、2×23、3×23，其中最小公倍数为138的只能是2×23和3×23，显然二者的最大公约数为23，充分。选（D）
3.已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为372，满足上述条件的数一共有多少组（不考虑次序）？
（A）12 （B）15 （C）20 （D）30 （E）31
3.利用重要方法，设两个数分别为A、B，且A?6m,B?6n(m,n互质），则6m?6n?6(m?n)?372,m?n?62，由于62=2×31，所以，m,n不能是2或31的倍数（否则就不互质）。将1到31中去掉偶数，去掉31，还剩下15个数。选（B）
4.加工某种零件时，要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成3个零件；第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个零件。要使三道工序生产均衡，三道工序总共最少分配（ ）名工人。
（A）15 （B）16 （C）19 （D）20 （E）25
4.要使生产均衡，各道工序生产的零件总数应该相等，并分别是3、10、5的倍数。要使工人最少，则是求零件总数的最小公倍数[3,10,5]=30，则第一道工序需要10名工人，第二道工序需要3名工人，第三道工序需要6名工人。共需要19名，选（C）
5.两个正整数中，甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90。如果甲数是18，那么乙数是
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m，则m的各个数位之和为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）6
5.利用重要公式求出A?(A,B)?[A,B]?B?90?6?18?30。选（B）
6.两个正数的最大公约数是6，最小公倍数是90，满足条件的两个正整数组成的大数在前的数对共有（ ）
（A）0对 （B）1对 （C）2对 （D）3对 （E）4对
6.利用重要方法设A?6m,B?6n,则6mn?90,mn?15，又因为m,n互质，所以只能是1和15、3和5。选（C）
7.某赛车跑道上，A车一分钟可跑2圈，B车一分钟可跑3圈，C车一分钟可跑4圈，现在三车从同一地点出发，则（ ）分钟后， 三车第一次并排出现在起跑线上。
（A）1/2 （B）1 （C）6 （D）12 （E）16
6.此题要注意是“一分钟跑2圈”，而不是“2分钟跑一圈”，谨防误求2、3、4的最小公倍数。实际求的是111,,的最小公倍数。对于分数的最小公倍数我们没有专门讲解，可以按照最基本的236
思路分别将三个数的2倍、3倍、4倍、??列出来，找到大家公有最小的倍数即为最小公倍数。此题比较简单，可以直接看出来是一分钟。选（B）
8.已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，则这两个数的最大公约数为（ ）
（A）10 （B）12 （C）15 （D）20 （E）30
8.设两个数分别是am,an,其中m,n互质且m?n，a为两个数的最大公约数。则amn?60,a(m?n)?48,m?n4?，尝试中得m?5,n?1，此时a?12。选（B） mn5
9.9.已知两个正整数的和不超过50，差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差也30，符合
为
条件的两个数有（ ）组。
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （E）8
10.已知两个自然数的最大公约数是4，最小公倍数是120，则这两个数之和为m。
（1）绝对值不大于11.1的整数有m个；
（2）绝对值不大于21.1的整数有m个。
5.余数与同余
余数：x除以A余r，记作：x÷A=m?r
则有①A |（x—r）;②r<A。
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