2015-2016学年江苏省无锡市江阴市长泾片九年级（下）期中数
学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．﹣
A．﹣的相反数是（）B． C．2015 D．﹣2015
2．嫦娥三号，是嫦娥绕月探月工程计划中嫦娥系列的第三颗人造绕月探月卫星．将于2013
年下半年择机发射．奔向距地球1500000km的深空．用科学记数法表示1500000为（）
A．1.5×106 B．0.15×107 C．1.5×107 D．15×106
3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．下列调查适合作抽样调查的是（）
A．了解江苏教育节目“服务到家”栏目的收视率
B．了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况
C．了解某班每个学生家庭电脑的数量
D．企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查
5．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（）
A．43° B．47° C．30° D．60°
6．将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2，则点A′的坐标为（）
A．（1，1） B．（
） C．（﹣1，1） D．（）
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7．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则∠E的大小等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
8．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ）
A．35° B．45° C．50° D．55°
9．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB
和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在x轴正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=…=An﹣1An（n为正整数），过点A1、A2、A3、…、An分别作x轴的垂线，与反比例函数y=（x＞0）交于点P1、P2、P3、…、Pn，连接P1P2、P2P3、…、Pn﹣1Pn，过点P2、P3、…、Pn分别向P1A1、P2A2、…、Pn﹣1An﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是（ ）
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A． B． C． D．
二、填空题（每空2分，共16分）
11．在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是：170，162，155，160，168（单位：厘米），则这组数据的极差是 厘米．
12．分解因式：ax2﹣9a= ．
13．函数y=中，自变量x的取值范围是
14．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光， 则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是 ．
15．不等式组的解集为
16．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为．
17．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
18．如图，已知平面直角坐标系中，直线y=kx（k≠0）经过点（a， a）（a＞0）．线段BC的两个端点分别在x轴与直线y=kx上（B、C均与原点O不重合）滑动，且BC=2，分别作BP⊥x轴，CP⊥直线y=kx，交点为P，经探究在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值 ．
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三、解答题（本大题共10小题，共84分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：|﹣2|+20150﹣（﹣）﹣1+3tan30°+．
20．先化简
21．解方程（组）：
（1） ，然后选取一个你认为符合题意的x的值代入求值．
（2）．
22．州教育局为了解我州八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据检测了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图）
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a= %，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形图．
（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该县共有八年级学生2000人，请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人？
23．在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上． （1）从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是 ；
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（2）从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶
点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率是 （用树状图或列表法求解）．
24．某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？
（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值． 25．如图1，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．
（1）将△ABC绕点C顺时针旋转120°得△A′B′C．
①求点B旋转经过的路径长；
②求线段BB′的长；
（2）如图2，过点C作AC的垂线与AB的延长线交于点D，将△ACD绕点C顺时针旋转90°得△A′CD′．在图2中画出线段AD绕点C旋转所形成的图形（用阴影表示），并求出该图形的面积．
26．如图，以O为圆心的弧
（1）求的值； 度数为60°，∠BOE=45°，DA⊥OB，EB⊥OB．
（2）若OE与交于点M，OC平分∠BOE，连接CM．说明CM为⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若BC=1，求tan∠BCO的值．
27．如图，已知抛物线经过点A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1?x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t上．
（1）求点C的坐标；
（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．
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2015-2016学年江苏省无锡市江阴市长泾片九年级（下）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．﹣
A．﹣的相反数是（ ） B． C．2015 D．﹣2015
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，据此作答．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：B．
2．嫦娥三号，是嫦娥绕月探月工程计划中嫦娥系列的第三颗人造绕月探月卫星．将于2013
年下半年择机发射．奔向距地球1500000km的深空．用科学记数法表示1500000为（ ）
A．1.5×106 B．0.15×107 C．1.5×107 D．15×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1 500 000=1.5×106，
故选：A．
3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：图形（1）既是轴对称图形，又是中心对称图形．符合题意；
图形（2）是轴对称图形，不是中心对称图形．不符合题意；
图形（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形．符合题意；
图形（4）既是轴对称图形，又是中心对称图形．符合题意．
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图形（5）既不是轴对称图形，又不是中心对称图形．不符合题意；
既是轴对称图形又是中心对称图形的有3个．
故选B．
4．下列调查适合作抽样调查的是（ ）
A．了解江苏教育节目“服务到家”栏目的收视率
B．了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况
C．了解某班每个学生家庭电脑的数量
D．企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查
【考点】全面调查与抽样调查．
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可．
【解答】解：了解江苏教育节目“服务到家”栏目的收视率适合作抽样调查，A正确； 了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况适合全面调查，B错误；
了解某班每个学生家庭电脑的数量适合全面调查，C错误；
企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查适合全面调查，D错误；
故选：A．
5．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ）
A．43° B．47° C．30° D．60°
【考点】平行线的性质．
【分析】如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求角转化到Rt△CDE中，利用内角和定理求解．
【解答】解：如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，
∵AB∥DE，
∴∠β=∠EDC，
又∠CED=∠α=43°，
∠ECD=90°，
∴∠β=∠EDC=90°﹣∠CED=90°﹣43°=47°，
故选B．
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6．将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2，则点A′的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（D．） C．（﹣1，1） （）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】过点A作AC⊥OB于C，过点A′作A′C′⊥OB′于C′，根据等腰直角三角形的性质求出OC=AC，再根据旋转的性质可得OC′=OC，A′C′=AC，然后写出点A′的坐标即可．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点A′作A′C′⊥OB′于C′，
∵△AOB是等腰直角三角形，点B的横坐标为2，
∴OC=AC=×2=1，
∵△A′OB′是△AOB绕点O逆时针旋转90°得到，
∴OC′=OC=1，A′C′=AC=1，
∴点A′的坐标为（﹣1，1）．
故选C．
7．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则∠E的大小等于（ ）
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A．75° B．60° C．45° D．30°
【考点】切线的性质．
【分析】连接OM，OM的反向延长线交EF于点C，由直线MN与⊙O相切于点M，根据切线的性质得OM⊥MN，而EF∥MN，根据平行线的性质得到MC⊥EF，于是根据垂径定理有CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF，易证得△MEF为等边三角形，所以∠E=60°．
【解答】解：连接OM，OM的反向延长线交EF于点C，如图，
∵直线MN与⊙O相切于点M，
∴OM⊥MN，
∵EF∥MN，
∴MC⊥EF，
∴CE=CF，
∴ME=MF，
而ME=EF，
∴ME=EF=MF，
∴△MEF为等边三角形，
∴∠E=60°，
故选B．
8．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ）
A．35° B．45° C．50° D．55°
【考点】菱形的性质．
【分析】延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠B，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而不难求得∠FPC的度数．
【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G．
在△BGF与△CPF中，
，
第10页（共28页）
∴△BGF≌△CPF（ASA），
∴GF=PF，
∴F为PG中点．
又∵由题可知，∠BEP=90°，
∴EF=PG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵PF=PG（中点定义），
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠EPF，
∵∠BEP=∠EPC=90°，
∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF=∠FPC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE==55°，
∴∠FPC=55°．
故选：D．
9．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB
和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．
第11页（共28页）
【解答】解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4； ②点P在BC上时，3＜x≤5，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴=，
即=，
∴y=，
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．
10．如图，在x轴正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=…=An﹣1An（n为正整数），过点A1、A2、A3、…、An分别作x轴的垂线，与反比例函数y=（x＞0）交于点P1、P2、P3、…、Pn，连接P1P2、P2P3、…、Pn﹣1Pn，过点P2、P3、…、Pn分别向P1A1、P2A2、…、Pn﹣1An﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】由OA1=A1A2=A2A3=…=An﹣1An=1可知P1点的坐标为（1，y1），P2点的坐标为（2，y2），P3点的坐标为（3，y3）…Pn点的坐标为（n，yn），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn﹣1的值，故可得出结论．
【解答】解：（1）设OA1=A1A2=A2A3=…=An﹣1An=1，
∴设P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），…P4（n，yn），
第12页（共28页）
∵P1，P2，P3…Bn在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴y1=2，y2=1，y3=…yn=，
∴S1=×1×（y1﹣y2）=×1×1=；
∴S1=；
（3）∵S1=×1×（y1﹣y2）=×1×（2﹣）=1﹣；
∴S2=×1×（y2﹣y3）=﹣；
S3=×1×（y3﹣y4）=×（﹣）=﹣；
…
∴Sn﹣1=﹣，
﹣=． ∴S1+S2+S3+…+Sn﹣1==1﹣+﹣+﹣+…
故选A．
二、填空题（每空2分，共16分）
11．在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是：170，162，155，160，168（单位：厘米），则这组数据的极差是 15 厘米．
【考点】极差．
【分析】根据极差的定义即可求得．
【解答】解：由题意可知，极差为170﹣155=15（厘米）．
故答案为：15．
12．分解因式：ax2﹣9a= a（x+3）（x﹣3） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣9a
=a（x2﹣9），
=a（x+3）（x﹣3）．
故答案为：a（x+3）（x﹣3）．
13．函数y=中，自变量x的取值范围是
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，1﹣3x≥0，
第13页（共28页）
解得x≤．
故答案为：x≤．
14．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是
．
【考点】
列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况， ∴小灯泡发光的概率为：
故答案为：．
15．不等式组的解集为 ﹣2＜x≤3 ． =．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
∵由①式得x＞﹣2；由②式得x≤3，
∴不等式组的解为﹣2＜x≤3．
故答案为：﹣2＜x≤3．
16．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为8
第14页（共28页）
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