2016—2017学年度第一学期高一期末考试参考答案

淄博市2016—2017学年度第一学期高一期末考试数学试题参考答案及评分说明2017.01

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合U??0,1,2,3,4,5,6?，A??0,1,3,5?，B??1,2,4?，那么AI(eUB)=

A．?6??0,3,5?C．?0,3,6?D．{0,1,3,5,6}

2．已知直线mx?3y?12?0在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m的值为

A．2 B．3．4D．5

．函数f(x)lg(x?1)的定义域为

A．??1,2? B．??1,2???1,2?D．(?1,2)

4．若幂函数f?x??m2?m?1x1?m是偶函数，则实数m? ．?1B．2C．3D．?1或2

5．已知两点A(0,1),B?4,3?，则线段AB的垂直平分线方程是

A．x?2y?2?0．2x?y?6?0C．x?2y?2?0D．2x?y?6?0

6．已知三棱柱ABC?A1B1C1中，AA 1?底面ABC，AB?BC，AB?6，BC?8，??AA1?5，则该几何体的表面积是

A．216 B．168C．144D．120

7．若点(a,b)在函数f(x)?lnx的图像上，则下列点中不在函数f(x)图像上的是

A．?

8．设l,m是两条不同的直线，?是一个平面，则下列结论正确的是 ?1??e?,?b??a+e,1+b?C．?,1?b? D．?a2,2b? ?a??a?

．若l??，l//m，则m?? B．若l?m，m??，则l??

C．若l//?，m??，则l//m D．若l//?，m//?，则l//m

9．若三条直线l1:ax?2y?6?0,l2:x?y?4?0,l3:2x?y?1?0相交于同一点，则实数a? ?12B．?10 C．10 D．12

10．已知函数f(x)?log3x，若函数y?f(x)?m有两个不同的零点a,b，则

A．ab?m B．a?b?3m．ab?1D．b?am

11．右图是正方体的平面展开图．在正方体中，下列结论

正确的序号是：

①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；

③CN与BM成60?角；④DM与BN垂直．

高一期末考试数学试题参考答案第1页（共8页）

A．①② B．②④

C．①③ ．③④

12．甲乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图

所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t1

至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立

即成交（其他费用忽略不计），那么他持有的资

金最多可变为

A．120万元 B．160万元

C．220万元．240万元

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

．计算：

2?log2?01?． 2

14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积

15．已知P1,P2分别为直线l1:x?3y?9?0和

l2:x?3y?1?0上的动点，则PP 12

16．狄利克雷是德国著名数学家，函数D(x)??

面给出关于狄利克雷函数D(x)的五个结论：

①若x是无理数，则D?D(x)??0；

②函数D(x)的值域是?0,1?；

③函数D(x)是偶函数；

④若T?0且T为有理数，则D(x?T)?D(x)对任意的x?R恒成立；

⑤存在不同的三个点A?x1,D(x1)?,B?x2,D(x2)?,C?x3,D(x3)?，使得VABC为等边三角形．

其中正确结论的序号是③④⑤．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

已知集合A??x?1,x为有理数被称为狄利克雷函数．下?0,x为无理数?1??2x?4?，B??x 0?log2x?2?． ?2?

（Ⅰ）求AI

B和

AUB；

高一期末考试数学试题参考答案第2页（共8页）

（Ⅱ）记M?N??x|x?M,且x?N?，求A?B与B?A．

解：（Ⅰ）由已知得，A??x?1??2x?4????1,2?，B??x 0?log2x?2???1,4? ?2?………………………………4分

所以AIB??1,2?，AUB???1,4?； ……………………………6分（Ⅱ）A?B??x|x?A,且x?B????1,1?， ………………………………8分 B?A??x|x?B,且x?A???2,4?． ………………………………10分

18．（本题满分10分）

求满足下列条件的直线方程：

（Ⅰ）求经过直线l1:x?3y?3?0和l2:x?y?1?0的交点，且平行于直线2x?y?3?0的直线l的方程；

（Ⅱ）已知直线l1:2x?y?6?0和点A(1,?1)，过点A作直线l与l1相交于点B，且AB?5，求直线l的方程．

解：（Ⅰ）由??x?3y?3?0，得交点坐标为（0，1） …………2分

?x?y?1?0

因为直线l平行于直线2x?y?3?0，所以直线l的斜率为?2 …4分

所以，直线l的方程为y?1??2(x?0)，即2x?y?1?0． …………6分（Ⅱ）方法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?1?k(x?1)，即直线l的方程为y?kx?(k?1) ………………………………………7分

因为直线l与l1相交于点B，联立方程组??y?kx?(k?1)，解得点B的坐标为

?y??2x?6

(k?74k?2,)

k?2k?2

又AB?3?5，解得 k?? 4高一期末考试数学试题参考答案第3页（共8页）

所以，直线l的方程为3x?4y?1?0； ……………………8分当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x?1，此时直线l与l1的交点为（1,4)，也满足题意，故直线x?1符合题设．

综上所述，直线l的方程为3x?4y?1?0和x?1． ………………10分方法二：设点B的坐标为(m,n)

因为点B在直线l1:2x?y?6?0上，所以2m?n?6?0 ① 又因为AB?5，且点A(1,?

1)?5 ②

联立①②，解得B的坐标为(1,4)和(5,?4) …………………………8分由此可得直线l的方程为：3x?4y?1?0和x?1 ……………………10分

19．（本题满分12分）

如图，在多面体ABCDE中，AB?平面ACD，DE?平面ACD，AD?AC，AB?1DE，F是CD的中点． 2

（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；

（Ⅱ）求证：平面BCE?平面CDE．

证明：（Ⅰ）取CE的中点M，连结MF,MB……2分

∵F是CD的中点，∴MF//DE，且MF?

∵AB?平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB//DE,MF//AB 1DE 2

1DE，∴MF?AB 2

∴四边形ABMF是平行四边形…………4分

∵AF//BM，AF?平面BCE，BM?平面BCE

∴AF∥平面BCE． ………………………6分

（Ⅱ）∵AC?AD，∴AF?CD …………7分

又∵DE?平面ACD，AF?平面ACD，

∵AB?

高一期末考试数学试题参考答案第4页（共8页）

∴AF?DE ……………………………8分

又CD?DE?D，∴AF?平面CDE ………………10分又∵BM//AF，∴BM?平面CDE ………………………11分 ∵BM?平面BCE，∴平面BCE?平面CDE ………………………12分

20．(本题满分12分)

已知指数函数y?g(x)的图像经过点?2,4?，且定义域为R的函数

f(x)?b?g(x)是奇函数． a?g(x)

（Ⅰ）求f(x)的解析式，判断f(x)在定义域R上的单调性，并给予证明；

?1?（Ⅱ）若方程f(x)?m在??1,0?上有解，求f??的取值范围． ?m?

x解：（Ⅰ）设g(x)?c(c?0,c?1)，由已知g(2)?4，解得c?2，故g(x)?2

………………………………………2分 x

b?g(x)b?2x

又由f(x)?是奇函数，所以f(?x)??f(x)，即 ?xa?g(x)a?2

b?2?xb?2x

?xx，化简得2ab?1?b?a2?2?????????0 a?2?xa?2x

?ab?1?0?a?1?a??1此式对于任意的x都成立，所以?，解得?或? …4分 b?a?0b??1b?1???

?a?11?2x

因为f(x)的定义域为R，所以?，即f(x)?． ……………5分 x1?2?b?1

注：也可以用特殊值的方法求得，但必须检验f(?x)??f(x)．

1?2x2f(x)???1，所以f(x)是R上的单调减函数． ………………6分 xx1?21?2

证明：对于任意的x1,x2?R，设x1?x2 222(2x2?2x1)则f(x1)?f(x2)?( ?1)?(?1)?1?2x11?2x2(1?2x1)(1?2x2)

显然(1?21)(1?22)?0，且y?2为R上的单调增函数，所以22?21?0 故f(x1)?f(x2)?0即f(x1)?f(x2)，所以f(x)是R上的单调减函数．…8分（Ⅱ）方程f(x)?m在??1,0?上有解，即xxxxx2?1?m在??1,0?上有解 1?2x

1， 3因为f(x)是R上的减函数，所以当x???1,0?， 0?f(0)?m?f(?1)?

得1?3，所以m7?1?f???f?3???………………………10分 9?m?

高一期末考试数学试题参考答案第5页（共8页）

272?1??1??0，得，即，所以的取值范?1??1?1?f??f????xx1?21?29?m??m?

7??围是??1,??． …………………………………………………………12分 9??又由

21．（本题满分12分）

(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x?y?5?0，已知?ABC的顶点A

?B的平分线BN所在直线方程为x?2y?5?0．求

（Ⅰ）顶点B的坐标；

（Ⅱ）直线BC的方程．

解：（Ⅰ）设顶点B的坐标为(m,n)

因为顶点B在直线BN上，所以m?2n?5?0 ………………2分

(5，1)，得线段AB的中点M的坐标为由顶点B的坐标为(m,n)和顶点A

(m?5n?1m?5n?1)．因为中点M在直线CM上，所以2???5?0，即22222m?n?1?0 ……………………………………………………………4分

联立方程组??m?2n?5?0，解得B的坐标为(?1,?3)． …………6分

?2m?n?1?0

(5，1)关于直线BN的对称点为A?(s,t) （Ⅱ）设顶点A

由于线段AA?的中点在直线BN上，得方程s?5t?1?2??5?0， 22

即s?2t?7?0 ………………7分由于直线AA?与直线BN垂直，得方程1t?1???1，即2s?t?11?0 2s?5

……………………8分

?s?2t?7?0293,?) ……………………10分联立方程组?，解得A?(552s?t?11?0?

(显然顶点A?293，?)在直线BC上，又顶点B的坐标为(?1,?3) 55

所以，直线BC的方程为6x?17y?45?0．……………………12分

高一期末考试数学试题参考答案第6页（共8页）

22．（本题满分14分）

某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）．

（Ⅰ）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．

解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为T1(x)，T2(x)，T3(x)．由题设，有T1(x)?2?3000100020001500?,T2(x)?,T3(x)?, 6xxkx200?(1?k)x其中x,kx,200?(1?k)x均为1到200之间的正整数． …………………6分（Ⅱ）完成订单任务的时间为f(x)?max{T1(x),T2(x),T3(x)}，其定义域为{x|0?x?200,x?N*}．易知，T1(x),T2(x)为减函数，T3(x)为增函数，注意到1?k

2T2(x)?T1(x)，于是 k

①当k?2时，T1(x)?T2(x)，此时

10001500f(x)?max?T1(x),T3(x)??max{, x200?3x

10001500?由函数T1(x),T3(x)的单调性知，当时f(x)取得最小值，解得x200?3x

400x?． ……………………………………………………………7分 9

400250300?45，而f(44)?T1(44)?由于44?，f(45)?T3(45)?，91113

f(44)?f(45)，故当x?44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为

高一期末考试数学试题参考答案第7页（共8页）

f(44)?250； ……………………………………………………8分 11

②当k?2时，T1(x)?T2(x)，由于k为正整数，故k?3，此时

T3(x)?T(x)?1500375?，易知T(x)为增函数． 200?4x50?x

记?(x)?max?T1(x),T(x)?，则