直接证明与间接证明
考纲要求
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．
3.会用分析法，综合法，反证法证明简单的命题。
4.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
基础知识梳理
一、直接证明
直接从原命题的条件逐步推得结论成立，这种证明方法叫直接证明．直接证明有两种基本方法——综合法和分析法．
1．综合法：是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________的证明方法．
2．分析法：是从_______________出发，逐步寻求使每一步结论成立的________，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法．
二、间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．
1．反证法的定义：一般地，假设原命题的结论________，经过正确的推理，最后得出________，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法．
2．用反证法证明的一般步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立；(2)归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；(3)结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
三、数学归纳法
一般的，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）归纳奠基：验证当n取第一个值n0时结论成立；（2）归纳递推：假设当n?k（k?N,*且k?n0)时结论成立，推出n?k?1时结论也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数n(n?n0)都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。
预习自测
1.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是（）
A.假设a、b、c都是偶数 B. 假设a、b、c都不是偶数
C. 假设a、b、c至多有一个偶数D. 假设a、b、c至多有两个偶数
2.（教材改编题）用反证法证明命题：“a,b?N,ab可被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）
A．a,b都能被5整除 B．a,b都不能被5整除
D．a不能被5整除 C．a,b不都能被5整除
3.若a?b?0，则下列不等式中成立的是（）
A．111111bb?1? B.a??b? C．b??a? D．? abbaabaa?1
111111111????????????, 4.用数学归纳法证明:2342n?12nn?1n?22n
第一步应验证左式是______________，
右式是___________________.
课堂探究案
典型例题
考点一综合法
【典例1】对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：
（1）对任意的x?[0,1]，总有f(x)?0；
（2）f(1)?1；
（3）若x1?0,x2?0,x1?x2?1，都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)成立，
x则称函数f(x)为理想函数，g(x)?2?1（x?[0,1]）是否为理想函数，如果是，请予
证明；如果不是，请说明理由。
【变式1】本例中条件不变，问题变为“若函数f(x)为理想函数，求f(0)”.
考点二分析法
【典例2】已知非零向量a,b，且a?b
，求证：
|a|?|b|? |a?b|
a?mb2a2?mb2
)?【变式2】已知m?0,a,b?R,求证：( 1?m1?m
考点三反证法
【典例3】已知数列an满足：a1??,an?1?
对任意实数?.
证明：数列an不是等比数列。
考点四数学归纳法
【典例4】由下列不等式：1???2an?n?4，其中?为实数，n为正整数，3??1111113,1???1,1??????，22323721?111?????2，?，你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明。 2315
课后拓展案
A组全员必做题
4422441.命题“对于任意角??cos??sin??cos2?”的证明如下“:cos??sin??(cos??sin
?)(cos2??sin2?)?cos2??sin2??cos2?.”该过程用了( )
A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法
2.要证:a?b?1?ab?0?只要证明( ) 2222
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