圆锥曲线总复习
一、选择题
1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）
3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点．如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是（）
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线
4.（2002全国文，7）椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）
A.－1 B.1C.5D. －
x2y2x2y2
6.（2002北京文，10）已知椭圆?2和双曲线?2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐223m5n2m3n
近线方程是（）
A.x＝±y2 B.y＝±3x C.x＝±y24 D.y＝±3x 4
?x?cos?7.（2002天津理，1）曲线?（θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（） y?sin??
A.12B.2 2C.1D.2
?x?t2
8.（2002全国理，6）点P（1，0）到曲线?（其中参数t∈R）上的点的最短距离为（）
?y?2t
A.0B.1C.2D.2
10.（2001广东、河南，10）对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）
A.（－∞，0）B.（－∞，2] C.［0，2］ D.（0，2）
12.（2000全国，11）过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则11?等于（） pq
A.2a B.1 2a C.4a D.4 a
x2y2
13.（2000京皖春，3）双曲线2?2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ） ba
A.2 B.3 C.2 D.3 2
14.（2000上海春，13）抛物线y=－x2的焦点坐标为（ ）
A.（0，1111） B.（0，－） C.（，0） D.（－，0） 4444
?3y2表示的曲线是（ ）
B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分 15.（2000上海春，14）x=A.双曲线
x2y2
17.（1998全国理，2）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，?123
那么|PF1|是|PF2|的（ ）
A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍
x2y2
18.（1998全国文，12）椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y?123
轴上，那么点M的纵坐标是（ ）
A.±33 B.± 42 C.±2 2 D.±3 4
x2y2
28.（1996全国）设双曲线2?2=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点.已知ab
原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为（ ） 4
B.A.2 3 C.2 D.2 3
30.（1995全国文6，理8）双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是（ ）
A.y=±3x B.y＝±1x C.y＝±x 3 D.y＝±3x 3
31.（1994全国，2）如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
A.（0，＋∞） B.（0，2） C.（1，＋∞） D.（0，1）
x2
2?y＝1的两个焦点，32.（1994全国，8）设F1和F2为双曲线点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，4
则△F1PF2的面积是（ ）
A.1
二、填空题 B.5 2 C.2 D.5
x2y2
35.（2003京春，16）如图8—1，F1、F2分别为椭圆2?2=1的左、右焦点，ab
点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b2的值是_____.
36.（2003上海春，4）直线y=x－1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是_____.
37.（2002上海春，2）若椭圆的两个焦点坐标为F1（－1，0），F2（5，0），长轴的
长为10，则椭圆的方程为．
x2y2338.（2002京皖春，13）若双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是． ?4m2
39.（2002全国文，16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
能使这抛物线方程为y2＝10x的条件是 ．（要求填写合适条件的序号）
41.（2002天津理，14）椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k＝ ．
43.（2001京皖春，14）椭圆x2＋4y2＝4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是．
x2
2?y＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M44.（2001上海，3）设P为双曲线4
的轨迹方程是 ．
x2y2
46.（2001全国，14）双曲线＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P?916
到x轴的距离为 .
47.（2001上海春，5）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为_____.
x2y2
49.（2000全国，14）椭圆＝1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点?94
P横坐标的取值范围是_____.
x2y2
52.（1999全国，15）设椭圆2?2=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴ab
的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 .
x2y2
?54.（1998全国，16）设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到916
双曲线中心的距离是.
55.（1997全国文，17）已知直线x－y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_____.
58.（1996全国文，16）已知点（－2，3）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离是5，则p
=_____.
59.（1996全国理，16）已知圆x2+y2－6x－7=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p=_____.
x28y2
63.（1995上海，10）双曲线=8的渐近线方程是. ?29
y2
66.（1994上海，7）双曲线－x2=1的两个焦点的坐标是. 2
三、解答题
x2y2
68.（2002上海春，18）如图8—2，已知F1、F2为双曲线2?2?1（a＞0，b＞0）的ab
焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程．
69.（2002京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点是F1（－4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|＋|F2B|＝10．椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；
（Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．
71.（2002北京，21）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点．如
图8—3.
（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线；
（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．
y2
72.（2002江苏，20）设A、B是双曲线x2?2＝1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点． （Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么?
73.（2002上海，18）已知点A（?，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值，0）和B（，0）
为2，点C的轨迹与直线y=x－2交于D、E两点，求线段DE的长．
74.（2001京皖春，22）已知抛物线y2＝2px（p＞0）.过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.
x2y2
75.（2001上海文，理，18）设F1、F2为椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点．已知P、F1、?94
F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求|PF1|的值． |PF2|
76.（2001全国文20，理19）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
2y2
2b77.（2001上海春，21）已知椭圆C的方程为x+=1，点P（a，b）的坐标满足a+≤1，过点P222的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：
（1）点Q的轨迹方程；
（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.
x2
278.（2001广东河南21）已知椭圆+y=1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆2
相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴.
求证：直线AC经过线段EF的中点.
83.（2000上海，17）已知椭圆C的焦点分别为F1（?2，长轴长为6，设直2，0）和F2（22，0）
线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．
84.（1999全国，24）如图8—8，给出定点A（a，0）（a＞0）和直线l：x=－1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
注：文科题设还有条件a≠1
1x2y2
85.（1999上海，22）设椭圆C1的方程为2?2=1（a＞b＞0），曲线C2的方程为y=，且C1与C2abx
在第一象限内只有一个公共点P.
（Ⅰ）试用a表示点P的坐标.
（Ⅱ）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S（a）的值域；
（Ⅲ）设min｛y1，y2，…，yn｝为y1，y2，…，yn中最小的一个.设g（a）是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，求函数f（a）=min｛g（a），S（a）｝的表达式.
86.（1998全国理，24）设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.
（Ⅰ）写出曲线C1的方程；
（Ⅱ）证明曲线C与C1关于点A（ts,）对称； 22
t3
（Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=－t且t≠0. 4
87.（1998全国文22，理21）如图8—9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N
∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN
为锐角三角形，|AM|=
方程.
，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的
88.（1998上海理，20）（1）动直线y=a与抛物线y2=1（x－2）相交于A点，动点B的坐标是（0，3a），2
求线段AB中点M的轨迹C的方程；
（2）过点D（2，0）的直线l交上述轨迹C于P、Q两点，E点坐标是（1，0），若△EPQ的面积为4，求直线l的倾斜角α的值.
89.（1997上海）抛物线方程为y2=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.
（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；
（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f（m）的表达式；
（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为2，求此直线的方程； 2
2，求p的值的范围. 2（理）在（2）的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于
90.（1996全国理，24）已知l1、l2是过点P（－
－x2＝1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.
（Ⅰ）求l1的斜率k1的取值范围；
（Ⅱ）（理）若|A1B1|＝2，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2|A2B2|，求l1、l2的方程.
（文）若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值.
91.（1996上海，23）已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A（2，0）
为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称.设直线l
过点A，斜率为k.
（1）求双曲线S的方程；
（2）当k=1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为2； （3）当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为
应的点B的坐标，如图8—10.
2，求斜率k的值及相
xyx2y2
92.（1995全国理，26）已知椭圆如图8—11，＝1，直线L：?＝1，?1282416
P是L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|2|OP|＝|OR|2.当点
P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
?x2y2
93.（1995上海，24）设椭圆的方程为2?2＝1（m，n>0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜2mn
＝的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点，
（Ⅰ）用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S；
（Ⅱ）若m、n为定值，当θ在（0，?4］上变化时，求S的最小值u；
（Ⅲ）如果μ>mn，求m的取值范围. n
95.（1994全国理，24）已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（－1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程.
96.（1994上海，24）设椭圆的中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q、点P在该直线上，且|OP|?tt2?1，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
|OQ|
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