第4届全国中学生物理竞赛
决赛试题
一、如图所示，da、cb为相距l米的平行导轨（电阻很小，可以忽略）。a、b间连接一个固定电阻，阻值为R。长直细杆MN可以按任意角?架在平行导轨上，并以匀速v滑动（平移），v的方向和da平行。杆MN有电阻，每米长的电阻值为R。整个空间充满匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面（dabc平面）向里。
二、（1）质量为M的静止原子，由于内部能级变化（E2?E1）而发射出一个光子。已知（1）求固定电阻R上消耗的电功率为最大时角?的值。 （2）求杆MN上消耗的电功率为最大时角?的值。
（注意，能量为E的光子，其动Mc2??(E2?E1)，求原子的反冲（后退）动能T与光子能量E的比值。
量为E/c，c为光速。）
（2）在绝对温度T时，电磁场的光子平均能量约为3RT/N0，R为气体常量，N0为阿伏加德罗常数。假设在宇宙发展的初期，光子间的碰撞能够产生质子、反质子（即一对光子经过碰撞而转变成一个质子和一个反质子）。试估算当时温度的数量级（二位有效数字）。
（3）气体分子的直径约为2?10?10m，试估算标准状况下近邻气体分子间的平均距离l与分子直径d的比值（二位有效数字）。
三、对于太阳系中的行星运动，天文观测发现了如下的事实〈称为开普勒三定律）： 1. 各个行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳的位置是椭圆的一个焦点。（第一定附：c?3.0?108m/s，质子质量mp?1.7?10?27kg，R?8.3J/(mol?K)，N0?6.0?1023mol?1。 律）
2. 对于每个行星来说，太阳至行星的联线（图中FP线）在每一个单位时间内扫过的面积（称为面积速度）相等。（第二定律）
3. 行星椭圆轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值，对于各个行星来说是相同的。（第三定律）
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行星轨道如图所示，P为行星，F为焦点（太阳），a、b、2c分别为半长轴、半短轴和焦距，O为椭圆中心。
根据万有引力定律，行星和太阳间的引力势能（作为已知公式）为V??GMm/r，其中G为引力常量，M为太阳质量，m为行星质量，r为太阳至行星的距离。
试根据机械能守恒定律，开普勒第一、第二定律，分别导出行星运动的总机械能E，面积速度S，公转周期T的公式（用G、M、m、a、b表示），并证明开普勒第三定律。
四、六个外形相同的电阻，用导线连接如图所示，已知其中五个电阻的值均精确地等于2?，另一个的阻值则与2?有明显差异。用欧姆表对图示电路测量三次，就可以找出这个与众不同的电阻。试扼要说明测量方法和论据。（必要时列出计算公式。）
五、半径为R的刚性球固定在水平桌面上。有一个质量为M的圆环状均匀弹性细绳圈，原长2?a，a?R/2。绳圈的劲度系数为k（绳伸长s时，绳中弹性张力为ks）。将绳圈从球的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平并最后停留在某个静力平衡位置。考虑重力，忽略摩擦。
（1）设平衡时绳圈长2?
b，b，求劲度系数k（用M、R、g表示，g为重力加速度）。 （2）设k?Mg/2?2R，求绳圈的最后平衡位置及长度。
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