永州市2017年高考第二次模拟考试试卷
数学（理科）
命题人：王勇波（祁阳一中） 蒋健（道县一中）
杜艳秋（永州四中） 申俭生（永州三中）
审题人：唐作明（永州市教科院）注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合A?{?1,1,4}，B?{y|y?log2|x|?1,x?A}，则A?B?A．{?1，1，3，4}B．{?1，1，3} C．{1，3} D．{1} 2．已知i为虚数单位，复数z满足(1?i)z?(1?i)2，则|z|为 A
B．1
C．
第Ⅰ卷
1
2
D
．
2
3．已知两个单位向量a，b的夹角为
?
A．
1 C 4．四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有 A．10种B．14种C．20种D．24种 5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
B
，则|a＋b|＝
D．2
1773
A．3B．C．D．
737
6．在等差数列?an?中，2a7?a9?7，则数列?an?的前9项和
（第5题图）
S9?
A．21 C．63
B．35 D．126
x2y2
7．设F1，F2是双曲线2?2?（的两个焦点，若点P在双曲线上，且?F1PF2?90?，1a?0,b?0）
ab
PF1?PF2=2，则b=
A．1 B．2CD．
8．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD， PA=AB，E，F，H 分别是棱PA，PB，AD的中点，且过E，F，H的平面截四棱锥P－ABCD所得截面面
积为，则四棱锥P－ABCD的体积为
2
A．B．8 C
． D
．9．有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①② ③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过．．
就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是
A．（4，2，2，2） B．（9，0，1，0） C．（8，0，1，1） D．（7，0，1，2）
10．某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 A．12? B．16? C．20? D．24? 正视图侧视图
11．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(??n)?6，若数列{an}单调递
减，则?的取值范围是
A．（－∞，2） B．（－∞，3）
C．（－∞，4
D．（－∞，5）
?x??)(??0)的部分图象，下列说法错12．如图是f(x) ．误的是 ．
俯视图83（第10题图）
12A．函数f(x)的最小正周期是 55?x的图象可由函数f(x)的图象向右平B．函数g(x)?62移个单位得到 54C．函数f(x)图象的一个对称中心是（?，0） 531D．函数f(x)的一个递减区间是（5，） 5（第12题图）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
?x)m的展开式中各项系数的和为256，则该展开式的二项式系数的最大值为．13． ?x?y?4≤0?14．已知实数x，y满足?2x?y?1≥0，则x＋3y的最大值为 ．
?x?2y?2≥0?
????????x2
222?y?1上的一点，则PA?
PB的取值15．AB是圆C:x?(y?1)?1的直径，P是椭圆E:4范围是 ．
?x，x≥0??x2?116．已知f(x)??，若函数g(x)=f(x)-t有三个不同的零点x1，x2，x3 1??，x?0??x
111(x1<x2<x3)，则???的取值范围是． x1x2x3
C三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是
a、b、c
?2csinA 且c?b． ABD
(第17题图) （Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求?ACD的面积．
A18．（本小题满分12分）已知三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1C
o＝2，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠BAA1＝120，BB1D⊥AB．
（Ⅰ）求证：AC⊥面ABB1A1； （Ⅱ）求二面角C1?AD?C的余弦值． B（第18题图）
19．（本小题满分12分）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进
场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：
40的概率； （Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：
（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，
请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．
20．（本小题满分12分）如图抛物线C：y2?4x的弦AB的中点P（2，t）(t?0)，过点P
且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q．
（Ⅰ）求点Q的坐标；
（Ⅱ）当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程．
111
1a?1221．（本小题满分12分）已知函数f(x)?x3?x?ax?1， 321g(x)?(a?4)
x2，其中a≥1． 2
（Ⅰ）f(x)在(0, 2)上的值域为（s，t），求a的取值范围；
（Ⅱ）若a≥3，对于区间[2，3]上的任意两个不相等的实数x1、x2，都有
f(xg(1x)?g(2成立，求实数)a的取值范围． 1)?f(x2)?
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．（本题满分10分）选修4
－4：坐标系与参数方程
??x?1??(?是参数)，以O为 在直角坐标系
xOy中，曲线C的参数方程为：???y??
极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l1：2?sin(???
3)0，射线l2:???
3与曲线C的交(??0)
点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．
23．（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)?|kx?1|．
（Ⅰ）若f(x)?3的解集为[?2,1]，求实数k的值；
（Ⅱ）当k?1时，若对任意x?R，不等式f(x?2)?f(2x?1)?3?2m都成立，求实数
m的取值范围．
永州市2017年高考第二次模拟考试试卷
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题(每小题5分，共60分)
1～5 DACBC 6～10 CAABB 11～12 AC
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．6 14．8 15．[?1,13] 3 16．(,??) 5
2
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）
解：（1
A?
2sinCsinA，∴sinC?
又c?b，∴C?， 2?． …………………………………………………………… 6分 3
（Ⅱ）设BC=x，则AB?5?x，
在?ABC中，由余弦定理得
2（5?x）=x2?42?2?x?4cos?
3， 337，即BC?，所以AB?， ……………………………………… 8分 222
BCAB?在?ABC中，由正弦定理得，
sinAsinC
BCsinC∴sinA? …………………………………………………… 10分 ?AB11?∴?ACD的面积S?AC?
AD?sinA??4?5．………… 12分 22求得x?
18．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B1O，
△B1BO中，AB＝2，B1B＝2，∠B1BA＝60o，故△AB1B是等边三角形，
∴B1O?AB，
又B1D⊥AB，而B1O与B1D相交于B1，
∴AB⊥面B1OD，
故AB⊥OD，又OD//AC，所以AC⊥AB，
又∵侧面ABB1A1⊥底面ABC于AB，AC在底面ABC内，
∴AC⊥面ABB1A1．……………………………………………………………… 6分 （Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向
为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
C（－1，2，0），A（－1，0，0），D（0，1，0），B（1，0，0），B1（0，0
，
????????∴BB1?(?1，AC?(0,2,0)，
?????????????????AC1?AC?CC1?AC?BB1?(?1， ????AD?(1,1,0)， ??设面ADC1的法向量为m?(x,y,z)，
???????m?AD?x?y?0,?依题意有：???????， ?m?AC??x?2y??0??1令x?1，则y??
1，z?
??∴m?(1,?1，………………………………………………………………… 9分 ?又面ADC的法向量为n?(0,0,1)， …………………………………………… 10分
???∴cos?m,n??，
?51
∴二面角C1－AD－C
……………………………………… 12分
19．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，
2
C21
则P(A)?2?．…………………………………………………………… 4分
C1045
（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，则
当a?38时，X?38?4?152； 当a?39时，X?39?4?156； 当a?40时，X?40?4?160；
当a?41时，X?40?4?1?6?166； 当a?42时，X?40?4?2?6?172；
∴X的所有可能取值为：152,156,160,166,172，
21
?156??160??166??172??162．……… 9分 ∴EX?152?1055510
（ⅱ）依题意，甲厂家的日平均销售量为：
38?0.2?39?0.4?40?0.2?41?0.1?42?0.1?39.5，
∴甲厂家的日平均返利额为：70?39.5?2?149元，
由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额为162元（>149元），
∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．……………………………………… 12分
20．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）易知AB不与x轴垂直，设AB直线方程为：y?k(x?2)?t，
与抛物线C：y2?4x联立，消去y得：
k2x2?(2tk?4k2?4)x?(t?2k)2?0，
2
222
∴??(4k?4
?2tk)?4k?(t?2k)?0（i）
设A（x1,y1），B（x2,y2），则x1,x2是上述方程两根，
4k?4?2tk
?4， 2
k
即tk?2，代入（i）中，求得??t?t≠0，
t
∴直线l的方程为：y－t=?(x－2),
2
∴x1＋x2＝
（Ⅱ）(方法一)|ABx1?x2|?2
令y＝0，得x=4，知定点坐标为（4,0）；………………………………………5分
???………………… 7分
CD直线：y??t(x?4)，与抛物线y2?4x联立，消去y得： 2
t2x2?(8t2?16)x?16t2?0，
设C（x3，y3），D（x4，y4），
8t2?1616∴x3+ x4=，x3x4?16，………………………………… 8分 ?8?t2t2
设CD的中点为M(x0，y0)，
84t2?4∴x0=4?2，y0=?，|PM
|=2 ttt
∴|CD
x3?x4|
?8 11222∴A，B，C，D四点共圆，有|CD|?|AB|?|PM|， 44
4222代入并整理得t?12t?32?0，求得t?4或t?8(舍去)，t??2．
∴直线l的方程为y?x?4或y??x?4．……………………………… 12分 （方法二）利用参数方程求： ??x?2?mcos?设AB直线的参数方程为：?，代入抛物线C：y2?4x得， ?y?t?msin?
t2?8222sin?m?2sin?mt?4cos?m?t?8?0，m1m2?，sin2?
8?t2
， |PA|?|PB|??m1m2?2sin?
??x?2?mcos??则直线CD的参数方程为：?，????或???? 22?y?t?msin?
t2?88?t2
有m3m4?，|PC|?|PD|??m3m4?，sin2??cos2?， 22sin?sin?
?3?22依题意有：|PA|?|PB|?|PC|?|PD|，sin??cos?，则有??或， 44
∴直线l的方程为y?x?4或y??x?4．……………………………… 12分
21．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）f?(x)?x2?(a?1)x?a，令f?(x)?0得x1?1，x2?a，……………………1分
依题意函数f(x)在区间(0, 2)无最值，
知f(x)在(0, 2)上要么有两个极值点或者没有极值点，
知1≤a?2， …………………………………………………………3分
1a?1a7f(1)???a?1??， 3226
1a?12f(a)?a3?a?a2?1， 32
f(0)??1，
81f(2)??2(a?1)?2a?1??， 33
（i）若a?1，函数f(x)在区间(0, 2)上恒单调递增，显然符合题意；…………4分
?f(1)?f(2)(ii)若1?a?2时，有?， f(a)?f(0)?
a71?5???????a?263即?，?3， 1a?1?a3?a2?a2?1??1??a?3?2?3
5得1?a?； 3
5综上有1≤a?．………………………………………………………………… 6分 3
（Ⅱ）不妨设2≤x1＜x2≤3，
由（Ⅰ）知：当a≥3时，f(x)在区间2,3上恒单调递减， 有f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2)， ………………………………… 7分 （i）若3≤a≤4时，g(x)?[]1(a?4)x2在区间2,3上恒单调递减， 2[]g(x1)-g(x2)=g(x1)-g(x2)， 则f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)等价于f(x1)-g(x1)>f(x2)-g(x2)， 令函数F(x)=f(x)-g(x)，
由F(x1)>F(x2)知F(x)在区间2,3上单调递减， []
F?(x)=x2-(a+1)x+a-(a-4)x=x2-(2a-3)x+a，
2当a≥3时，x-(2a-3)x+a≤0，
2??2?2?(2a?3)?a≤018即?2，求得≤a≤4；…………………………10分 5??3?3?(2a?3)?a≤0
12（ii）若a>4时，g(x)?(a?4)x单调递增， 2
g(x1)?g(x2)?g(x2)?g(x1)， 则f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)等价于f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2)， 令函数G(x)=f(x)+g(x)，
由G(x1)>G(x2)知G(x)在区间2,3上单调递减，
有G?(x)?x?(a?1)x?a?(a?4)x?x?5x?a≤0， 故当2≤x≤3时，x?5x?a≤0，
即?2[]22?4?10?a≤0，求得4<a≤6，
?9?15?a≤0
18≤a≤6． …………………………………………………12分 5由（i）（ii）得
22．(本小题满分10分) 解：（1）曲线C的普通方程为(x?1)?y?7
又x??cos?,y??sin?，
所以曲线C的极坐标方程为??2?cos??6?0…………………………………5分 222
??2?2?cos??6?0????（2）设P(?1,?1)，由?，解得， ??31?13??(??0)?3?
??2?sin(??)?0???3设Q(?
2,?2)，由?，解得?2?1,?2? 3????(??0)?3?所以PQ??1??2?2………………………………………………………………10分
23．(本小题满分10分)
解：（1）显然k?0……………………………………………………………………………1分
2424,]，所以???2且?1，但k无解…3分 kkkk
4242当k?0时，f(x)?3的解集为[,?]，所以??2且??1，得k??2 kkkk
综上所述，k??2 ……………………………………………………………………5分 当k?0时，f(x)?3的解集为[?（2）当k?1时 ?x?1(x??1)?令h(x)?f(x?2)?f(2x?1)?x??2x??3x?1(?1?x?0) …………7分
??x?1(x?0)?
由此可知，h(x)在(??,0]上单调递增，在[0,??)上单调递减
所以，当x?0时，h(x)取到最大值1， ……………………………………………8分 由题意知，1?3?2m，解得m的取值范围是(??,1]……………………………10分
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