中点联想
遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. BDCAEFBDC
A
B
DEC
应用：
1、（09崇文二模）以?ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt?ABD和等腰Rt?ACE，?BAD??CAE?90?,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①当?ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，
线段AM与DE的数量关系是；
（2）将图①中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转?(0<?<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． ?
考点1：等腰三角形性质的应用
1. 如图，?ABC中，AB?AC，?BAC?90?，D是BC中点，ED?FD，ED与AB交于
E，FD与AC 交于F．求证：BE?AF，AE?CF．
A
BDC
2. 两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在
一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME,MC．试判断?EMC的形状，并说明理由．
??
M
D
EBAC
压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt?ABC中，AC?BC，?C?90?，D为AB边的中点，?EDF?90?，?EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
1
当?EDF绕D点旋转到DE?AC于E时（如图1），易证S?DEF?S?CEF?S?ABC．当?EDF绕
2
在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，D点旋转到DE和AC不垂直时，
请给予证明；若不成立，S?DEF，S?CEF，S?ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
A
A
D
A
D
E
D
E
C
F图2
B
C
F图1
B
C
E
图3
F
24．在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过点P作
PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F．
（1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；
（2）如图2，当AB?AC，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．
F
E
FB
DC
BDC
图1 图2
24．在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC 上，将三角板绕点O旋转．
（1）当点O为AC中点时，
①如图1， 三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图2， 三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若AO?1， AC4求OE的值．
OF
24．已知：在△AOB与△COD中，OA＝OB，OC＝OD，?AOB??COD?90?．
（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是，位置关系是；
（2）如图2，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为α (0????90?)．连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将图1中的 △COD绕点 O逆时针旋转到使 △COD的一边OD恰好与 △AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点．
请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．
CBBDMDOC图1O图2A图3
A
14．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC
于F，且DE⊥DF．
(1)如果CA=CB，求证：AE2＋BF2=EF2；
(2)如果CA＜CB，(1)中的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
3.【海淀】24． 在□ABCD中，∠A =∠DBC, 过点D作DE=DF, 且∠EDF=∠ABD , 连接EF、 EC,
N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．
（1）如图1，若点E在DP上, EF与DC交于点M, 试探究线段NP与线段NM的数量
关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；
（2）如图2，若点M在线段EF上, 当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然
成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.
图1 图2
24．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；
（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并
说明理由．
A B E PDF N M C A B D P EN C F BAEAC
25．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC．若?ABC??BEF?60?，探究PG与PC的位置关系及PG的PC值．
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
PG的值； PC
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中?ABC??BEF?2?(0????90?)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出
PG的值（用含?的式子表示）． PC
25. 在矩形ABCD中, 点F在AD延长线上，且DF= DC, M为AB边上一点, N为MD的中 点, 点E在直线CF上（点E、C不重合）.
（1）如图1, 若AB=BC, 点M、A重合, E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系
及CE的值, 并证明你的结论; BM
（2）如图2，且若AB=BC, 点M、A不重合, BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否
成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;
（3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请
直接写出你的结论.
B
B M
D B M A( E N
图1 图2 图3
28．（2009房山一模25）已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形, ∠ABC＝∠ADE=
AB= BC，AD=DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，联结DF、BF. （1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；
90?
，
（2）将图1中△ADE绕A点顺时针旋转45?，再联结CE，取CE的中点F（如图2），问
（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图1中△ADE绕A点转动任意角度（旋转角在0?到90?之间），再联结CE，取
CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论
CE
图1
CCE
图3
ABA
图2
E
13．（2009门头沟一模25）如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝
90°,点E在AB上， F是线段BD的中点，连结CE、FE.
（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；
（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在
同一条直线上（如图2），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD，取BD的中点
F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
DAAAD
图1EFC
图2DCE
C图3
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