导数题型及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1．
f(x)?x3?3x2
?2在区间??1,1?上的最大值是2．已知函数y?f(x)?x(x?c)2
在x?2处有极大值，则常数c＝；
3．函数y?1?3x?x3
有极小值 ,极大值
题型二：利用导数几何意义求切线方程
1．曲线y?4x?x3
在点
??1,?3?处的切线方程是 2．若曲线f(x)?x4
?x在P点处的切线平行于直线3x?y?0，则P点的坐标为
3．若曲线y?x4
的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为
4．求下列直线的方程：
（1）曲线y?x3?x2?1在P(-1,1)处的切线； （2）曲线y?x2
过点P(3,5)的切线；
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
1．已知函数
f(x)?x3?ax2
?bx?c,过曲线y?f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1（Ⅰ）若函数f(x)在x??2处有极值，求f(x)的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y?f(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数y?f(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
2．已知三次函数
f(x)?x3?ax2
?bx?c在x?1和x??1时取极值，且f(?2)??4． (1) 求函数y?f(x)的表达式；
(2) 求函数y?f(x)的单调区间和极值；(3) 若函数g(x)?f(x?m)?4m(m?0)在区间[m?3,n]上的值域为[?4,16]，试求m、n应满足的条件．
3．设函数f(x)?x(x?a)(x?b)．
（1）若f(x)的图象与直线5x?y?8?0相切，切点横坐标为２，且f(x)在x?1处取极值，求实数a,b 的值； （2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点．
题型四：利用导数研究函数的图象
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
f(x)??1
x3?2ax2?3a2x?b,0?a?11．设函数3.
（1）求函数f(x)的单调区间、极值.
（2）若当x?[a?1,a?2]时，恒有|f?(x)|?a，试确定a的取值范围.
2
2．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调
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区间
（2）若对x?〔－1，2〕，不等式f（x）?c2恒成立，求c的取值范围。
题型六：利用导数研究方程的根
2（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,点P(0,?1)是椭圆
1??
1．已知平面向量a=(3,－1). b=(2,2).
x2y2
C1:2?2?1(a?b?0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2?y2?4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的
ab
两条直线,其中l1交圆C2于两点,l2交椭圆C1于另一点D
(1)求椭圆C1的方程; (2)求?ABD面积取最大值时直线l1的方程.
（第21题图）
??????????
（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，
试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.
题型七：导数与不等式的综合
3
f(x)?(x?)(x?a)
21．已知a为实数，函数
2
（1）若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围 （2）若f'(?1)?0，（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的
x1、x2?(?1,0)，不等式
|f(x1)?f(x2)|?
5
16恒成立
3 (2012安徽文)（本小题满分13分）
x2y2
如图，F1,F2分别是椭圆C：2+2=1（a?b?0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B
ab
例1．设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，
C(?1,0)的直线交椭圆E于A、B两点，????????
且CA?2BC，求当?AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程.
是直线AF2与椭圆C的另一个交点，?F1AF2=60°.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a, b 的值.
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