二项式定理
考纲要求
1.能用计数原理证明二项式定理．
2.对于二项式定理，主要考查利用通项公式求展开式的特定项、求特定项的系数、利用赋值法求二项式展开式系数问题等.
基础知识梳理
1．二项式定理：(a＋b)n＝_________________________________________这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式.
式中的____________叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝___________. 注意：（1）它表示的是二项式的展开式的第r?1项，而不是第r项.
（2）其中Cn叫二项式展开式第r?1项的二项式系数，而二项式展开式第r?1项的系数是字母幂前的常数.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为.
(3)字母a按排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到；字母b按排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.
1(4)二项式的系数从C0，C，一直到，. nnr
3．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.即Cn?Cn
(2)增减性与最大值：
n＋1二项式系数Ck当k＜时，二项式系数逐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；n，2
当n是偶数时，中间一项______________取得最大值；
当n是奇数时，中间两项__________，__________取得最大值．
012n(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋?＋Crn＋?＋Cn＝；
24135C0n＋Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋Cn＋?＝. rn?r.
4.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,???an的性质：
?anx，a0?a1?a2?a3?????an?f(1)； 对于f(x)?a0?a1x?a2x?????
a0?a1?a2?a3?????(?1)nan?f(?1) 2n
预习自测
1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )．
A．80 B．40 C． 20 D．10
2．若(12)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝( )．
A．45 B．55 C．70 D．80
3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )．
A．9 B．8 C．7 D．6
4．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
5．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a21x21，则a10＋a11＝________.
课堂探究案
典型例题
考点1 二项展开式中的特定项或特定项的系数
【典例1】已知(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
【变式1】（1）(2011·山东)若?x－n的展开式中，第6项为常数项． ?x?a?6展开式的常数项为60，则常数a的值为___.
（2）已知(1＋x＋x2)(x? 1n)的展开式中没有常数项，n∈N*，且2≤n≤8，n=． 3x
考点2 二项式中的系数与二项式系数
2【典例2】（1）在(x?110)的二项展开式中，x11的系数是_____. 2x
n（2）若(x?)展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(
) 1
x
A.10B.20C.30D.120
【变式2】设(x－1)4(x＋2)8＝a0x12＋a1x11＋?＋a11x＋a12，则a0＋a2＋?＋a10＋a12＝____. 考点3 二项式定理中的赋值法的应用
【典例3】二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．
【变式3】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7.求：
(1)a1＋a2＋?＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|.
考点4 二项式的和与积
【典例4】在(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数为________．
2x－7的展开式中，x4的系数是________(用数字作答)． 【变式4】在x??x考点5 二项式展开式中的最值问题
1?n【典例5】已知?x的展开式中前三项的系数成等差数列． ?2 x?
(1)求 n 的值；
(2)展开式中二项式系数最大的项；
(3)展开式中系数最大的项．
?x【变式5】（1）在??的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数?2
项是（）
A.-7B.7C.-28D．28
（2）已知二项式(x?
10：1，
（
1）求展开式中各项的系数和； n2n*)，（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是2x
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