2016-2017学年天津市和平区高三上学期期末质量调查理数
一、选择题：共8题
1．设集合??={??|??2????6>0}，??={??|?3≤??≤1}，则??∩??=
A.(?2,1]
C.[?3,?2)
【答案】C B.(?3,?2] D.(?∞,1]∪(3,+∞)
【解析】本题考查集合的基本运算.由题意得??= ?? ??<?2或??>3 ,所以??∩??={??|?3≤??<?2}=[?3,?2).选C.
?????+1≥0
2．设变量??，??满足约束条件 ??+???1≥0，则目标函数??=4??+??的最大值为
3??????3≤0
A.4
【答案】B
【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域,如图???????所示;??(0,1),??(2,3),??(1,0).当过点??时,目标函数??取得最大值4×2+3=11.选B. B.11 C.12 D.14
3．如图，在Δ??????中，若????=5，????=7，∠??=60°，则????等于
A.5 【答案】C B.6 C.8 D.5
,代入数【解析】本题考查余弦定理.由余弦定理得:????2=????2+????2?2????×????cos60°
据得49=25+????2?5????,解得????=8.选C.
4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的??的值为
A.57
【答案】B B.120 C.183 D.247
【解析】本题考查程序框图.起初:??=1,k=1；循环1次：k=3,??=4；循环2次：k=7,??=11；循环3次k=15,??=26；循环4次：k=31,??=57；循环5次：k=63,??=120,满足条件,结束循环,输出??的值为120.选B.
5．已知??,??∈??，则“2??>2??>2”是“log??2<log??2”的
A.充分不必要条件
C.充要条件
【答案】A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】本题考查指数、对数函数,充要条件.“2??>2??>2”等价于“??>??>1”;而“??>??>1”可得“log??2<log??2”,即充分性成立;反之不成立,即必要性不成立;所以“2??>2??>2”是“log??2<log??2”的充分不必要条件.选A.
6．已知双曲线??2
??2???2=1(??>0，??>0)的两条渐近线与抛物线??2=?8??的准线分别交??2
于??，??两点，??为坐标原点，若Δ??????的面积为4 ，则双曲线的离心率为
A. 2B.2 C. D.4
【答案】
B
【解析】本题考查双曲线、抛物线的标准方程与几何性质.抛物线??2=?8??的准线为??=2;双曲线
??(2,2????2?????2??=1的两条渐近线为??=±????,联立??=±????与??=2,可得14????????,??(2,???2??,而Δ??????的面积??=2×??
??2
??2×2=4 即?? = ??;而双曲线中????2+??2=??2,所以??2=4??2,即
【备注】双曲线
??2??2=4,即双曲线的离心率??=??=2.选B. ????,离心率??=??,??2+??2=??2,渐近线为??=±??. ?=1(??>0,??>0)22??????∠??????=37．????=2，????=1，??分别是边????、????上如图，在平行四边形????????中，若??、
的取值范围是 的点，且满足????=????=??，其中??∈[0,1]，则?????????????????π
A.[0,3]
【答案】C B.[1,4] C.[2,5] D.[1,7]
???????? , 【解析】本题考查平面向量的线性运算与数量积.因为????=????=??,所以????=??????????=
;所以=( +?????? )?( +?????? )?( ??????? )=(???? +)=( ???????????????????????+????????????+????
)?( )=???? ? ? ??????????+(1???) ????????+4 1??? +??+?? 1??? ????????=1+4 1??? +
取得最大值5;当??=1时,取得最??+?? 1??? =???2?2??+5;当??=0时,??????????????????
的取值范围是[2,5].选C. 小值2;即?????????
8．已知函数?? ?? = ?2??,??<01??(??)=??+??恰有三个不相等的??，若关于的方程2???2+2??,??≥0
实数解，则??的取值范围是
A.[0,4
【答案】D
【解析】本题考查函数与方程,导数的几何意义.画出函数??(??)的图像,如图所示;若??(??)=2??+??恰有三个不相等的实数解,则??(??)的图像与??=2??+??有3个交点;当??=0时,它们恰有2个交点;??=2??+??向上平移,当函数?? ?? =???2+2??与??=2??+??相切时,它们恰有2个交点,此时?2??+2=2,即??=4??=16,即切点为(4,16);
而131531511113B.(0,4) 3C.[0,16] 9D.(0,16) 9
??=2??+??过切点(4,代入可得??=16;由图可得0<??<16.即??的取值范围是(0,16.161315999选D.
二、填空题：共6题
9．已知??1=??+3i，??2=3?4i，若????的值为 2??1
【答案】4
【解析】本题考查复数的概念与运算.??2=3?4i得??=4.
10．(1
2????1??+3i3???1225+25i,其为纯虚数,所以213???1225=0,解? 9的展开式中的常数项为 ．(用数学作答)
21【答案】2【解析】本题考查二项式定理.其展开式的通项公式
????19???T??+1=C9()9???(? ??=C9()(?1)????29,令2??2
6常数项为C9()3=2121213??3??2?9=0,即??=6,可得
11．几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为3．
【答案】3
【解析】本题考查三视图,空间几何体的体积.该空间几何体为四棱锥???????????;??????????=1(2+4)× =3 所以该几何体的体积V=3??????????×3=3 2
12．直线??=????+3(??≠0)与圆??2+??2?6???4??+9=0相交于??、??两点，若1|????|=2 ??的值是．
【答案】?4【解析】本题考查直线与圆的位置关系.圆(???3)2+(???2)2=4的圆心为(3,2),半径??=2;而|????|=2 ,所以圆心到直线??=????+3的距离??=??=?4.
【备注】点到线的距离公式??=
13．设??>??>0，则??2+??(?????) ． 133= =1,解得【答案】4
【解析】本题考查基本不等式.??2+??(?????)≥??2+[??+ ????? ]2??2+仅当??=2??时等号成立).即??2+??(?????)的最小值是4.
14．定义在??上的奇函数??(??)是周期为2的周期函数，当??∈[0,1)时，??(??)=2???1，1144??2≥2 ??2×4??2当且则??(log23)的值为．
【答案】?3【解析】本题考查指数、对数函数,函数的性质.由题意得??(log23)=??(log23?2)=???(2?log23)=?(22?log23?1)=?(4÷2log23?1)=?(3?1)=?3
三、解答题：共6题
15．已知函数??(??)=cos(2???)+2sin(??+???)． 344πππ411
(1)求??(??)的最小正周期； (2)求??(??)在[?4,4]上的单调递增区间．
1【答案】(1)∵??(??)=cos2??+ sin2??+(sin??+cos??)(sin???cos??) 22ππ
=1cos2??+ sin2??+sin2???cos2??=1cos2??+ sin2???cos2??= sin2???1cos2?? 222222=sin(2???6)；
∴??(??)的最小正周期??=2π2π=π．
ππ(2)由(1)可知??(??)=sin(2???6，令??=2???6，
函数??(??)=sin??的单调递增区间是[?2+2??π,2+2??π](??∈??)，
可得?2+2??π≤2???6≤2+2??π，??∈??，则?6+??π≤??≤3+??π，??∈??， 所以，当??∈[?4,4时，??(??)的单调递增区间为[?6,4．
【解析】本题考查三角函数的性质,三角恒等变换.(1)经三角恒等变换得??(??)=sin(2???6),∴??=
16．甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为． 23122π2ππππππππππππ=π;(2)由(1)可知??(??)=sin(2???6)，求得??(??)在[?6,4]上单调递增． πππ(1)求甲至多击中目标2次的概率；
(2)记乙击中目标的次数为??，求随机变量??的分布列和数学期望．
【答案】(1)∵甲3次均击中目标的概率为(23=8
∴甲至多击中目标目标2次的概率为1?8=8．
(2)随机变量??的所有可能取值为0,1,2,3．
01??(??=0)=C3(1?3)3=27??(??=1)=C3×3×(1?32=9，
32??(??=2)=C3×(3)2×(1?3=9，??(??=3)=C3(3)3=27 22428212221711∴随机变量??的分布列为
∴随机变量??的数学期望??(??)=0×27+1×9+2×9+3×27=2．
1248
【解析】本题考查随机变量的分布列与数学期望.(1)∵甲3次均击中目标的概率为(23=8∴甲至多击中目标目标2次的概率为1?8=8求得??(??=0)=27??(??=1)=??(??=2)=??(??=3)=??的分布列,求得??(??)=2． 9927
17．????⊥平面????????，????//????，????=????=4，????=2，??为如图，四边形????????是正方形，24811171????的中点．
(1)求证：????⊥????；
(2)求证：????//平面??????；
(3)求锐角三角形??????????的余弦值．
【答案】(1)证明：依题意，????⊥平面????????；
、???? 的方向为??轴、??轴、??轴的正方向建立空间直角坐如图,以??为原点,分别以 ????、 ????
标系．
依题意可得??(0,0,0)，??(0,4,0)，??(4,4,0)，??(4,0,0)，??(0,0,4)，??(0,4,2)，??(2,0,2)． =(2,0,2)，???? =(4,4,?4)，∴???? ????? =8+0+(?8)=0， ∵ ????
∴????⊥????.
(2)证明：取????的中点??，连接????．
=(2,?2,0)，=(4,?4,0)，∴=2∵??(2,2,2)，????????????????，∴????//????．
∵?????平面??????，?????平面??????，∴????//平面??????．
(3)解:∵????⊥????，????⊥????，????∩????=??，∴????⊥平面??????；
=(2,0,2)为平面??????的一个法向量． 故 ????
=(??,??,??)； 设平面??????的法向量为??
4??+4???4??=0 =0 ????? =(4,4,?4)，???? =(0,4,?2)，∴ ??∵ ，即 ； ????4???2??=0 ?? ?????=0
,?? =(1,1,2)，∴cos<????令??=1，得??=1，??=2，故?? >=∴锐二面角????????
??的余弦值为 ． 2= ； 2
【解析】本题考查线面平行与垂直,空间向量的应用.(1)????⊥平面????????,建立恰当的空间
????? =0,∴????⊥????.(2)证得????=2????,∴????//????,∴????//平面直角坐标系;求得????
=(2,0,2)为平面??????的法向量;求得平面??????的法向量????????.(3)???? =(1,1,2),求得
,??cos<???? >=∴锐二面角??????????的余弦值为 22
18．设数列{????}满足条件??1=1，????+1=????+3?2???1．
(1)求数列{????}的通项公式；
(2)若????=??，求数列{????}的前??项和????． ????
【答案】(1)∵??1=1，????+1?????=3?2???1，
∴????=??1+(??2???1)+(??3???2)+?+(??????????1)=1+3×20+3×21+?+3×2???2
=1+3(20+21+?+2???2)=1+3×1×(1?2???1)
1?2=3×2???1?2(??≥2)，
∵当??=1时，3×21?1?2=1式子也成立，
∴数列{????}的通项公式????=3×2???1?2．
(2)解：∵????=??????=3???2???1?2??，
即：??1=3×1×20?2，??2=3×2×21?4，??3=3×3×22?6，…
∴????=??1+??2+?+????=3(1×20+2×21+3×22+?+???2???1)?(2+4+6+?+2??)．
设????=1×20+2×21+3×22+?+???2???1，①
则2????=1×22+2×22+?+(???1)?2???1+???2??，②
①?②，得?????=(20+21+22+?+2???1)????2??=(2???1)????2??，
∴????=(???1)?2??+1，
∴????=3(???1)?2??+3?2(1+2+3+?+??)=3(???1)?2?????(??+1)+3．
【解析】本题考查等比数列,数列求和.(1)累加得????=3×2???1?2．(2)????=??????=3???2???1?2??，∴????=??1+??2+?+????=3(1×20+2×21+3×22+?+???2???1)?(2+4+6+?+2??)．设????=1×20+2×21+3×22+?+???2???1,错位相减得????=(???1)?2??+1，∴????=3(???1)?2?????(??+1)+3．
19．已知椭圆??:??2+??2=1(??>??>0)经过点??(2,3)，离心率??=2． ??2??21(1)求椭圆??的方程；
(2)若∠??1????2的角平分线所在的直线??与椭圆??的另一个交点为??，??为椭圆??上的一点，当Δ??????的面积最大时，求??点的坐标．
+??2=121??2?? 【答案】(1)由椭圆??经过点??(2,3)，离心率??=2，可得 ??2???21，解得 2=16；??=12=2??449
∴椭圆??的方程为??2+12=1． 16
3??2(2)由(1)可知??1(?2,0)，??2(2,0)，则直线????1的方程为??=4(??+2)，即3???4??+6=0，
直线????2的方程为??=2，
由点??在椭圆??上的位置易知直线??的斜率为正数．
设??(??,??)为直线??=|???2|，
解得2??????1=0或??+2???8=0(舍去)，∴直线??的方程为2??????1=0． 设过??点且平行于??的直线为2?????+??=0，
=1由 1612整理得19??2+16????+4(??2?12)=0， 2?????+??=0
由??=(16??)2?4×19×4(??2?12)=0，解得??2=76，
因为??为直线2?????+??=0在??轴上的截距，依题意??>0，故??=2 ∴??点的坐标为(?16 16 19??2+??2,19)．
49
??+??=1【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)由题意得 ??2???21,=4??2
2??2??2解得 ??2=16,∴椭圆??为+=1．(2)先求得直线??为2??????1=0．联立方程,套用1612??=12
1616根与系数的关系得??=2 ∴??点的坐标为(? , ． 1919
20．已知函数??(??)=???3+2????2?3??2??(??∈??且??≠0)． 31
(1)当??=?1时，求曲线??=??(??)在(?2,??(?2))处的切线方程；
(2)当??>0时，求函数??=??(??)的单调区间和极值；
(3)当??∈[2??,2??+2]时，不等式|??′(??)|≤3??恒成立，求??的取值范围．
【答案】(1)∵当??=?1时，??(??)=?3??3?2??2?3??，??′(??)=???2?4???3， ∴??(?2)=3?8+6=3，??′(?2)=?4+8?3=1，∴??=[???(?2)]+3； 即所求切线方程为3???3??+8=0．
(2)∵??′(??)=???2+4?????3??2=?(?????)(???3??)．
当??>0时，由??′(??)>0，得??<??<3??；由??′(??)<0，得??<??或??>3??． ∴函数??=??(??)的单调递增区间为(??,3??)，单调递减区间为(?∞,??)和(3??,+∞)， ∵??(3??)=0，??(??)=?3??3，
∴当??>0时，函数??=??(??)的极大值为0，极小值为?3??3．
(3)??′(??)=???2+4?????3??2=?(???2??)2+??2，
∵??′(??)在区间[2??,2??+2]上单调递减，
∴当??=2??时，??′(??)max=??2，当??=2??+2时，??′(??)min=??2?4．
??≥0
1≤??≤3； ∵不等式|??′(??)|≤3??恒成立，∴ ??2≤3??，解得
2???4≥?3??
故??的取值范围是[1,3]．
【解析】本题考查导数的几何意义,导数在研究函数中的应用.(1)求导得切线方程为
(2)求导,分类讨论得??(??)在(??,3??)上单增,在(?∞,??)和(3??,+∞)上单减,3???3??+8=0．
(3)求得??′(??)max=??2，∴??(??)的极大值??(3??)=0,极小值??(??)=?3??3．??′(??)min=??2?
??≥0
解得1≤??≤3． 4,∵|??′(??)|≤3??恒成立,∴ ??2≤3??,
??2?4≥?3??
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