【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 章末综合测评2 北师大版
选修4-5
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
?24?21?1．设xy>0，则?x＋2?y＋2?)的最小值为() ?y??x?
A．－9
C．10 B．9 D．0
?2?22???122??12?2【解析】 ?x＋????＋y?≥?x·y?＝9. ??y????x?
n??xy?【答案】 B 2．设n∈N＋，则4与3n的大小关系是()
A．4>3n
C．4<3n
nnnnB．4＝3n D．不确定 nnn【解析】 4＝(1＋3).根据贝努利不等式，有(1＋3)≥1＋n×3＝1＋3n>3n，即4>3n.
【答案】 A
3．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a＋b＋c＋d＋e＝16，则e的取值范围为() 22222
?45?A.?0，? 5??
?16C.?0 5??
【解析】 ∵4(a＋b＋c＋d)
＝(1＋1＋1＋1)(a＋b＋c＋d)
≥(a＋b＋c＋d)，
即4(16－e)≥(8－e)，
64－4e≥64－16e＋e，
即5e－16e≤0，
∴e(5e－16)≤0，
16故0≤e≤. 5
【答案】 C 22222222222222?1616?B．?? ?55??4545?D．?，? 5??5
4．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件，50件，20件，现在选择商店中单 1
价为5元，3元，2元的奖品，则至少要花( )
A．300元
C．320元
【解析】 由排序原理，逆序和最小．
∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元)．
【答案】 C
45．函数y＝2－9x－x>0)的最大值是( ) B．360元 D．340元 x
A．－10
C．－11 B．10 D．11
4?【解析】 y＝2－?9x≤2－36＝－10. ?x?
【答案】 A
6．已知a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋4c＝1，则a＋b＋2c的最大值是( )
【导学号：94910043】
A．5 B．10 2
13 22C．8 D．
?22?1?2?22【解析】 ?1＋1＋???(a＋b＋4c)≥(ab2c)， ??2??
∴a＋＋2c510＝. 22
25当且仅当a＝b＝，c＝ 510
【答案】 B
7．若x＋2y＋4z＝1，则x＋y＋z的最小值是( )
A．21
C．16
222221B． 211D． 162222【解析】 ∵1＝x＋2y＋4z≤x＋y＋z·1＋4＋16，∴x＋y＋z≥
12＋z的最小值为. 21
【答案】 B 122，即x＋y21
2
11118．设S(n)＋2( ) nn＋1n＋2n11A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋23
111B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋ 234
1112C．S(n)共有n－n项，当n＝2时，S(2)＝＋ 234
1112D．S(n)共有n－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋ 234
1112【解析】 S(n)共有n－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋. 234
【答案】 D
9．设a，b，c为正数，且a＋2b＋3c＝13，则3a＋2bc的最大值为( ) A.33133B 2
D．13 C.13
??1?2??a·32b·1＋3c·1?222【解析】 (a＋2b＋3c)?3?＋1＋???≥??＝3???3???(3a2b＋c)， 133a＋2b＋c)≤ 3222
133∴3a＋2b＋c， 3
当且仅当a
3＝2b3c时取等号． 113
又a＋2b＋3c＝13，
313∴a＝9，b，c＝时，原式取到最大值. 233
【答案】 A 11110．已知a，b，c为正数，且满足a＋2b＋3c＝1，则＋的最小值为( ) a2b3c
A．7
C．11 B．8 D．9
111【解析】 ∵a，b，c为正数，且满足a＋2b＋3c＝1，＋＋＝(a＋2b＋a2b3c
3
311111113?3c)?＋＋≥3a·2b·3c·3·＝9，当且仅当a＝2b＝3c＝时取等号．因a2b3c3?a2b3c?
111此＋9. a2b3c
【答案】 D
11．用数学归纳法证明1＋cos α＋cos 3α＋?＋cos(2n－1)α＝2
2n＋12n－1sin ·cos α22(α≠kπ，k∈Z，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项sin α
是( )
1A. 2
1B.＋cos α 2
1C.＋cos α＋cos 3α 2
1D.＋cos α＋cos 2α＋cos 3α 2
1【解析】 首项为，末项为cos(2×1－1)α＝cos α. 2
【答案】 B
12．设a，b，c，x，y，z是正数，且a＋b＋c＝10，x＋y＋z＝40，ax＋by＋cz＝20，则222222a＋b＋c( ) x＋y＋z
1B 3
3D 4
2221A. 41C. 2【解析】 由题意可得x＋y＋z＝2ax＋2by＋2cz，①
①与a＋b＋c＝10相加可得(x－a)＋(y－b)＋(z－c)＝10， 222222
x－a＝a，??所以不妨令?y－b＝b，
??z－c＝c x－a＝b，??或?y－b＝c，??z－c＝a.
则x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，
即a＋b＋c1. x＋y＋z2
4
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
1111n13．证明1>(n∈N＋)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左边2342－12
增加的项数是__________．
【解析】 左边增加的项数为2
【答案】 2
14．已知x，y，z∈R，x＋y＋z＝9，则x＋y＋z的最大值是________．
【解析】 (xy＋z)≤(1＋1＋1)·(x＋y＋z)＝3×9＝27，x＋y＋z≤33.
当且仅当x＝y＝z＝3时取“＝”．
【答案】 3
15．若x＋y＋z＋t＝4，则x＋y＋z＋t的最小值为________．
【解析】 比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得
(x＋y＋z＋t)(1＋1＋1＋1)≥(x＋y＋z＋t)，当且仅当x＝y＝z＝t＝1时，取最小值4.
【答案】 4
1?1?π?1＋0＜α＜?16．函数y＝?1＋???的最小值是________. 2??sin α??cos α??
【导学号：94910044】
【解析】 由柯西不等式，得 22222222222222222k＋1－1－2＋1＝2. kkk
?2?1?2??2?12?y＝?1＋????1＋? ??sin α???cos α??
?1×1＋112
≥? sin αcos α??2?＝?1sin 2α?
当且仅当1
cos α?2?≥(1＋2)2＝3＋22. ?1
sin α，
π即α＝时等号成立． 4
【答案】 3＋2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5
?x－1??y＋2??z－3?17．(本小题满分10分)设x，y，z∈R，且＋＝1.求x1654
＋y＋z的最大值和最小值．
【解】 根据柯西不等式，知
4＋5)＋2]??222222??x－12?y＋22?z－32?＋?? ＋???4??5??2??
?x－15·y＋2＋2·z－32
≥?， 425??
当且仅当x－1y＋2z－3
16＝54
21即x＝ 5
y＝－1，zx＝－y＝－3，
z
∴25×1≥(x＋y＋z－2)，
∴|x＋y＋z－2|≤5，∴－3≤x＋y＋z≤7，
即x＋y＋z的最大值为7，最小值为－3.
18．(本小题满分12分)设x＋2y＝1，求u(x，y)＝x＋2y的最小值.
【导学号：94910045】
【解】 由柯西不等式，有
|u(x，y)|＝|1·x＋2·2y|
≤1＋2x＋2y＝3. 得umax3，umin3.
分别在?3??33??3，?－，－?时取到． 3??33??3222195115115
1111n－219．(本小题满分12分)＋＋?＋－1(n≥2)． 234221【证明】 (1)当n＝2时，>0，不等式成立． 2
(2)假设n＝k(k≥2)时，原不等式成立．
11111k－2即＋＋?＋－1， 234522
则当n＝k＋1时，
1111111k－211左边＝＋＋＋?＋－1＋－1＋－1＋?＋－1－1＋－1＋－123422＋12＋22＋222＋12＋2
6
1k－2111k－22k－1?k＋1?－2＋?＋－1＋＝＝. －12＋222222222
∴当n＝k＋1时，原不等式成立．
由(1)(2)知，原不等式对n≥2的所有的自然数都成立．
1111n－2故＋?＋>n≥2)． 23422
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为－k－11,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c为正数，且1a＋1
2b＋1
3cm，求证：a＋2b＋3c≥9.
【解】 (1)因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为－1,1]，故m＝1.
(2)证明：由(1)知1a＋1
2b1
3c＝1，
又a，b，c为正数，由柯西不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)??111
?a2b＋3c?≥ ???·1
a2b·1
2b3c·12
3c?＝9.
21．(本小题满分12分)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.
(1)求证：x222
y＋2zy
z＋2xz
x＋2y≥1
3
(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．
【解】 (1)证明：因为x>0，y>0，z>0，所以由柯西不等式得：
(y＋2z)＋(z＋2x)＋(x＋2y)]
?222
?x
?y＋2zy
z＋2xz
x＋2y?≥(x＋y＋z)2，
又因为x＋y＋z＝1.
x2y2z2?x＋y＋z?21
y＋2z＋z＋2xx＋2y?y＋2z?＋?z＋2x?＋?x＋2y?3(2)由平均值不等式得4x＋4y＋4z2≥334x＋y＋z2，
因为x＋y＋z＝1，
所以x＋y＋z2＝1－z＋z2
7
2
＝???z1233?＋44
33故4x＋4y＋4z2≥344＝32，
当且仅当x＝y＝1
4，z1
2
所以4x＋4y＋4z2的最小值为2.
22．(本小题满分12分)用数学归纳法证明1＋n2≤1＋1111
2＋32≤2＋n(n∈N＋)．
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝1＋11
2，右边＝21，
∴313
2≤1＋2≤2，命题成立．
当n＝2时，左边＝12
22；右边＝1
2＋2＝5
2
∴2<1＋1112＋345
2
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立， 即1＋k1111
2＋2＋32k2k，
则当n＝k＋1时，
112＋131111kk1k＋1
2k＋2k＋12k＋22k＋2k＋22·2k＋1＝1＋2. 又1＋1213＋?＋11111k11
22＋1＋2＋22＋22＋k＋2·22＋(k＋1)，
即n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)可知，命题对所有n∈N＋都成立．
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