2016年普通高等学校招生全国统一考试(卷2)
文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
2，，3}B?{x|x2?9}，则A?B?（1）已知集合A?{1，
?1，0，1，2，3} （B）{?2，?1，0，1，2}（A）{?2，D 2} （D）{1，2，3} （C）{1，
（2）设复数z满足z?i?3?i，则z=
（A）?1?2i（B）1?2i（C）3?2i（D）3?2i
(3) 函数y=Asin(?x??)的部分图像如图所示，则
A
?（A）y?2sin(2x?) 6
?（B）y?2sin(2x?) 3
?（C）y?2sin(2x+) 6
?（D）y?2sin(2x+) 3
(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
1
（A）12?（B）32?（C）??（D）?? 3
(5) 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=
（A）k（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k= x13（B）1 （C）（D）2 22
43（B）?（C
D）2 34(6) 圆x2+y2?2x?8y+13=0的圆心到直线ax+y?1=0的距离为1，则a= （A）?
(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π
(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红
灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为学.科网
（A）7533（B）（C）（D） 108810
(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程
序框图，若输入的a为2，2，5，则输出的s=
（A）7
（B）12
（C）17
（D）34
(10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是
（A）y=x（B）y=lgx（C）y=2x（D
）y? (11) 函数f(x)?cos2x?6cos(
（A）4（B）5 π?x)的最大值为 2（C）6 （D）7
(12) 已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)
，?，
2
（xm,ym），则?x= i
i?1m
(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m
二．填空题：共4小题，每小题5分.
(13) 已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.
?x?y?1?0?(14) 若x，y满足约束条件?x?y?3?0，则z=x-2y的最小值为__________
?x?3?0?
（15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA?54，cosC?，a=1，则b=____________. 135
（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 学.科网甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）(本小题满分12分)
等差数列{an}中，a3?a4?4,a5?a7?6
（I）求{an}的通项公式；
(II)设
（18）(本小题满分12分)
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：学科.网
bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值；
(II)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.
3
求P(B)的估计值；
（III）求续保人本年度的平均保费估计值.
（19）（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将?DEF沿EF折到?D'EF的位置.
（I）证明：AC?HD'；
(II)
若AB?5,AC?6,AE?5,OD'?求五棱锥D'?ABCEF体积
. 4
（20）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?(x?1)lnx?a(x?1).
（I）当a?4时，求曲线y?f(x)在?1,f(1)?处的切线方程；
(II)若当x??1,???时，f(x)＞0，求a的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
x2y2
MA?NA. ?1的左顶点，已知A是椭圆E?斜率为k?k＞0?的直线交E于A，M两点，点N在E上，43
（I）当AM?AN时，学.科网求?AMN的面积
(II)当2AM?
AN?k?2.
请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
4
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F. 学科.网
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积
.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，学.科网求C的极坐标方程；
ì??x=tcosα,t（Ⅱ）直线l的参数方程是í（为参数），l与C交于A，B
两点，AB=,求l的斜率. ?y=tsinα,??
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)=x-
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b?M时，a+b<+ab. 11+x+，M为不等式f(x)<2的解集. 学科.网 22
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学答案
第Ⅰ卷
一. 选择题
（1）【答案】D
(5)【答案】D
(9)【答案】C （2）【答案】C (6) 【答案】A (3) 【答案】A (7) 【答案】C (4) 【答案】A (8) 【答案】B (10) 【答案】D (11)【答案】B (12) 【答案】B
二．填空题
5
(13)【答案】?6 (14)【答案】?5 （15）【答案】21
13 （16）【答案】1和3
三、解答题
（17）(本小题满分12分)
【答案】（Ⅰ）an?
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 根据等差数列的性质求a1，d，从而求得an；（Ⅱ）根据已知条件求bn，再求数列?bn?的前10项和.
试题解析：(Ⅰ)设数列?an?的公差为d，学.科网由题意有2a1?5d?4,a1?5d?3，解得a1?1,d?所以?an?的通项公式为an?
（Ⅱ）由(Ⅰ)知bn??
当n=1,2,3时，1?2n?3；（Ⅱ）24. 52， 52n?3. 5?2n?3?， ??5?2n?3?2,bn?1； 5
2n?3?3,bn?2； 当n=4,5时，2?5
2n?3?4,bn?3； 当n=6,7,8时，3?5
2n?3?5,bn?4， 当n=9,10时，4?5
所以数列?bn?的前10项和为1?3?2?2?3?3?4?2?24.
考点：等茶数列的性质，数列的求和.
【结束】
（18）(本小题满分12分)
【答案】（Ⅰ）由
式求解.
【解析】
试题分析：
试题解析：(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为60?5030?30求P(A)的估计值；（Ⅱ）由求P(B)的估计值；（III）根据平均值得计算公20020060?50?0.55， 200
6
故P(A)的估计值为0.55.
（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，学.科网一年内出险次数大于1且小于4的频率为30?30?0.3， 200
故P(B)的估计值为0.3.
(Ⅲ)由题所求分布列为：
调查200名续保人的平均保费为
0.85a?0.30?a?0.25?1.25a?0.15?1.5a?0.15?1.75a?0.30?2a?0.10?1.1925a，
因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.
考点：样本的频率、平均值的计算.
【结束】
（19）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证AC//EF.再证AC//HD?.（Ⅱ）证明OD??OH.再证OD??平面ABC.最后呢五棱锥D'?ABCEF体积.
试题解析：（
I）由已知得，AC?BD,AD?CD.
又由AE?CF得69. 4AECF?，故AC//EF. ADCD
由此得
EF?HD,EF?HD?，所以AC//HD?..
（II）由EF//AC得OHAE1??. DOAD4
由AB?5,AC?6得DO?BO?
所以OH?1,D?H?DH?3. ?4.
于是OD??OH??1?9?D?H,故OD??OH.
由（I）知AC?HD?，又AC?BD,BD?HD??H， 22222
7
所以AC?平面BHD?,于是AC?OD?.
又由OD??OH,AC?OH?O，所以，OD??平面ABC. 9EFDH?得EF?. 2ACDO11969. 五边形ABCFE的面积S??6?8???3?2224又由
所以五棱锥D'?
ABCEF体积V?169?? 34考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积.
【结束】
（20）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）2x?y?2?0.；（Ⅱ）???,2?..
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求f?(x)，f?(1)，f(1)，由直线方程得点斜式可求曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x?y?2?0.（Ⅱ）构造新函数g(x)?lnx?
数法求解.
试题解析：（I）f(x)的定义域为(0,??).当a?4时， a(x?1)，学.科网对实数a分类讨论，用导x?1
f(x)?(x?1)lnx?4(x?1),f?(x)?lnx?
切线方程为2x?y?2?0. 1?3，f?(1)??2,f(1)?0.曲线y?f(x)在(1,f(1))处的x
（II）当x?(1,??)时，f(x)?0等价于lnx?
令g(x)?lnx?a(x?1)?0. x?1a(x?1)，则 x?1
12ax2?2(1?a)x?1g?(x)???,g(1)?0， 22x(x?1)x(x?1)
（i）当a?2，x?(1,??)时，x?2(1?a)x?1?x?2x?1?0，故g?(x)?0,g(x)在x?(1,??)上单调递增，因此g(x)?0；
（ii）当a?2时，令g?(x)?0得 22
8
x1?a?1x2?a?1?
由x2?1和x1x2?1得x1?1，故当x?(1,x2)时，g?(x)?0，g(x)在x?(1,x2)单调递减，学.科网因此g(x)?0.
综上，a的取值范围是???,2?.
考点：导数的几何意义，函数的单调性.
【结束】
（21）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求?AMN的面积；（Ⅱ）设M?x1,y1?，，将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示x1，从而表示|AM|，同理用k表示|AN|，再由2AM?AN求k.
试题解析：（Ⅰ）设M(x1,y1)，则由题意知y1?0.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为
又A(?2,0)，因此直线AM的方程为y?x?2. 144；
（Ⅱ）492. ??， 4
x2y2
??1得7y2?12y?0， 将x?y?2代入43
1212，所以y1?. 77
11212144?因此?AMN的面积S?AMN?2???. 27749解得y?0或y?x2y2
??1得 （2）将直线AM的方程y?k(x?2)(k?0)代入43
(3?4k2)x2?16k2x?16k2?12?0. 16k2?122(3?4k2)由x1?(?2)?得x1?，故|AM|?x1?2|?3?4k23?
4k2
9
1由题设，直线AN的方程为y??(x?
2)，故同理可得|AN|?. k由2|AM|?|AN|得2k?，即4k3?6k2?3k?8?0. 223?4k4?3k
设f(t)?4t3?6t2?3t?8，则k是f(t)的零点，f'(t)?12t2?12t?3?3(2t?1)2?0，
所以f(t)在(0,??
)单调递增，又f?26?0,f(2)?6?0，
因此f(t)在(0,??)有唯一的零点，且零点k
在
?k?2.
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.
【结束】
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证?DGF??CBF,再证B,C,G,F四点共圆；（Ⅱ）证明Rt?BCG?Rt?BFG,四边形1. 2BCGF的面积S是?GCB面积S?GCB的2倍.
试题解析：（I）因为DF?EC,所以?DEF??CDF, 则有?GDF??DEF??FCB,DFDEDG??, CFCDCB
所以?DGF??CBF,由此可得?DGF??CBF,
由此?CGF??CBF?180,所以B,C,G,F四点共圆.
（II）由B,C,G,F四点共圆，CG?CB知FG?FB，连结GB，
由G为Rt?DFC斜边CD的中点，知GF?GC,故Rt?BCG?Rt?BFG,
因此四边形BCGF的面积S是?GCB面积S?GCB的2倍，即 0
111S?2S?GCB?2???1?. 222
10
考点：三角形相似、全等，四点共圆
【结束】
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
【答案】（Ⅰ）?2?12?cos??11?0；
（Ⅱ）【解析】
试题分析：（I）利用??x?y，x??cos?可得C的极坐标方程；（II）先将直线l的参数方程化为普通方程，学.科网再利用弦长公式可得l的斜率．
试题解析：（I）由x??cos?,y??sin?可得C的极坐标方程??12?cos??11?0.
（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为???(??R)
由A,B所对应的极径分别为?1,?2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 2222. ?2?12?cos??11?0.
于是?1??2??12cos?,?1?2?
11,
|AB|?|?1??2|??
由|AB|?
得cos2??3， ,tan??8所以l
考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.
【结束】
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
【答案】（Ⅰ）M?{x|?1?x?1}；（Ⅱ）详见解析.
11
【解析】
试题分析：（I）先去掉绝对值，再分x??1111，??x?和x?三种情况解不等式，即可得?；（II）2222
采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a，b??时，a?b?1?ab．
???2x,x??1,
?2
试题解析：（I）f(x)???1,?1?x?1
?22, ???2x,x?1
2.
当x??1
2时，由f(x)?2得?2x?2,解得x??1； 当?1
2?x?1
2时，f(x)?2； 当x?1
2时，学.科网由f(x)?2得2x?2,解得x?1.
所以f(x)?2的解集M?{x|?1?x?1}.
（II）由（I）知，当a,b?M时，?1?a?1,?1?b?1，从而
(a?b)2?(1?ab)2?a2?b2?a2b2?1?(a2?1)(1?b2)?0，
因此|a?b|?|1?ab|.
考点：绝对值不等式，不等式的证明.
【结束】
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