湖北省百校大联盟2017届高三10月联考理数
一、选择题：共12题
1．已知集合??={1,??},??={??|??2?5??+4<0,??∈??},若??∩??≠??,则??等于
A.2
【答案】C B.3 C.2或3 D.2或4
【解析】本题主要考查集合的基本运算.??= ?? 1<??<4,??∈?? ={2,3},因为??∩??≠??,所以??=2或3
2．已知角??的终边经过点??(??,3)(??<0)且cos??= ??,则??等于 10
A.-1
【答案】A B.?31C.-3 D.?23
【解析】本题主要考查任意角的三角函数.因为角??的终边经过点?? ??,3??<0 ,所以角??
是第二象限的角,因为cos??= ??=10求解可得??=?1
3．已知函数??(??+1)=2??+1
??+1,则曲线??=??(??)在点(1,??(1))处切线的斜率为
C.2 D.-2 A.1
【答案】A B.-1
【解析】本题主要考查导数的几何意义、函数的解析式的求法,考查了换元法示解析式.??(??+1)=
4．为得到函数??=?sin2??的图象,可将函数??=sin(2???)的图象 3π2 ??+1 ?1??+1则?? ?? =2???1??11=2???,?? (??)=??,则?? (1)=1,故答案为A.
A.向左平移3 B.向左平移6个单位 C.向右平移3 D.向右平移3个单位
【答案】C
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式.??=?sin2??=sin(2???π)=sin2(???2),??=sin 2???3=sin2(???6),所以,可将函数??=sin(2???3)的图象向右平移2?6=3个单位可得到数??=?sin2??的图象,故答案为C. ππππππππππ2π
e
5．“??≤ 1|+2,??>0d??”是“函数??(??)= |??是在??上的单调函数”的 ????3+??,??≤01A.充分不必要条件
C.充要条件
【答案】B B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、函数的性质、定积分，考查了逻辑推理能
e
力. 1??|??|+2,??>0d??=ln??|1=2，则??≤2，令b=2，显然函数??(??)= 在??上的不??3??+??,??≤01|??|+2,??>0是单调函数，即充分性不成立；若函数??(??)= ??是在??上的单调函数，所以3+??,??≤0
1+??≤2,即??≤1≤2,即必要性成立，故答案为B.
6．sin3,sin1.5,cos8.5的大小关系为
A.sin1.5<??????3<??????8.5
C.sin1.5<??????8.5<??????3
【答案】B B.cos8.5<??????3<??????1.5 D.cos8.5<??????1.5<??????3
【解析】本题主要考查三角函数的性质、诱导公式，考查了逻辑推理能力.sin3=sin π?3 >0，cos8.5=cos 8.5?2π =sin 2?8.5 <0，sin1.5>0,又因为??=sin??在(0,2)上是增函数，且0<???3<1.5<2所以cos8.5<??????3<??????1.5
7．已知命题??:对任意??∈(0,+∞),log4??<log8??,命题??:存在??∈??,使得tan??=1?3??,则ππ5π下列命题为真命题的是
A.??∧??
【答案】D
【解析】本题主要考查全称命题与特称命题、逻辑联结词，考查了逻辑推理能力.令x=64，则log4??=3<log8??=2不成立，则命题p是假命题，???是真命题；令x=0，则tan??=0=1?3??，故命题q是真命题，???是假命题，因此(???)∧??是真命题
8．函数??=??2ln|??|
|??|B.(???)∧(???) C.??∧(???) D.(???)∧?? 的图象大致是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查函数的图像与性质，考查了逻辑推理能力.?? ??? =??2ln ??
?? =??(??),
偶函数，故排除B；当x>1时,y>0, 故排除A；原函数可化为??=|??|ln|??|，当??→0时，??→0，故排除C，则答案为D.
9．若函数??(??)= ??+??)(|??|<)的图象关于直线??=2ππ12对称,且当??1,??2∈(?12,?
A. 7π2π3??1≠??2时,??(??1)=??(??2),则??(??1+??2)= B. 2C. 2D. 4
【答案】C
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查了逻辑推理能力与计算能力.因为函数??(??)= ??+??)(|??|<2)的图象关于直线??=12对称,所以?? 12=
6+?? =±1,且|??|<2所以??=3,所以函数??(??)的对称轴??=
以,当??=?1时,函数的一条对称轴为??=?12因为当??1,??2∈(?12,?
时,??(??1)=??(??2),所以??1+??2=?
π5π65π7ππππ??π22π3πππ+π12,??∈??,所),??1≠??25π6,所以?? ??1+??2 =?? ?5π = sin 2 ?6+ =3 2
10．4sin800?cos100
sin10=
B.? C. D.2 ?3 A.
【答案】B
【解析】本题主要考查两角和与差公式、二倍角公式，考查了转化思想与计算能力.
cos1004cos100sin10°?cos1002sin20°?cos100
4sin80?== ?cos10°2sin 30°?10°= ?cos10°2 sin30°cos10°?cos30°sin10°==? 0
11．设函数??(??)=1? ??(??)=ln(????2?3??+1),若对任意??1∈[0,+∞),都存在??2∈??,使得??(??1)=??(??2),则实数??的最大值为
A.49B.2 C.29D.4
【答案】A
【解析】本题主要考查对数函数、函数的定义域与值域,考查了转化思想与逻辑推理能力.设?? ?? =????2?3??+1的值域为A,因为对任意??1∈[0,+∞),都存在??2∈??,使得??(??1)=??(??2),且??(??)的值域为(?∞,0],所以(?∞,0]???,所以?? ?? 要取遍(0,1]中的每一个数,又?? 0 =1,所以实数a需要满足??≤0或
12．若存在两个正实数??,??,使得等式3??+??(2???4e??)(ln???ln??)=0成立,其中e为自然??>0解得??≤9,故答案为A. ,4?=9?4??≥0对数的底数,则实数??的取值范围是
A.(?∞,0)
C.[2e,+∞)
【答案】D
【解析】本题主要考查导数、函数的性质，考查了转化思想与逻辑推理能力.因为两个正实数??,??,3??+??(2???4e??)(ln???ln??)=0，所以3+??(???4e)ln??=0，令????122e=??,??>0,??≠1,??≠2e,则= 2e??? ln??,令?? ?? = 2e??? ln??,?? ?? =???3??2????3B.(0, 2e3D. ?∞,0 ∪ ,+∞ 2e3 1?ln?? =0,则t=e，0<t<e;?? ?? <0时，t>e,所以?? ?? ≤?? e =e,且所以?? ?? >0时，
?? ?? ≠0，所以0<??≤3e或??<0,解得a<0或??≥2e,故答案为D.
二、填空题：共4题
13．命题“若??≥1,则??2?4??+2≥?1”的否命题为 ． 1213【答案】若??<1,则??2?4??+2<?1
【解析】本题主要考查四种命题.由否命题的定义可知，答案：若??<1,则??2?4??+2<?1
14．已知集合??={(??,??)|??,??∈??,??2+??2=1},??={(??,??)|??,??∈??,??=4??2?1},则??∩??的元素个数是 ．
【答案】3
【解析】本题主要考查集合的基本运算,考查了计算能力.??∩??表示??2+??2=1与
??=4??2?1??=4???1的交点坐标组成的集合,解方程组 2可得??+??2=12
??=4??=?4??=0,所以??∩??的元素个数是3. 或 或 33??=?1??=??=44
15．若tan(??+)=sin2??+cos2??,??∈(,π),则tan(π???)= 42ππ【答案】3
【解析】本题主要考查两角和与差公式、二倍角公式，考查转化思想与计算能力.由
cos??+costan(??+)=sin2??+cos2??可得tan??+1=2sin??
41?tan??π2??sin??+cos??=2tan??+1
tan??+1??∈(2,π),所π以tan??=?3，则tan π??? =?tan??=3
【备注】cos2??
16．设函数??(??)对任意实数??满足??(??)=???(??+1),且当0≤??≤1时,??(??)=??(1???),若关于??的方程??(??)=????有3个不同的实数根,则??的取值范围是 ．
【答案】(5?2 1)∪{?3+2
【解析】本题主要考查导数、函数的图像与性质、函数与方程，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.因为??(??)=???(??+1),所以?? ??+2 =??? ??+1 =??(??),则函数??(??)是
??(??)=??(1???),所以当?1≤??≤0时，最小正周期为2的周期函数，因为当0≤??≤1时，
0≤??+1≤1，?? ?? =??? ??+1 =??(??+1)，作出函数??(??)的图像，如图所示，根据数形结合，当直线y=kx与曲线??(??)在一三象限第一次相切时，由于曲线??(??)的对称性，考虑第一象限即可，对??(??)=??(1???)(0≤??≤1)求导，?? ?? =1?2??，此时有
1?2??=??,则x=0，k=1， 此时切点恰好在原点，即两图像恰好只有一个交点，22?2??+??=???+??
第二次相切时，切点在?? ?? =???2+5???6(2≤??≤3)上，?? ?? =5?2??，此时有?2??2+5??=???2+5???6，则x= k=?2 +5,所以当?2 +5<??<1时,直线y=kx与曲线??(??)有三个交点；当直线y=kx与曲线??(??)在二四象限相切时,由于曲线??(??)的对称性考虑第二象限即可,此时切点在?? ?? =???2?3???2(?2≤??≤?1)上，
?? ?? =?2???3,有?2??2?3??=???2?3???2，则x=? ，k=?3+2 与曲线惟有三个交点，综上，答案为：(5?2 1)∪{?3+2
三、解答题：共6题
17．已知函数??(??)= log0.3的定义域为??,??>0,函数??(??)=4???1(0<??≤??)的值域为??.
(1)当??=1时,求(??????)∩??；
(2)是否存在实数??,使得??=??？若存在,求出??的值；若不存在,请说明理由.
4???1>0,解得：1<??≤1即??=(1,1. 【答案】(1)由 4242log0.3(4???1)≥0
当??=1时,因为0<??≤1,所以4<4???1≤1,即??=(4,1],
所以(??????)∩??=(2,1].
(2)因为??=(4,4???1],若存在实数??,使??=??,则必有4???1=2解得??=2故存在实数??=2,使得??=??.
【解析】本题主要考查指数函数与对数函数的性质、集合的基本运算，考查了逻辑推理
??=(4,1],再利用补集与交集的能力.(1)利用对数函数与指数函数的性质求出??=(4,2]，
定义求解即可；(2)??=(4,4???1],由题意可得4???1=2则结论易得.
18．设??∈(0,,满足 ??+ ??= . 3π111111111111(1)求cos(??+6的值;
(2)求cos(2??+12)的值.
π【答案】(1)∵ ??+ ??= ,∴sin(??+)= 64
ππ
πππππ ∵??∈(0,∴??+∈(,),∴sin(??+)=(1)∵ ??+ ??= ,∴sin(??+π)= 64
(2)由(1)可得:cos(2??+π)=2cos2(??+π)?1=2×( 2?1=13644
π∵??∈(0,3,∴2??+3∈(3,π),∴sin(2??+)= 34πππ∴cos(2??+)=cos[(2??+?=cos(2??+)cos+sin(2??+)sin= 12343434πππππππ . 8
【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系、两角和与差公式、二倍角公式的应用,
π考查了拼凑法、逻辑推理能力.(1)由已知,利用两角和的正弦公式求出sin(??+)= ,利64
用范围,即可求出结果;(2)先利用二倍角公式求出cos(2??+3),再拼凑可得cos(2??+12=cos[(2??+?,则易得结果. 34
19．设??:实数??满足不等式3??≤9,??:函数??(??)=??3+313(3???)2ππππ??2+9??无极值点.
(1)若“??∧??”为假命题,“??∨??”为真命题,求实数??的取值范围;
(2)已知“??∧??”为真命题,并记为??,且??:??2?(2??+2)??+??(??+2)>0,若??是???的必要不充分条件,求正整数??的值.
【答案】由3??≤9,得??≤2,即??:??≤2.
∵函数??(??)无极值点,∴??′(??)≥0恒成立,得??=9(3???)2?4×9≤0,解得1≤??≤5, 即??:1≤??≤5.
(1)∵“??∧??”为假命题,“??∨??”为真命题,∴??与??只有一个命题是真命题,
??≤2???<1; 若??为真命题,??为假命题,则 ??<1或??>5
??>2?2<??≤5. 若??为真命题,??为假命题,则 1≤??≤5
于是,实数??的取值范围为{??|??<1或2<??≤5}.
??≤2(2)∵“??∧??”为真命题,∴ ?1≤??≤2. 1≤??≤5
又??2?(2??+2??+??(??+2>0,
∴(?????)[???(??+2>0,
∴??<??或??>??+2即??:??<??或??>??+2,从而???:??≤??≤??+2. 11111111
∵??是???的必要不充分条件,即???是??的充分不必要条件,
??≥1解得1≤??≤3. ∴??+1≤2,22
∵??∈???,∴??=1.
【解析】本题主要考查命题真假的判断、逻辑联结词、充分条件与必要条件、导数与函数的性质,考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)p:??≤2;由题意易知??′(??)≥0恒成立,
??≤2 ??>2,即可求出??:1≤??≤5;易知??与??只有一个命题是真命题,则 或??<1或??>51≤??≤5
求解可得结论;(2)易得r:1≤??≤2,??:??<??或??>??+2,由??是???的必要不充分条件,可知{??|??≤??≤??+2}是{??|1≤??≤2}的真子集,则结论易得.
20．已知函数??(??)=sin(5π611?2??)?2sin(???)cos(??+4π3π4).
(1)求函数??(??)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若??∈[12,3],且??(??)=?4????(??)?cos(4???3)的最小值是?求实数??的值. 2
【答案】(1)∵??(??)=sin(6?2??)?2sin(???4)cos(??+5ππ3π4πππ3)
1 =cos2??+sin2??+(sin???cos??)(sin??+cos??) 1 =cos2??+sin2??+sin2???cos2?? 1 =cos2??+sin2???cos2?? π=sin(2??? ∴??=2π2=π,
πππππ由2??π?2≤2???6≤2??π+2,得??π?6≤??≤??π+3,??∈????,
∴函数??(??)的单调增区间为[??π?6,??π+3],??∈??.
(2)??(??)=?4????(??)?cos(4???3
ππ=?4??sin(2????[1?2sin2(2??? ππ=2sin2(2????4??sin(2???)?1 π=2[sin(2??????]2?1?2??2 πππ
∵??∈[12,3,∴0≤2???6≤2,0≤sin(2???6)≤1,
①当?? <0时,当且仅当sin(2???6=0时,??(??)取得最小值-1,这与已知不相符； ②当0≤??≤1时,当且仅当sin(2???6)=??时,??(??)取最小值?1?2??2,由已知得?1?2??2=?, 23πππππππ解得??=2
③当?? >1时,当且仅当sin(2???6=1时,??(??)取得最小值1?4??,由已知得1?4??=?2解得??=8这与??>1相矛盾.
综上所述,??=2.
【解析】本题主要考查三角函数的性质、二倍角公式、两角和与差公式，考查了转化思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)化简??(??)=
sin(2???6)，再根据正弦函数的周期性与单调性求解即可；(2)化简可得??(??)=2[sin(2???6)???]2?1?2??2，由正弦函数性质，结合二次函数的性质，分??<0、??>1、0≤??≤1三种情况讨论求解即可.
21．已知函数??(??)=??ππ15π31+???(?????)ln??(??>0). ????1(1)求函数??(??)的单调区间和极值；
(2)证明：当??∈[,2]时,函数??(??)没有零点(提示：ln2≈0.69). 2
【答案】(1)因为??(??)=+?(???)ln??=[??+????????
所以??′(??)=(??+1)(?????2)
????2????11??2??1?(??2?1)ln??], 因为??>0,所以当??∈(0,??2)时,??′(??)<0,当??∈(??2,+∞)时,??′(??)>0.
所以函数??(??)的单调增区间为(??2,+∞),单调减区间为(0,??2).
当??=??2时,??(??)取得极小值??(??2)=??[??2+1?(??2?1)ln??2]
(2)由(1)可知,当??=??2时,??(??)取得极小值,亦即最小值.
??(??2)=??[??2+1?(??2?1)ln??2],又因为2≤??≤2,所以4≤??2≤4,
设??(??)=??+1?(???1)ln??,(4≤??≤4),则??′(??)=???ln??, 111111
因为??′(??)在[4,4]上单调递减,且??′(1)>0,??′(2)<0,
所以??′(??)有唯一的零点??∈(1,2),使得??(??)在[4,??)上单调递增,在(??,4]上单调递减, 又由于??(4)=15?6ln2411>0,??(4)=5?6ln2>0,
1所以??(??)>0恒成立,从而??(??2)=??[??2+1?(??2?1)ln??2]>0恒成立,则??(??)>0恒成
立,
所以当??∈[2,2]时,函数??(??)没有零点.
【解析】本题主要考查导数、函数的性质与极值，考查了转化思想、逻辑推理能力是以计算能力.(1)??′(??)=(??+1)(?????2)
????21，根据题意，易得函数的单调性与极值；(2) 由(1)可知,
11??(??2)=??[??2+1?(??2?1)ln??2],4≤??2≤4, 当??=??2时,??(??)取得极小值,亦即最小值，
设??(??)=??+1?(???1)ln??,(4≤??≤4),求导并判断函数??(??)最小值的符号，即可得出结论.
22．已知函数??(??)=??e??+??ln????1??,??∈??且??≠0).
(1)若曲线??=??(??)在点(1,??(1))处的切线与??轴垂直,且??(??)有极大值,求实数??的取值范围；
(2)若??=??=1,试判断??(??)在(0,+∞)上的单调性,并加以在证明.(提示：e>
【答案】(1)∵??′(??)=
∴??′(??)=??e??(???1)
??(??e??+)???(??e??+??ln??)??????34169,e<429,∴??′(1)=??=0, .
当a>0时,由??′(??)>0得??>1；由??′(??)<0得0<??<1.
故??(??)只有极小值,不合题意.
当??<0时,由??′(??)>0得0<??<1；由??′(??)<0得??>1.
故??(??)在??=1处取得极大值,所以实数??的取值范围为(?∞,0).
(2)当??=??=1时,??(??)=e??+ln????则??′(??)=e??(???1)+1?ln??
??1, 设??(??)=e??(???1)+1?ln??,则??′(??)=??(e?????,
169设??(??)=0,∵e4>,e3<,且??=e???????∈(0,+∞)上递增,∴3<??<4. 94′32123不难得知,??(??)≥??(??).
∵e=??2∴??=?2ln??,∴??(??)=??11
??2(???1)+1+??2=??3+2??2+2???2
2??2∵(??3+2??2+2???2)′=3??2+4??+2>0恒成立,∴??(??)=??3+2??2+2???2递增.
∴??(??)>??(3=27>0,∴??(??)>0,∴??(??)>0,从而??′(??)>0.
故??(??)在(0,+∞)上递增.
【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质，考查了转化思想与分类讨
??′(1)=??=0，论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意，??′(??)=??e??(???1)
??214，分??>0、
, (2)??′(??)=??<0两种情况讨论函数的单调性，根据函数有极大值求解即可；
1e??(???1)+1?ln????2设??(??)=e??(???1)+1?ln??,则??′(??)=??(e?????2,根据??′(??)的单调性与零点，判断函
数??(??)的单调性即可.
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