空间向量再立体几何中的应用（一）
考纲要求
1.理解直线的方向向量与平面的法向量。
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。
3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理。
4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
基础知识梳理
1.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
?????①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1//l2或l1与l2重合?_____________.
??????②已知两个不共线向量v1，v2与平面?共面，直线l的一个方向向量为v，则l//?或l在?
内?__________________________________.
?????③已知两个不共线的向量v1，v2与平面?共面，则?//?或?与?重合?
__________________________________.
2.用向量运算证明两条直线垂直
?????设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1?l2?_____________.
3.用向量运算求两条直线所成的角
??????????设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，直线l1和l2所成的角为?，则v1,v2与?的
关系是_____________，即cos??_____________.两条异面直线所成角的范围是_______.
4.用平面的法向量证明两个平面平行或垂直
?????设n1,n2分别是平面?,?的法向量，则?//?或?与?重合?_________________；????_____________?_____________.
5.直线与平面的夹角
(1)_________________________________________叫做斜线和平面所成的角,斜线和平面所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中_____________．
(2)直线与平面所成角的范围是________________.
(3)若斜线与它在平面内射影的夹角为?1,此射影与平面内直线的夹角为?2,斜线与平面内该直线的夹角为?,则?,?1,?2之间的关系是_____________．
6.利用平面的法向量求直线和平面所成的角
???l与α所成的角为?，直线l的方向向量m，平面α的法向量为n，则sin?=CD?,?．
预习自测
1、以点A(4,1,9),B(10,?1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是( )
A、等腰直角三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、无法判断 ??????2、已知a?(cos?,1,sin?),b?(sin?,1,cos?)，则向量a?b与a?b的夹角是（ ）
A、90? B、60? C、30? D、0?
3、正方体ABCD?A1BC11D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A、
2 B
、 C、 D
、3333
4、在三棱柱ABC?A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 ( )
A．30 B．45C．60 D．90 ????
??5、设a?(2,6,?3)，则与a平行的单位向量的坐标为 .
????????6、已知AB??2,2,1?,AC??4,5,3?，求平面ABC的一个法向量.
课堂探究案
典型例题
考点1：利用向量证明平行与垂直问题
【典例1】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥CE=EF=1.
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求证：CF⊥平面BDE。
考点2 利用向量求两条异面直线所成的角
【典例2】【2012上海】如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?底面ABCD，E是PC的中点，已知AB?2，AD?22，PA?2，
求：（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小。
考点3：利用向量求直线与平面所成的角
CA?CB，AB?AA1,?BAA1?60?.【典例3】如图,三棱柱ABC?A1B1C1中,
(1)证明：AB?AC； 1
AB?CB?2,求直线AC(2)若平面ABC⊥平面AA1与平面BB1C1C所成角的正弦1B1B,
值.
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