2016-2017学年度上学期期末考试
高中三年级数学试题（理）
注意事项：
1．本试卷分为试题卷［含选择题和非选择题］和答题卡［含填涂卡和答题框］两大部分。满分共150分。考试时间120分钟。
２．考生在答题前，请先将自已的姓名．班级．学号及考号填在答题卡密封线内的指定的地方。
３．选择题的答案选出后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标涂黑。非选择题请在答题卡指定的地方做答，本试卷上作答无效。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合A?x?2x?16，B?xlog3(x2?2x)?1，则A?B等于
A．?3,4? B．?3,4? C．(??,0)??0,4? D．(??,?1)??0,4? ????
????2．计算sin46?cos16?cos314?sin16?
A
B
C
D．1
2
3．已知tan(??
A．1/2 ?4)?1sin??cos?，则的值为 2sin??cos?B．2
xC．22 D．-2 34．设命题p:?x0?(0,??),30?x0，则?p为
A．?x?(0,??),3?x C．?x?(0,??),3?x x3x3B．?x?(0,??),3?x D．?x?(0,??),3?xx3x3
?y?x?2
3y?2
5．已知实数x，y满足?x?y?a，其中a??(x?1)dx，则实数的最小值为
0x?1?x?1
?24 D． 33????????????????????????????
6．设向量OA?e1,OB?e2,若e1与e2不共线，且AP?6PB，则OP?
A．
B．
C．
3 25 2
6??1??1??6??6??1??
B．e1?e2 C．e1?e2 D．e1?e2
7777771?8?
7．已知函数f(x)?sin(x?)(x?R)，把函数f(x)的图象向右平移个单位得函数
463
g(x)的图象，则下面结论正确的是
A．函数g(x)是奇函数
C．函数g(x)的最小正周期是4?
B．函数g(x)在区间??,2??上是增函数
D．函数g(x)的图象关于直线x??对称
1??6??A．e1?e2
77
8．在一球面上有A,B,C
三点，如果AB??ACB?60?，球心O到平面ABC的距离为3，则球O的表面积为
A．36?
B．64?
C．100?
D．144?
9．右边程序框图的算法思路，源于我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的秦九韶算法，执行该程序框图，若输入的n,an,x分别为5,1,?
2且a4?
5,a
3?10,a2?10,
a1?5,a
0?1，则输出的v=
A．1
C．?1
B．2 D．?2
10．某三棱锥的三视图如上图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长
等于
A
．B
C
D
．x2y2
11．已知O,F分别为双曲线E:2?2?1(a?0,b?0)的中心和右焦点，点G,M分别在Eab
的渐近线和右支，FG?OG，GM//x轴，且OM?OF，则E的离心率为
A
B
C
D
12．设定义在(0,??)的函数f(x)的导函数是f?(x)，且x4f?(x)?3x3f(x)?ex，
e3
f(3)?，则x?0时，f(x) 81
A．有极大值，无极小值 C．既无极大值，又无极小值
B．有极小值，无极大值 D．既有极大值，又有极小值
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
????????????????????????13．正?ABC中，AB在BC方向上的投影为?1，且AD?2DC,则BD?AC?________.
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn?an?1(n?N*)，设bn?log3|an|，则数列{bn}的通项公式为________.
15．在三棱锥A?BCD中，?ABC与?BCD都是边长为6的正三角形，平面ABC?平面
BCD，则该三棱锥的外接球的面积为________.
16．若函数f(x)?ex?ae?xsinx为奇函数，则a?________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）
已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若f（x
18．（本小题满分12分）
已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且S6?5S2?18,a3n?3an，数列?bn?满足 ??xxx?cos＋cos2，求f（B）的取值范围． 222b1?b2???bn?4Sn.
（Ⅰ）求数列?an?，?bn?的通项公式；
?1?（Ⅱ）令cn?log2bn，且数列??的前n项和为Tn，求T2016. c?c?nn?1?
19．（本小题满分12分）
在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝3，AA1＝2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；
（Ⅱ）若OC＝OA，求二面角A1－AC－B的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线E:y2?2px(p?0)的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于A,B两点，E的准线与x轴交于点C，?CAB的面积为4，以点D(3,0)为圆心的圆D过点A,B.
（Ⅰ）求抛物线E和圆D的方程； （Ⅱ）若斜率为k(k?1)的直线m与圆D相切，且与抛物线E交于M,N两点，求
?????????FM?FN的取值范围.
21．（本小题满分12分）
已知a?R，函数f(x)?ln(x?a)?x，曲线y?f(x)与x轴相切．
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数m使得
存在，说明理由．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程?
的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l
的极坐标方程是2?sin(??f(x)?m(1?ex)恒成立？若存在，求实数m的值；若不x?x?1?cos?．以O为极点，x轴(?为参数）?y?sin??
3)?OM：??π与C分别交3
于点O，P，与l交于点Q，求PQ的长．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?x?2?2x?．
（Ⅰ）求不等式f(x)??2的解集M；
（Ⅱ）对任意x?[a,??)，都有f(x)?x?a成立，求实数a的取值范围．
2016-2017学年度上学期期末考试
高三数学试题（理）答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：每小题5分，满分60分．
1.A 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.C 10.C 11.D 12.C
ex?3x3f(x)x312.简解：f?(x)?，设， h(x)?e?3f(x)x4x
x43x32?????f(x)x?3f(x)x?e?f(x)x?3f(x)x则h?(x)?e?3? ????x3
3x?33?ex??ex?ex?，所以h(x)?h(3)?e?81f(3)?0， xx
即f?(x)?0，因此f(x)在(0,??)既无极大值，又无极小值.
二、填空题：每小题5分，满分20分．
13.2 14. bn??n 15. 60π 16. 1 3
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）因为(a?b)(sinA?sinB)?(c?b)sinC.
由正弦定理有(a?b)(a?b)?(c?b)c即有b2?c2?a2?bc. b2?c2?a2bc1??，?A?60? …………6分 由余弦定理得cosA?2bc2bc2
（2
）由题，f(B)BBB??1?cos?cos2??sin?B???， 2226?2?
且在锐角?ABC中，?
6?B??
2，?
3?B??
6?
??2???sin?B???1， 6?3?
3??
f(B)的取值范围是.…………12分 2???
18. 本小题满分12分
解：（Ⅰ）设数列?an?的公差为d，
(1)??6a1?15d?5(2a1?d)?18则? a?(3n?1)d?3a?(n?1)d(2)???1?1
由（1）得2a1?5d?9?0， ······························································· 2分 由（2）得a1?d，联立得a1?d?3，·················································· 3分 所以an?3n. ···················································································· 4分 易知b1?64， ·················································································· 5分 当n?2时b1?b2???bn?1?4Sn?1，又b1?b2???bn?4Sn， 两式相除得bn?64n(n?2)， ······························································ 7分
······················································ 8分 b1?64满足上式，所以bn?64n. ·
（Ⅱ）cn?log264n?6n，11111·········· 10分 ??(?)， ·cn?cn?136n(n?1)36nn?1Tn?11(1?)， ········································································· 11分 36n?1
因此T2016?56. ··········································································· 12分 2017
19.（本题满分12分）
AD2AB2解：（Ⅰ）证明：由题意tan∠ABD＝＝tan ∠AB1B＝， AB2BB12
?0<∠ABD??π，0?∠AB1B<?∠ABD＝∠AB1B， 22
π?∠ABD＋∠BAB1＝∠AB1B＋∠BAB12?AB1⊥BD …………………2
分
又CO⊥侧面ABB1A1，?AB1⊥CO． …………………3分 又BD与CO交于点O，?AB1⊥平面CBD，…………………4分 又BC?平面CBD，?BC⊥AB1． …………………5分 （Ⅱ）如图，以O为原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz
，则A(0,
，B(-
，C
，B1．
????
????
?????????AB=(-，AC=，AA1=BB1=． …………………7
分
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
????ììAB×n=0??-=0则í????，即í， ???AC×n
=0?=0
令x＝1，可得n＝(1，，－2)是平面ABC的
一个法向量． …………………9分
设平面A1AC的法向量为m＝(x，y，z)，
????ìì?AA1×m=0?=0则í????，即í， ???AC×m
=0?=0
令x＝2，可得m＝(2，－2，2)是平面A1AC的一个法向量．…………………10分 设二面角A1－AC－B的平面角为α，则
cosa=cosm,n=m×nmn?二面角A1－AC－B
20. 本小题满分12分
解法一：（Ⅰ）如图，F(． …………………12分 pppp,0),A(,p),B(,?p),C(?,0),S?ABC?p2, ···· 1分 2222
由p2?4得p?2，圆D
半径R? ·············································· 3分 所以抛物线E:y2?4x，圆D:(x?3)2?y2?8. ······································ 4分 （Ⅱ）解法一：设直线m:y?kx?b(k?1)，
?，即k2?6kb?b2?8，① y?b??x?联立?······················ 5分 k得ky2?4y?4b?0，(?)??16?16kb， ·
?y2?4x?
由①知kb?1，即??0 ······································································· 6分 所以方程(?)有两个实数根y1,y2，且y1?y2?
2y12y2点M(,y1),N(,y2)， 4444b,y1y2? ······················· 7分 kk
?????????(y2?4)(y2?4)2FM?FN?1?y1y2 16
?122?(yy)?4(y?y)?24y1y2?16?1212?
16?
b2?6kb?k2?4? 2k
4 ····························································································· 11分 2k
?????????因为k?1，所以FM?FN的取值范围是?0,4?. ····································· 12分 ?
解法二：设直线m:y?kx?b(k?
1)?，即k2?6kb?b2?8，①
?y?kx?b联立?2得k2x2?2(kb?2)x?b2?0，(?)??16?16kb， ··········· 5分 ?y?4x
由①知kb?1，即??0 ······································································· 6分
?2(kb?2)b2
,x1x2?2 ·所以方程(?)有两个实数根x1,x2，且x1?x2?··········· 7分 k2k
点M(x1,kx1?b),N(x2,kx2?b)，
?????????FM?FN?(x1?1)(x2?1)?(kx1?b)(kx2?b)
?(1?k2)x1x2?(kb?1)(x1?x2)?b2?1
b2?6kb?k2?4? 2k
4 ····························································································· 11分 k2
?????????因为k?1，所以FM?FN的取值范围是?0,4?. ····································· 12分 ?
21. 本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能
力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）设切点为，，
依题意即
解得 3分
所以
当变化时，与，． 的变化情况如下表：
所以在上单调递增，在，理由如下：
6分
上单调递减． 5分
（Ⅱ）存在
等价于
令则
，
或
，
， ，
①若，
当时，，，所以；
当所以又从而所以
时，，，所以
，单调递增为
，
，
在单调递减区间为，所以在
或
，当且仅当
上单调递增，又
即
时，，
，
成立． 9分
②若，因为，
，
所以存在所以当又从而
时，，所以当在
，使得
，时，
，因为在
， ，所以当
在上递增，
单调递增，
上递减，又时，，
此时不恒成立； 11分
③若，同理可得不恒成立．
综上所述，存在实数． 12分本小题满分12分
请考生在第（22）,（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22. 选修；坐标系与参数方程
本小题考查极坐标方程和参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．
解：（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为，
令代入的普通方程，
得的极坐标方程为，即． 5分
（Ⅱ）在的极坐标方程中令，得，所以．
在的极坐标方程中令，得，所以．
所以
23. 选修：不等式选讲 ． 10分
本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分10分．
解：（Ⅰ）
当
当
当时，时，时，，即，即，即
的解集为， ，所以，所以，所以； ． 5分 ； ； 综上，不等式
（Ⅱ）
令
所以当
当，当直线经过点即即时，， 时成立； 时，令，得， 所以
综上或，即． ， 10分
解法二：（Ⅰ）同解法一． 5分
（Ⅱ）设
因为对任意
① 当
② 所以
③ ②当
④ 所以时，所以时，，都有成立，所以， ． 所以，符合， ，符合． ．
⑤ 综上，实数的取值范围是
． 10分
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