海淀区高二年级第一学期期末练习
数学 (文科)2017.1 学校班级姓名 成绩
本试卷共100分.考试时间90分钟.
一.选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线x?y?0的斜率是()
A.1 B. ?1 C.
2?3? D.442.圆?x?1??y2?1的圆心和半径分别为()
1C. (?1,0),1D. ?1,0?,1 A.(0,1),1B. (0,?1),
3.若两条直线2x?y?0与ax?2y?1?0互相垂直,则实数a的值为()
A.?4B.?1C.1 D. 4
x2
?y2?1的渐近线方程为() 4.双曲线9
A.y??3x B. y??1xC. y??3xD. y??x 33
5.已知三条直线m,n,l,三个平面?,?,?,下面四种说法中,正确的是()
???? A.???//? ????
C.
m?l? B.??m//n n?l?D.m//????l//?l?m?m//n???m?? n???
6.一个三棱锥的三视图如图所示,则三棱锥的体积为() 5 3
20C. 3A.
10 325D. 3B. 7.“直线l的方程为y?k(x?2),”是“直线l经过点(2,0)”的()
A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.椭圆的两个焦点分别为F1(?1,0)和F2(1,0),若该椭圆与直线x?y?3?0有公共点,则其离心率的最大值为()
A.?1
C.
二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
9.抛物线y2?4x的焦点到准线的距离为______.
210.已知命题p:?x?R,x?2x?1?0,则?p是_________.
?x?y?1?0,?11.实数x,y满足?x?1,,若m?2x?y,则m的最小值为______.
?y??1?
A1C1
M
P
12.如图,在棱长均为2的正三棱柱ABC?A1B1C1中, 点M是侧棱AA1B1内的动点, 1的中点,点P是侧面BCC且A1P//平面BCM,则点P的轨迹的长度为_______;
13.将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD?2,则三棱锥D?ABC的顶点D到底面ABC的距离为_________.
14.若曲线F(x,y)?0上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)满足x1?x2且y1?y2,则称这两点为曲线F(x,y)?0上的一对“双胞点”.下列曲线中: x2y2x2y2
??1 (xy?0);②??1 (xy?0); ①20162016
③y2?4x;④x?y?1.
存在“双胞点”的曲线序号是_____________.
三.解答题:本大题共4小题,共44分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分10分)
已知点A(?3,0),B(1,0),线段AB是圆M的直径.
(Ⅰ)求圆M的方程;
(Ⅱ)过点(0,2)的直线l与圆M相交于D,E两点,且DE?2,求直线l的方程.
16.(本小题满分12分)
如图,在正四棱锥P?ABCD中,点M为侧棱PA的中点. (Ⅰ)求证:PC//平面BDM;
(Ⅱ)若PA?PC,求证:PA?平面BDM.
DP
17.(本小题满分10分)
顶点在原点的抛物线C关于x轴对称,点P(1,2)在此抛物线上. (Ⅰ)写出该抛物线C的方程及其准线方程;
(Ⅱ)若直线
y?x与抛物线C交于A,B两点,求?ABP的面积.
18.(本小题满分12分) x2y2
已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过点D(0,1),一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直. ab
(Ⅰ)求椭圆C的方程; 1(Ⅱ)过M(0,?)的直线l交椭圆C于A,B两点,判断点D与以AB为直径的圆的位置关3
系,并说明理由.
海淀区高二年级第一学期期末练习参考答案2017.1
数学 (文科)
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.
1.A 2.D 3.B 4.B 5.D 6.B 7.C 8.A
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
29. 2 10. ?x?1,x?2x?1?011.?3
①③④
三、解答题: 本大题共4小题,共44分.
15. 解:(Ⅰ)已知点A(?3,0),B(1,0),线段AB是圆M的直径, 则圆心M的坐标为??1,0?. --------------------------2分 又因为AM?2,--------------------------3分
所以圆M的方程为(x?1)2?y2?4. -------------------------4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知圆M的圆心M(?1,0),半径为2.
设N为DE中点,则MN?
l,|DN|?|EN|?
-------------------------5分
则|MN|?1?? 2?1.--------------------------6分
当l的斜率不存在时,l的方程为x?0,此时|MN|?1,符合题意; -------------------------7分
当l的斜率存在时,设l的方程为y?kx?2,由题意得
?1--------------------------8分
解得k?3,--------------------------9分 4
故直线l的方程为y?
--------------------------10分 3x?2,即3x?4y?8?0. 4
综上,直线l的方程为x?0或3x?4y?8?0.
16.解: 证明:(Ⅰ)如图,在正四棱锥P?ABCD中,
连接AC,设AC?BD?O,连接MO.--------------------------1分 因为ABCD为正方形,则O为AC中点.
又因为M为侧棱PA的中点,
所以MO//PC. --------------------------3分
又因为PC?面BDM,MO?面BDM,
所以PC//平面BDM.--------------------------5分
(Ⅱ)连接PO,在正四棱锥P?ABCD中, PO?平面ABCD,-----------------------6分
BD?平面ABCD,
所以PO?BD.---------------------- 7分 又因为BD?AC,---------------------- 8分
AC?PO?O,
且AC?平面PAC,PO?平面PAC, O所以BD?平面PAC.---------------------- 9分
又因为 PA?平面PAC,
所以BD?PA. ----------------------10分 由(Ⅰ)得MO//PC,
又因为PA?PC,则MO?PA.------------------11分
又MO?BD?O,且MO?平面BDM,BD?平面BDM, 所以PA?平面BDM. ---------------------- 12分
17解:(Ⅰ)因为抛物线的顶点在原点,且关于x轴对称, 可设抛物线方程为y?2px,----------------------1分
由抛物线经过P(1,2)可得p?2. ---------------------- 2分 2
所以抛物线方程为y2?4x,---------------------- 3分
准线方程为x??1. ---------------------- 4分
?y2?4x(Ⅱ)由?---------------------- 5分y?x?
得??x?0?x?4或?---------------------- 7分 ?y?0?y?4
可得A(0,0),B(4,4).
(或:AB?)--------------------8分 所以S?ABP?1?2(2?4)(4?1)4?4???2. ---------------- 10分 222
( 或:点P到直线y?
x的距离d??---------------- 9分
1S?ABP???2. ---------------- 10分 ) 22
x2y2
18.解:(Ⅰ)由椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过D(0,1) ab
可得b?1.---------------------- 1分
因为一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,所以a?.---------------------- 3分
x2
所以椭圆C的方程为?y2?1. ---------------------- 4分 2
(Ⅱ)以AB为直径的圆经过点D,理由如下:----------------------5分
当直线AB与x轴垂直时,显然D在圆上;----------------------6分
当直线AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程为y?kx?1. ----------------------7分 3
1?y?kx?,??3设A(x1,y1),B(x2,y2),由?2 ?x?y2?1??2
得9(2k?1)x?12kx?16?0,显然??0. ---------------------- 8分 22
x1?x2?4k,3(2k2?1)x1x2??16---------------------- 9分 9(2k2?1)
?(x1,y1?1),?(x2,y2?1). 所以DA?DB?x1x2?(y1?1)(y2?1)---------------------- 10分 ?x?(kx44
1x21?3)(kx2?3)
?(1?k2)x416
1x2?3k(x1?x2)?9
?(1?k2)??16?44k16
??9(2k2?1)???3k?3(2k2?1)?9?0---------------------- 11分
所以DA?DB,所以点D在圆上. 综上所述,点D一定在以AB为直径的圆上.
---------------------- 12分
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