南通市2017届高三第一次调研测试
数学Ⅰ
参考公式：
样本数据x1，x2，?，xn的方差s?1?(xi?)2，其中?1?xi． i?1i?1
2
n
n
棱锥的体积公式：V棱锥?Sh，其中S为棱锥的底面积，h为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上． ．
?
1． 函数y?2sin(3x?的最小正周期为▲．
3
3?，B??a?2，5?，A?B??3?，则A?B? 2． 设集合A??1，
3． 复数z?(1+2i)2，其中i为虚数单位，则z的实部为 4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出
红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概 率为▲．
5． 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为 ?2x?y≤4，?x?3y≤7，?
6． 若实数x，y满足? 则z＝3x＋2y的最大值为．
x≥0，???y≥0，
（第5题）
7． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：
则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ． 8． 如图，在正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB?3cm，
AA1?1cm，则三棱锥D1–A1BD的体积为cm3．
DA1C1
C
9． 在平面直角坐标系xOy中，直线2x?y?0为双曲线
x2y2
??1(a?0，b?0)的一条渐近线，则该双曲线 a2b2
的离心率为 ▲ ．
A
（第8题）
10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，
上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升．
????????????????????????sinA11．在△ABC中，若BC?BA?2AC?AB?CA?CB，则的值为 ▲ ．
sinC
π
12．已知两曲线f(x)?2sinx，g(x)?acosx，x?(0)相交于点P．若两曲线在点P处的切
2
线
互相垂直，则实数a的值为 ▲ ．
13．已知函数f(x)?x?x?4，则不等式f(x2?2)?f(x)的解集用区间表示为 ▲ ． 1)，且AB⊥AC，14．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2?y2?4上两点，点A(1，
则
线段BC的长的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字．．．．．．．
说明、
证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角?，其终边与单位圆交于点A．
以OA为始边作锐角?，其终边与单位圆交于点B，AB
（1）求cos?的值； （2）若点A的横坐标为
16．（本小题满分14分）
（第15题）
． 5
，求点B的坐标． 13
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD． 求证：（1）直线PA∥平面BDE； （2）平面BDE⊥平面PCD．
17．（本小题满分14分）
A
（第16题）
B
C
x2y2
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2?2?1(a?b?
0)，焦点到
ab
相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线
yQ，求
11
?的值． OP2OQ2
（第17题）
18．（本小题满分16分）
如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，
点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在 直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪． （1）当∠EFP=
?
时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积； 4
（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)?ax?x?lnx，a?R．
2
A
F
D
B
N
E
C
M
（第18题）
3
（1）当a?时，求函数f(x)的最小值；
8
（2）若?1≤a≤0，证明：函数f(x)有且只有一个零点； （3）若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知等差数列?an?的公差d不为0，且ak1，ak2，?，akn，?(k1?k2???kn??)成等比数列，
公比为q．
（1）若k1?1，k2?3，k3?8，求（2）当
a1
的值； d
a1
为何值时，数列?kn?为等比数列； d
（3）若数列?kn?为等比数列，且对于任意n?N?，不等式an?akn?2kn恒成立，求a1的取值
范围．
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数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
已知圆O的直径AB?4，C为AO的中点，弦DE过
点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （第21-A题） E A C B
?1?已知向量??是矩阵A的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点 ??1?
?3，）P（1，）1在矩阵A对应的变换作用下变为P（3，求矩阵A．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，求直线??π(??R)被曲线??4sin?所截得的弦长． 4
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
求函数y?3sinx?
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应．．．．．．．写出
文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点， 且BQ??BB1(??0)．
AB1 Q
1
D1
1
（1）若??，求AP与AQ所成角的余弦值；
2
（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°， 求实数?的值．
23．（本小题满分10分）
（第22题）
D
1)到焦点F的距离为在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2?2py(p?0)上的点M(m，
2．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直
线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．
O
P
x
y = f(x)
y
E
（第23题）
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试
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
?
1． 函数y?2sin(3x?的最小正周期为 ▲ ．
3
【答案】
2? 3
2． 设集合A??1，3?，B??a?2，5?，A?B??3?，则A?B?
35? 【答案】?1，，
3． 复数z?(1+2i)2，其中i为虚数单位，则z的实部为 ▲ ．
【答案】?3
4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球
的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为
【答案】0.17
5． 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为
【答案】5
?2x?y≤4，
?x?3y≤7，?
6． 若实数x，y满足? 则z＝3x＋2y的最大值为．
x≥0，???y≥0，
（第5题）
【答案】7
7． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：
则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲
． 【答案】20
8． 如图，在正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB?3cm，
AA1?1cm，则三棱锥D1–A1BD的体积为cm3．
D A1C1
3
【答案】
2
9． 在平面直角坐标系xOy中，直线2x?y?0为双曲
C
A
（第8题）
x2y2
线2?2?1(a?0，b?0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．
ab
10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，
上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升． 【答案】13 22
????????????????????????sinA11．在△ABC中，若BC?BA?2AC?AB?CA?CB，则的值为 ▲ ．
sinC
π12．已知两曲线f(x)?2sinx，g(x)?acosx，x?(0)相交于点P．若两曲线在点P处的切2
线
互相垂直，则实数a的值为 ▲ ．
13．已知函数f(x)?x?x?4，则不等式f(x2?2)?f(x)的解集用区间表示为
【答案】(??，?2)???)
1)，且AB⊥AC，14．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2?y2?4上两点，点A(1，
则
线段BC的长的取值范围为 ▲ ．
【答案】
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角?，其终边与单位圆交于点
A．
以OA为始边作锐角?，其终边与单位圆交于点B，AB
（1）求cos?的值； （2）若点A的横坐标为
． 5
，求点B的坐标． 13
【解】（1）在△AOB中，由余弦定理得，
AB2?OA2?OB2?2OA?OBcos?AOB，所以
OA2?OB2?AB2
?????2分cos?AOB?
2OA?OB
12?12?
?
2
3?，
2?1?15
（第15题）
3
即cos??． ???????????????????????????6
5
分
π3
（2）因为cos??，??(0)，
25
所以sin????
分
因为点A的横坐标为
4． ????????????????85
55
，由三角函数定义可得，cos??，
1313
12
． ????????1013
因为?
为锐角，所以sin???
分
所以cos??????cos?cos??sin?sin??
分
sinn??????si?所以点B(?
分
16．（本小题满分14分）
c?o?s
5312433
?????，??????1213513565
?cosi1213355456
． ??
13565
3356
)． ??????????????????????146565
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD． 求证：（1）直线PA∥平面BDE； （2）平面BDE⊥平面PCD．
A
（第16题）
C
B
【证明】（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对
角线的交点，所以O为AC中点．
又因为E为PC的中点，
所以OE∥PA． ????????4分
又因为OE?平面BDE，PA?平面BDE，
所以直线PA∥平面BDE． ????????????????????6
分
（2）因为OE∥PA，PA?PD，所以OE?PD． ????????????
8分
因为OP?OC，E为PC的中点，所以OE?PC． ??????????10
分
又因为PD?平面PCD，PC?平面PCD，PC?PD?P， 所以OE?平面PCD． ??????????????????????12
分
又因为OE?平面BDE，所以平面BDE?平面PCD． ????????
14分
17．（本小题满分14分）
x2y2
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2?2?1(a?b?
0)，焦点到 ab相应准线的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线
yQ，求11?的值． 2OPOQ2ca2
【解】（1
）由题意得，??c?1， ????2分
ac
解得ac?1，b?1． （第17题）
x2
所以椭圆的方程为?y2?1． ???????????????????42
分
（2）由题意知OP的斜率存在．
当OP的斜率为0
时，OP?
，OQ11??1． ????6
OP2OQ2
分
当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y?kx． ?x2
2k22??y2?1，2222由?2得?2k?1?x?2，解得x?2，所以y?2， 2k?12k?1?y?kx，?
2k2?2所以OP?2． ????????????????????????92k?12
分
1因为OP?OQ，所以直线OQ的方程为y??x．
k
?y?
?由?所以OQ2?2k2?2． ????????????121得x?，
?y??xk?
分 112k2?11????1． 所以OP2OQ22k2?22k2?2
综上，可知
14分
18．（本小题满分16分） 11??1． ????????????????????2OPOQ2
如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，
点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在 直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．
（1）当∠EFP=?时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积； 4
（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．
【解】（1）当∠EFP=?时，由条件得 4
?． 4A D ∠EFP=∠EFD=∠FEP=
所以∠FPE=?．所以FN⊥BC， 2B
N E C 四边形MNPE为矩形．?? 3分
所以四边形MNPE的面积
S=PN?MN=2 m2．???? 5分 M （第18题）
（2）解法一： ?设?EFD??（0<?<），由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=?． 2
所以PF=22， ?sin（????）sin??
2， P?F3sin?? NP=N?F
ME?3?
8分 2． ????????????????????????tan?
22??3??0，sin???，?sin???3??22??由?3??0，得?tan??，（?） 3?tan???????0<?<2，?0<?<2.??
所以四边形MNPE面积为
1 S=(NP?ME)MN 2
1?22???(3?)+(3?)?2 2?sin??tan???=6?22 ?tan?sin2?
22(sin2??cos2?) =6??tan?2sin?cos?
3?6?(tan??) ?????????????????????tan?
12分
≤6??6?当且仅当tan?=
分
（?）此时，成立． 3?，即tan??=时取“=”．??????14tan?
3
答：当?EFD??时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，
3
最大值为6?m2． ??????????????????????16
分
解法二：
设BE?t m，3<t<6，则ME?6?t．
因为∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF
?t?BP． 13?t213?t2
所以BP=，NP=3?PF=3?PE=3?． ???8（t?BP）=3?t?（23?t）（23?t）
分 ??3<t<6，?3<t<6，?2??13?t?0，由?得?t?（?） （23?t）??22?t?12t?31?0.?13?t?0，?3?t?（23?t）
?
所以四边形MNPE面积为
1 S=(NP?ME)MN 2
?1?13?t2
?（3?t?）+（6?t）???2 2?（23?t）?
3t2?30t?67 ???????????????????????（23?t）
12分
2??3?6??
t?3）+≤6? t?3??2?
32 当且仅当t?3）
，即t=3+=2t?3
分
（?）此时，成立． ?3?时取“=”． ???14答：当点E距B
点3?m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，
最大值为6?m2． ??????????????????????16
分
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)?ax2?x?lnx，a?R．
3（1）当a?时，求函数f(x)的最小值； 8
（2）若?1≤a≤0，证明：函数f(x)有且只有一个零点；
（3）若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
33【解】（1）当a?时，f(x)?x2?x?lnx． 88
所以f?(x)?x?1??4x
分
令f?(x)?0，得x?2，
当x?(0，2)时，f?(x)?0；当x?(2，??)时，f?(x)?0， 所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，??)上单调递增． 所以当x?2时，f(x)有最小值f(2)??1?ln2．????????????4分
2（2）由f(x)?ax2?x?lnx，得f?(x)?2ax?1?1?2ax?x?1，x?0． (3x?2)(x?2)，（x>0）． ???????????24x
2所以当a≤0时，f?(x)?<0， x
函数f(x)在(0，+?)上单调递减， 所以当a≤0时，函数f(x)在(0，+?)上最多有一个零点．????????6
分
2?a>0， 因为当-1≤a≤0时，f(1)?a?1<0，f(1)?e?e
2e
所以当-1≤a≤0时，函数f(x)在(0，+?)上有零点． 综上，当-1≤a≤0时，函数f(x)有且只有一个零点． ?????????8
分
（3）解法一：
由（2）知，当a≤0时，函数f(x)在(0，+?)上最多有一个零点． 因为函数f(x)有两个零点，所以a>0． ???????????????9
分
2ax2?x?1由f(x)?ax?x?lnx，得f?(x)?，(x?0)，令g(x)?2ax2?x?1． x2
因为g(0)??1?0，2a>0，
??)上只有一个零点，设为x0． 所以函数g(x)在(0，
??)时，g(x)?0，f?(x)?0．当x?(0，x0)时，g(x)?0，f?(x)?0；当x?(x0， ??)上单调递增． 所以函数f(x)在(0，x0)上单调递减；在(x0，
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