一、选择题
1．[2016·山东莱芜模拟]已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝f?2x?() log?2－x?2
?3?A.?2，＋∞? ???3??C.2? ???3?B.?22? ???1??D.22? ??
答案 B
解析 要使函数y＝f?2x?有意义，需满足 log1?2－x?2
?3≤2x≤6，?log1?2－x?>0?2 ?3≤x≤3，??2?0<2－x<1 3?2x<2.故选B.
2．[2014·湖南高考]已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()
A．－3
C．1
答案 C
解析 令x＝－1得，f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.∵f(x)，g(x)分别是偶函数和奇函数，
∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
即f(1)＋g(1)＝1.故选C.
3．[2014·全国卷Ⅰ]设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()
A．f(x)g(x)是偶函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
答案 C B．|f(x)|g(x)是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 B．－1 D．3
解析 由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.
4．[2016·辽宁实验中学月考]函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
?5??7?A．f(1)<f?2<f?2? ????
?7??5?B．f2<f(1)<f?2 ????
?7??5?C．f2<f?2<f(1) ????
?5??7?D．f?2<f(1)<f?2? ????
答案 B
解析 ∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(x)＝f(4－x)，
?5??3??7??1?∴f2?＝f?2，f?2＝f?2. ????????
13又2<1<2<2，f(x)在[0,2]上单调递增，
?1??3??7??5?∴f2?<f(1)<f?2，即f?2?<f(1)<?2. ????????
?π??2sin26x???x
5．[2016·山西四校联考(三)]函数y＝
( )
4x－1的图象大致为
答案 D
解析 y＝?π???＋6x2sin2??x
4－12xcos6xcos6x＝＝，由此容易判断函数为2－12－2－奇函数，可以排除A；又函数有无数个零点，可排除C；当x取一个较小的正数时，y>0，由此可排除B，故选D.
6．[2016·湖北黄冈一模]已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)．若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为( )
1A.2，2
2C.2，2 答案 A
解析 (数形结合求解)
??log2x，x≥1，f(x)＝|log2x|＝? ??－log2x，0<x
<1，1B.24 1D.44
根据f(m)＝f(n)(m<n)及f(x)的单调性，知mn＝1且0<m<1，n>1. 又f(x)在[m2，n]上的最大值为2，由图象知：f(m2)>f(m)＝f(n)， ∴f(x)max＝f(m2)，x∈[m2，n]．
1故f(m)＝2，易得n＝2，m＝22
7．如图，过单位圆O上一点P作圆O的切线MN，点Q为圆O上一动点，当点Q由点P逆时针方向运动时，设∠POQ＝x，弓形PRQ的面积为S，则S＝f(x)在x∈[0,2π]上的大致图象是(
)
答案 B
解析 S＝f(x)＝S11112＋S＝(2π－x)·1＋sinx＝π－＋扇形PRQ△POQ2222
1sinx，则f′(x)＝2x－1)≤0，所以函数S＝f(x)在[0,2π]上为减函数，
当x＝0和x＝2π时，分别取得最大值与最小值．又当x从0逐渐增大到π时，cosx逐渐减小，切线斜率逐渐减小，曲线越来越陡；当x从
π逐渐增大到2π时，cosx逐渐增大，切线斜率逐渐增大，曲线越来越平缓．结合选项可知，B正确．
8．[2016·辽宁五校第二次联考]已知f(x)是定义在R上的偶函数，
?1?在区间[0，＋∞)上为增函数，且f?3?＝0，则不等式f(log1 x)>0的解??8
集为( )
?1?A.?2，2? ??B．(2，＋∞)
?1???∪(2，＋∞) 1D.2??1????0C.2?∪(2，＋∞) ?
答案 C
?1?解析 由已知f(x)在R上为偶函数，且f?3＝0， ??
?1?∴f1 x)>0等价于f(|log1x|)>f?3. ??88
又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
111111∴|logx|>3，即log8>3log x<－3，
88
1解得0<x<2x>2，故选C.
二、填空题
9．[2015·山东高考]已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
3答案 －2解析 ①当0<a<1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递减，由题意可
－1???f?－1?＝0，?a＋b＝0，得?即?0 ?f?0?＝－1，???a＋b＝－1，
?a＝1解得?2
?b＝－2， 3，此时a＋b＝－2
②当a>1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递增，由题意可得
－1???f?－1?＝－1，?a＋b＝－1，?即?0显然无解． ?f?0?＝0，???a＋b＝0，
3所以a＋b＝－2.
10．[2016·浙江杭州模拟]已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下
1三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝y＝f(x＋f?x?
1)的图象关于y轴对称；③对于任意的x1，x2∈[0,1]，且x1<x2，都有
?3?f(x1)>f(x2)．则f?2，f(2)，f(3)从小到大排列是________． ??
?3?答案 f(3)<f?2<f(2) ??
1解析 由①得f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝＝f(x)，所以函数f(x)f?x＋1?
的周期为2.因为函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得y＝f(x)的图象，所以函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，根据③可知函数f(x)在[0,1]上为减函数，又结合②知，函数f(x)在[1,2]上为增函数．因为f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在区间[1,2]
3上，1<2<2，
?3??3???所以f(1)<f2<f(2)，即f(3)<f?2<f(2)． ????
三、解答题
11．[2015·安徽淮北质检]定义在(－1,1)上的函数f(x)，对任意x，
?x＋y?，且当x∈(－1,0)时，f(x)>0.回答y∈(－1,1)都有：f(x)＋f(y)＝f?1＋xy??
下列问题：
(1)判断f(x)在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由；
?1?1?1??1??1???(3)若f5＝2f?2?－f?11?－f?19的值． ????????
解 (1)令x＝y＝0?f(0)＝0，
令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝0?f(－x)＝－f(x)?f(x)在(－1,1)上是奇函数．
(2)设0<x1<x2<1，
?x1－x2?， 则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f?1－xx12??
x1－x2而x1－x2<0,0<x1x2<1?1－x1x2
x1－x2?1＋x1??1－x2?又－(－1)＝， 1－x1x21－x1x2
?x1－x2?x1－x2>0， 故－1<<0，则f?1－xx1－x1x212??
即当0<x1<x2<1时，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0,1)上单调递减．
?1??1??1??1?(3)由于f?2?－f5?＝f?2＋f?－5 ????????
?11?25??1?＝f＝f?3. 1?1－????2×5?
?1??1??1?同理，f?3－f?11＝f?4， ??????
?1??1??1??f4－f?19＝f?5?， ??????
?1??1??1??1?1∴f2?－f?11?－f?19＝2f?5＝22＝1. ????????
12．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x＋1)＝f(x－1)成立，已知当x∈[1,2]时，f(x)＝logax.
(1)求x∈[－1,1]时，函数f(x)的表达式；
(2)求x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)时，函数f(x)的表达式；
1(3)若函数f(x)的最大值为2[－1,3]上，解关于x的不等式
1f(x)>4解 (1)因为f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(x)，
??loga?2＋x?，x∈[－1，0]，所以f(x)＝? ?loga?2－x?，x∈?0，1].?
(2)当x∈[2k－1,2k]时，
f(x)＝f(x－2k)＝loga(2＋x－2k)，
同理，当x∈(2k,2k＋1]时，
f(x)＝f(x－2k)＝loga(2－x＋2k)，
??loga?2＋x－2k?，x∈[2k－1，2k]，所以f(x)＝? ??loga?2－x＋2k?，x∈?2k，2k＋1].
(3)由于函数是以2为周期的周期函数，故只需要考查区间[－1,1]，
1当a>1时，由函数f(x)的最大值为2
1知f(0)＝f(x)max＝loga2＝2，即a＝4，
1当0<a<1时，则当x＝±1时，函数f(x)取最大值为2
1即loga(2－1)＝2
综上所述a＝4.
当x∈[－1,1]时，若x∈[－1,0]，
1则log4(2＋x)>42－2<x≤0；
1若x∈(0,1]，则log4(2－x)>4，
所以0<x<2－2，
所以此时满足不等式的解集为(2－2,2－2)，
1因为函数是以2为周期的周期函数，所以在区间[－1,3]上，f(x)>4
的解集为(2，42)，
综上所述不等式的解集为(2－2,2－2)∪2，4－2)．
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