北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷（理工类） 2016．1
（考试时间120分钟 满分150
分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
M?N?1．已知集合M??x|?1?x?1?A．?x|0?x?1?B．?x|0?x?1 C．?x|x?0?D．?x|?1?x?0?
2．复数z?i(1?i)（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为
A．(1,1)B．(?1,?1)C．(1,?1) D． (?1,1)
3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为
A．3 B．4 C．5D．6
第3题图
4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试
估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度
通过该处的汽车约有
A．30辆 B．300辆
C．170辆 D．1700辆
频率km/h）
第4题图
5．“a?1”是“函数f(x)?a?x?cosx在R上单调递增”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6． 已知点Q(22,0)及抛物线x?4y上一动点P(x,y)，则y?PQ的最小值是
A． 21 B．1 C． 2 D． 3 2
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是
A．27 B．30
C．32 D．36
俯视图 侧视图 第7题图 8．设函数f(x)的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x?D，都有f(x?m)?f(x)，则称f(x)为D上的“m型增函数”．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，
．若f(x)为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是 f(x)?x?a?a（a?R）
A．a?0B．a?5
C．
a?10
D．a?20
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
?9．函数y?2sin(2x??1的最小正周期是 6
?x?y≤2，?10．若x，y满足约束条件?2x?y≥1，则z?x?y的最大值为 ．
?y≤1，?
11．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是． 12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ．
13．已知A,B为圆C:(x?m)2?(y?n)2?9(m,n?R)上两个不同的点（C为圆心）
，且满足????????|CA?CB|?AB? ．
????????????14．已知点O在?ABC的内部，且有xOA?yOB?zOC?0，记?AOB,?BOC,?AOC的面积分
别为S?AO，BS?B，OCS?．A若x?y?z?1，则S?AOB:S?BOC:S?AOC?若x?2,y?3,z?，则4S?AOB:S?BOC:S?AOC? ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；
（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
16．（本小题满分13分）
如图，在?ABC中，点D在BC边上，?CAD?
（Ⅰ）求sin?C的值；
（Ⅱ）若BD?5,求?ABD的面积．
B D C ?7cos?ADB?，． ,AC?
1042A
17．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是菱形，且?DAB?60?．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA?PD?AD，且平面PAD?平面ABCD，
求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．
18．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?ax?lnx,其中a?R．
（Ⅰ）若f(x)在区间[1,2]上为增函数，求a的取值范
围；
（Ⅱ）当a??e时，（ⅰ）证明：f(x)?2?0；
19．（本小题满分14分）
已知圆O:x?y?1的切线l与椭圆C:x?3y?4相交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求证：OA?OB；
（Ⅲ）求?OAB面积的最大值.
20．（本小题满分13分）
已知有穷数列：a1,a2,a3,?,ak(k?N*,k?3)的各项均为正数，且满足条件：
①a1?ak；②an?2222 21?2an?1?(n?1,2,3,?,k?1)． anan?1
（Ⅰ）若k?3,a1?2，求出这个数列；
（Ⅱ）若k?4，求a1的所有取值的集合；
（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．
北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试
数学答案（理工类） 2016．1
一、选择题：（满分40分）
二、填空题：（满分30分）
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则
1203C3?C7?C3?C749
P(A)??. 3
C1060
所以选出的3名同学来自班级的概率为
49
． ???????????5分 60
（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，则
312
C30?C7C3?C7721
； ； P(X?0)??P(X?1)??33
C1024C1040130C32?C7C3?C771
； ． P(X?2)??
P(X?3)??33
C1040C10120
所以随机变量X的分布列是
随机变量X的数学期望
E(X)?0?
721719?1??2??3??． ??????????13分 24404012010
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为cos?ADB??
又因为?CAD?
，所以sin?ADB? 1010
??
，所以?C??ADB?．
44
???
所以sin?C?sin(?ADB?)?sin?ADB?cos?cos?ADB?
sin
444
?
4
?． ?????????7分 5
74
?
AC?sin?CADAC
?
?（Ⅱ）在?ACD中，由，得AD?
sin?ADCsin
?Csin?ADC
所以S?ABD?
11AD?BD?sin?ADB??5??7． ????13分 2210
17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD． 又因为AB?面PCD，CD?面PCD，所以AB∥面PCD． 又因为A,B,E,F四点共面，且平面ABEF?平面PCD?EF， 所以AB∥EF． ?????????5分 （Ⅱ）取AD中点G，连接PG,GB．
因为PA?PD，所以PG?AD． 又因为平面PAD?平面ABCD， 且平面PAD?平面ABCD?AD，
所以PG?平面ABCD．所以PG?GB． 在菱形ABCD中，因为AB?AD， ?DAB?60?，G是AD中点， 所以AD?GB．
如图，建立空间直角坐标系G?xyz．设PA?PD?AD?2a， 则G(0,0,0),A(a,0,0)，
B,0),C(?2a,0),D(?a,0,0),P)．
又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD
中点．所以E(?a,
)，
22
????
????aa3aF(?
)．所以AF?(?,0,)，EF?(,?,0)． 222222
?????z?,???n?AF?0,设平面AFE的法向量为n?(x,y,z)，则有????所以??
x.??y??n?EF?0.?
令x?3，则平面AFE
的一个法向量为n?．
????BG?PAD
因为平面，所以GB?,0)是平面PAF的一个法向量．
????????n?GB因为cos<n,GB>?， ??n?GB
所以平面PAF与平面AFE
18．（本小题满分14分） ． ????????13分 1 解：函数f(x)定义域x?(0,??)，f?(x)?a?． x
（Ⅰ）因为f(x)在区间[1,2]上为增函数，所以f?(x)?0在x?[1,2]上恒成立， 即f?(x)?a?11?0，a??在x?[1,2]上恒成立， xx
则a??. ?????????????????????4分 （Ⅱ）当a??e时，f(x)??e x?lnx,f?(x)?12?ex?1． x
1（ⅰ）令f?(x)?0，得x?． e
11令f?(x)?0,得x?(0,)，所以函数f(x)在(0,)单调递增． ee
11令f?(x)?0,得x?(,??)，所以函数f(x)在(,??)单调递减． ee
111所以，f(x)max?f()??e??ln??2． eee
所以f(x)?2?0成立． ???????????????????9分 （ⅱ）由（ⅰ）知， f(x)max??2， 所以|f(x)|?2．
设g(x)?1?lnxlnx3． ?,x?(0,??).所以g?(x)?x2x2
令g?(x)?0，得x?e．
令g?(x)?0,得x?(0,e)，所以函数g(x)在(0,e)单调递增，
令g?(x)?0,得x?(e,??)，所以函数g(x)在(e,??)单调递减； 所以，g(x)max?g(e)?lne313????2， 即g(x)?2． e2e2
lnx3?． x2 所以|f(x)|?g(x) ，即|f(x)|?
所以，方程|f(x)|?lnx3?没有实数解． ???????????14分 x2
219．（本小题满分14分） 2解：（Ⅰ）由题意可知a?4，b?48222，所以c?a?b?．
33
所以e?c．所以椭圆C
??????????3分 ?a（Ⅱ）若切线l的斜率不存在，则l:x??1．
x23y2
??1中令x?1得y??1． 在44
????????不妨设A(1,1),B(1,?1)，则OA?OB?1?1?0．所以OA?OB．
同理，当l:x??1时，也有OA?OB．
若切线l的斜率存在，设l:y?kx?
m?1，即k2?1?m2．
由??y?kx?m，得(3k2?1)x2?6kmx?3m2?4?0．显然??0． 22?x?3y?4
6km3m2?4设A(x1,y1)，B(x2,y2),则x1?x2??2，x1x2?． 3k?13k2?1
所以y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?k2x1x2?km(x1?x2)?m2.
????????所以OA?OB?x1x2?y1y2?(k2?1)x1x2?km(x1?x2)?m2
3m2?46km?(k?1)2?km2?m2 3k?13k?12
(k2?1)(3m2?4)?6k2m2?(3k2?1)m2
? 23k?1
4m2?4k2?4? 3k2?1
4(k2?1)?4k2?4??0． 3k2?1
所以OA?OB．
综上所述，总有OA?OB成立． ??????????????????9分 （Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为?OAB的高，
当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知AB?2．
则S?OAB?1.
当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，
AB?
?
?
??
? 23k?1
4(1?k2)(9k2?1)4(9k4?10k2?1)4k2
所以AB???4(1?4) 22422(3k?1)9k?6k?19k?6k?12
k216416?4??4?? ?4?16?4（当且仅当时，等k??219k?6k?13339k2?2?
6k
号成立）
．所以AB?．此时
, (S?OAB)max?.
33
综上所述，当且仅当k??
20．（本小题满分13分） 时，?
OAB面积的最大值为．???????14分 33
解：（Ⅰ）因为k?3,a1?2，由①知a3?2； 由②知，2a2?112?a1??3，整理得，2a22?3a2?1?0．解得，a2?1或a2?． 2a2a1
当a2?1时，不满足a2?21?2a3?，舍去； a2a3
所以，这个数列为2,,2．???????????????????3分 （Ⅱ）若k?4，由①知a4?a1． 因为an?12211?2an?1?(n?1,2,3)，所以(an?2an?1)(1?)?0． anan?1anan?1
11an或an?1?(n?1,2,3)． 2an所以an?1?如果由a1计算a4没有用到或者恰用了2次an?1?1，显然不满足条件； an
1，共有下面4种情况： an 所以由a1计算a4只能恰好1次或者3次用到an?1?
（1）若a2?11111，a3?a2，a4?a3，则a4??a1，解得a1?； 222a14a1
1111a1，a3?，a4?a3，则a4??a1，解得a1?1； 22a1a2
1141a1，a3?a2，a4?，则a4??a1，解得a1?2； 22a1a3（2）若a2?（3）若a2?（4）若a2?1111，a3?，a4?，则a4??a1，解得a1?1； a1a1a2a3
1
2综上，a1的所有取值的集合为,1,2}． ??????????????????8分
*（Ⅲ）依题意，设k?2m,m?N,m?2．由（II）知，an?1?11an或an?1? (n?1,2,3,?2m?1)．2an
假设从a1到a2m恰用了i 次递推关系an?1?
则有a2m?()?a111，用了2m?1?i次递推关系an?1?an， 2an12t(?1)i，其中t?2m?1?i,t?Z．
1
2t当i是偶数时，t?0，a2m?()?a1?a1无正数解，不满足条件；
当i是奇数时，由a2m?()?a112t?11?a1,t?2m?1?i?2m?2得a12?()t?22m?2， 2
所以a1?2m?1．
又当i?1时，若a2?1111， a1,a3?a2,?,a2m?1?a2m?2,a2m?222a2m?1
12m?222m?2
?a1，a2m?有a2m?1?()?a1，即a1?2m?1． 2a1
所以，a1的最大值是2
m?1．即a1?2k?12．?????????????13分
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