一、选择题
1．[2016·天津津南一模]平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－
→→→
1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()
A．直线
C．圆
答案 A
→→→
解析 设C(x，y)，因为OC＝λ1OA＋λ2OB，所以(x，y)＝λ1(3,1)
??x＝3λ1－λ2，＋λ2(－1,3)，即? ??y＝λ1＋3λ2，B．椭圆 D．双曲线
?
解得?3y－x?λ10，2y＋3xλ110， 又λ1＋λ2＝1，
y＋3x3y－x所以10101，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A.
2y2．[2016·长春质检]过双曲线x2－151的右支上一点P，分别向
圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为()
A．10
C．16
答案 B
解析 由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13.故选B. B．13 D．19
x2y2
3．[2016·山西质检]已知F1、F2分别是双曲线a－b＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2面积的最大值是( )
A．1
5C.3
答案 B
??|PF1|＝2|PF2|，解析 ∵? ??|PF1|－|PF2|＝2a，4B.3D．2
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
16a2＋4a2－45a2－1设∠F1PF2＝θ，∴cosθ4a 2×4a×2a
?1?2?∴S△PF1F2＝2×4a×2a×sinθ? ??2
?25a4－10a2＋1? ＝16a?1－16a??4
16?25?216＝9－9?a－9≤9， ??
54当且仅当a2＝9S△PF1F23，故选
B.
4．[2016·云南统检]已知双曲线M的焦点F1、F2在x轴上，直线
→→
7x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且PF1·PF2
→
＝0，如果抛物线y2＝16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么|PF1→
|·|PF2|＝( )
A．21
C．7
答案 B B．14 D．0
x2y2
解析 设双曲线方程为ab1(a>0，b>0)， ∵直线7x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，
b7∴a3
又抛物线的准线为x＝－4，∴c＝4②
又a2＋b2＝c2③
∴由①②③得a＝3.
设点P为双曲线右支上一点，
∴由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝6④
→→
又PF1·PF2＝0，
→→
∴PF1⊥PF2，
→→2∴在Rt△PF1F2中|PF1|＋|PF2|2＝82⑤
→→
联立④⑤，解得|PF1|·|PF2|＝14.
二、填空题
5．[2016·河南洛阳统考]已知F1、F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．
答案 x＝－2
x2y2解析 将双曲线方程化为标准方程得a－3a＝1，抛物线的准线
22xy?＝1，为x＝－2a，联立?a3a?x＝3a，即点P的横坐标为3a.而
?y2＝8ax
??|PF1|＋|PF2|＝12，由??|PF2|＝6－a，又易知F2为抛物线的焦点， ?|PF|－|PF|＝2a?12
∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的准线方程为x＝－2.
6．[2016·南昌一模]已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点．设直线l是抛物线C的
→→
切线，且l∥MN，P为l上一点，则PM·PN的最小值为________．
答案 －14
解析 由题意知F(0,1)，所以过点F且斜率为1的直线方程为y＝x＋1，代入x2＝4y，整理得x2－4x－4＝0，解得x＝2±2，所以可取M(2－2，3－22)，N(2＋22，3＋2)，因为l∥MN，所以可设l的方程为y＝x＋m，代入x2＝4y，整理得x2－4x－4m＝0，又直线l与抛物线相切，所以Δ＝(－4)2－4(－4m)＝0，所以m＝－1，l的方
→→
程为y＝x－1.设点P(x，x－1)，则PM＝(2－x－2，4－x－2)，PN
→→
＝(2－x＋22，4－x＋2)，PM·PN＝(2－x)2－8＋(4－x)2－8＝2x2－12x＋4＝2(x－3)2－14≥－14.
7．[2016·石家庄质检]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tan∠AMB＝2，则|AB|＝________.
答案 8
解析 依题意作出图象如图所示，设l：x＝my＋1，A(x1，y1)，
2??y＝4x，B(x2，y2)，由?得，y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝??x＝my＋1
2y2y2－4，x1x2＝4＝1，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m＋2， 4
∵tan∠AMB＝tan(∠AMF＋∠BMF)，
－y2yx1＋1x2＋1∴＝22， －yy21－x1＋1x2＋1
y1?my2＋2?－y2?my1＋2?＝22，y1－y2＝42m2， ?x1＋1??x2＋1?＋y1y2
∴4m＋1＝2m2，m2＝1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝4m2＋4＝
8.
三、解答题
8．[2016·合肥质检]设A，B为抛物线y2＝x上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P.
(1)求点P的坐标；
→→→
(2)M为A，B间抛物线段上任意一点，设PM＝λPA＋μPB，试判断λμ是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由．
解 (1)知A(1,1)，B(4，－2)，设点P坐标为(xP，yP)，
??y－1＝k?x－1?，切线l1：y－1＝k(x－1)，联立?2 ??y＝x，
1由抛物线与直线l1相切，解得k＝2
111即l1：y＝2＋2l2：y4－1，
?xP＝－2，
联立l1，l2的方程，可解得?1?yP＝－21??即点P的坐标为?－2，－2. ??
(2)设2M(y0，y0)，且－2≤y0≤1，由PM＝λPA＋μPB得 →→→
1??3?3??2??y0＋2，y0?＝λ?3，?＋μ?6，－， 2??2?2???
2y?0＋2＝3λ＋6μ，
即?13?y0＋2＝2λ－μ?， ?解得??y－1??μ＝902?y0＋2?2λ＝9 y0＋21－y0则λμ＝33＝1λ＋μ为定值1.
x2y2
9．[2016·山西四校二联]已知椭圆C：ab＝1(a>b>0)的离心率6为3以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－2y＋6＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，
→→→2问：在x轴上是否存在定点E，使得EA＋EA·AB为定值？若存在，试
求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
6c66解 (1)由e＝3a3，即c＝3a.①
又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且该圆与直线2x－2y＋6＝0相切，
6所以a＝26，代入①得c＝2， 22＋?－2?
所以b2＝a2－c2＝2.
x2y2
所以椭圆C的标准方程为62＝1. 22xy?＋1，(2)由?62得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0.
?y＝k?x－2?
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
12k2－612k2
所以x1＋x2＝x1x2＝1＋3k1＋3k根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，
→→→→→→→→2使得EA＋EA·AB＝(EA＋AB)·EA＝EA·EB为定值，
→→
则EA·EB＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)
＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)
?3m2－12m＋10?k2＋?m2－6?＝， 1＋3k要使上式为定值，即与k无关，3m2－12m＋10＝3(m2－6)，得m7＝3→→→?7?522此时，EA＋EA·AB＝m－6＝－9所以在x轴上存在定点E?3，0???→→→52使得EA＋EA·AB为定值，且定值为－9.
10．[2016·云南统考]已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，32，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为
45.直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E交于A，B两个相异
→→
点，且AP＝λPB.
(1)求椭圆E的方程；
→→→
(2)是否存在m，使OA＋λOB＝4OP？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
y2x2
解 (1)根据已知设椭圆E的方程为ab1(a>b>0)，焦距为2c，
2c33a由已知得a2c＝2，b2＝a2－c2＝4∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45， ∴4a＋b＝5a＝45，∴a＝2，b＝1.
y2
∴椭圆E的方程为x＋4＝1. 2
→→→→→→
(2)根据已知得P(0，m)，由AP＝λPB，得OP－OA＝λ(OB－OP)．
→→→
∴OA＋λOB＝(1＋λ)OP.
→→→→→
∵OA＋λOB＝4OP，∴(1＋λ)OP＝4OP.
→→→→
若m＝0，由椭圆的对称性得AP＝PB，即OA＋OB＝0.
→→→
∴m＝0能使OA＋λOB＝4OP成立．
若m≠0，则1＋λ＝4，解得λ＝3.
设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，
??y＝kx＋m，由?22得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0， ??4x＋y－4＝0，
由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，即
k2－m2＋4>0，
－2kmm2－4且x1＋x2＝2x1x2＝2. k＋4k＋4
→→
由AP＝3PB得－x1＝3x2，即x1＝－3x2.
∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，
212k2m24?m－4?∴20，即m2k2＋m2－k2－4＝0. 22?k＋4?k＋4
当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立．
24－m∴k2＝. m－1
∵k2－m2＋4>0，
224－m2?4－m?m∴m2＋4>0，即>0. m－1m－1
∴1<m2<4，解得－2<m<－1或1<m<2.
综上，当－2<m<－1，或m＝0，或1<m<2时，
→→→
OA＋λOB＝4OP.
11．[2015·南宁适应性测试(二)]已知抛物线C：y＝2x2，直线l：y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.
(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
(2)是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
解 (1)证法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2中，得2x2－kx－2＝0，
k∴x1＋x2＝2.
2x1＋x2k?kk?∵xN＝xM＝2＝4N点的坐标为?48?. ??
?k ?∵(2x)′＝4x，∴(2x)′x＝＝k， 4?22
即抛物线在点N处的切线的斜率为k.
∵直线l：y＝kx＋2的斜率为k，∴切线平行于AB.
证法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2中，得2x2－kx－2＝0，
k∴x1＋x2＝2.
2x1＋x2k?kk?∵xN＝xM＝2＝4N点的坐标为?48?. ??
k??k2?x－设抛物线在点N处的切线l1的方程为y－8m4?， ?
mkk2将y＝2x代入上式得2x－mx480， 22
?mkk?∵直线l1与抛物线C相切，∴Δ＝m2－8?48?＝m2－2mk＋k2
??2＝(m－k)2＝0，
∴m＝k，即l1∥AB.
(2)假设存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N.
1∵M是AB的中点，∴|MN|＝2AB|.
1111由(1)知yM＝2(y1＋y2)＝2(kx1＋2＋kx2＋2)＝2[k(x1＋x2)＋4]＝2
?k?k?＋4?＝2， ?2?4
2k2k2k＋16∵MN⊥x轴，∴|MN|＝|yM－yN|＝42－8822∵|AB|＝1＋k?x1＋x2?－4x1x2＝1＋kk＋k＋16.
k2＋161∴84k＋k＋16，∴k＝±2， ?k?21??－4×?－1?＝2?2?
∴存在实数k＝±2，使以AB为直径的圆M经过点N.
12．[2016·湖南联考]已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝r2与F2：(x－1)2＋y2＝(4－r)2(0<r<4)的公共点的轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M.
(1)求E的方程；
1(2)若曲线E上相异两点A，B满足直线MA，MB4.
(ⅰ)判断直线AB是否恒过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理由；
(ⅱ)求△ABM的面积的最大值．
解 (1)设⊙F1，⊙F2的公共点为Q，
由已知得|F1F2|＝2，|QF1|＝r，|QF2|＝4－r，
故|QF1|＋|QF2|＝4>|F1F2|，
因此曲线E是长轴长2a＝4，焦距2c＝2的椭圆，且 b2＝a2－c2＝3，
x2y2所以曲线E的方程为431.
(2)(ⅰ)由曲线E的方程得上顶点M(0，3)，
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1≠0，x2≠0.
若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x＝x1， 故y1＝－y2，且x2??22?y1＝y2＝31－4， ??
y13y2－3y231－3因此，kMA·kMB＝xxx4 121
与已知不符，因此直线AB的斜率存在．
x2y2
设直线AB：y＝kx＋m，代入椭圆E的方程431， 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0.①
因为直线AB与曲线E有公共点A，B，
所以方程①有两个非零不等实根x1，x2，
4?m2－3?8km所以x1＋x2＝－x·x＝. 3＋4k2123＋4k2
y1－3kx1＋m－3y2－3kx2＋m－3又kAM＝x，kMBx＝. xx1122
1由kAM·kBM＝4得4(kx1＋m－3)(kx2＋m－3)＝x1x2，即(4k2－1)x1x2
＋4k(m－3)(x1＋x2)＋4(m－3)2＝0，
所以4(m2－3)(4k2－1)＋4k(m－3)(－8km)＋4(m－3)2(3＋4k2)＝0，
化简得m2－3m＋6＝0，故m＝3或m＝23.
结合x1x2≠0知m＝23，
即直线AB恒过定点N3)． 33(ⅱ)由Δ>0且m＝23得k>2k<－2
1又S△ABM＝|S△ANM－S△BNM|＝2MN|·|x1－x2| 3＝2?x1＋x2?－4x1x2 3＝2?－8km?24?m2－3??－23＋4k3＋4k??
64k－9＝3＋4k6
4k－9＋12
4k－93≤2，
21当且仅当4k－9＝12，即k＝2 2
3△ABM的面积最大，最大值为2.
典题例证
x2y2
[2016·山东高考] 平面直角坐标系xOy中，椭圆C：a＋b＝
31(a>b>0)的离心率是2，抛物线E：x2＝2y的焦点F是
C的一个顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证：点M在定直线上；
②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积
S为S2S的最大值及取得最大值时点P的坐标． 2
a－b322[规范解答] (1)由题意知a＝4b， a2
1??因为抛物线E的焦点F?0，2， ??
1所以b＝2a＝1，
所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.
m??m，(2)①证明：设P2?2?(m>0)． ?
由x2＝2y，可得y′＝x，
所以直线l的斜率为m.
m2因此直线l的方程为y－2＝m(x－m)，
m2即y＝mx－2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
22x＋4y＝1，?联立方程? m2?y＝mx－2
得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.
由Δ>0，得0<m2＋或0<m2<2＋5)，(*)
4m32m3
且x1＋x2＝x0＝ 4m＋14m＋1
－m2m2
将其代入y＝mx－2，得y0＝， 2?4m＋1?
y1因为x4m， 0
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