第20届全国中学生物理竞赛
复赛试题
全卷共七题，总分140分。
一、（15分）图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心。己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U?1000V。在离球心O很远的O?点附近有一质子b，它以Ek?2000eV的动能沿与O?O平行的方向射向a。以l表示b与O?O线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值。把质子换成电子，再求l的最大值。
二、（15分）U形管的两支管A、B和水平管C都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不计。己知三部分的截面积分别为SA?1.0?10?2cm2、SB?3.0?10?2cm2、
在C管中有一段空气柱，两侧被水银封闭。当温度为t1?27?C时，空气柱长为l?30cmSC?2.0?10?2cm2，
（如图所示），C中气柱两侧的水银柱长分别为a?2.0cm，b?3.0cm，A、B两支管都很长，其中的水银柱高均为h?12cm。大气压强保持为p0?76cmHg不变。不考虑温度变化时管和水银的热膨胀。试求气柱中空气温度缓慢升高到t?97?C时空气的体积。
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三、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想。其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示。在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小。这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星。若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M?20m，地球半径R0?6400km。假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的。
四、（20分）如图所示，一半径为R、折射率为n的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为h0的区域被涂黑。一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面。Ox为以球心O为原点，与平而垂直的坐标轴。通过计算，求出坐标轴Ox上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标。
五、（22分）有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触。现有另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手。
己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30。若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径r的值各应满足什么条件？
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