第三讲 一次函数培优
一、平移问题
例1已知直线L?经过（2，0）和（0，4），把直线L沿x轴的反方向向左平移2个单位，得到直线L′，则直线L′的解析式为_______．
二、定点问题
例2不论k为何值，解析式（2k-1）x-（k+3）y-?（k-11）=0表示的函数的图象经过一定点，则这个定点是_______．
三、面积问题
例3设直线y=kx+k-1?和直线y=（k+1）x+k（k是正整数）与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1+S2+S3+?+S2006的值是_______．
例4、如图,已知直线y=-x+2与x轴,y轴分别交于A和B点,?另一直线y=kx+b(k≠0)过点C(1,0),且把△AOB分成两部分.(1)若△AOB?被分成的两部分面积相等,求k和b的值.(2)若△AOB被分成两部分的面积比为1:5,求k和b的值.
y
y
M O
1
四、线段和的最小值问题
例5、已知点A（－1，5），B（－6，1），在x轴上有点C（m，0），在y轴上有点D（0，n），使AB+BC+CD+DA最短，求
五、代数综合问题
例6、已知一次函数y=ax+b的图象经过点A（m的值。 n，3?2），B(－1,3),C(-2,c).求a2?b2?c2?ab?ac?bc的值
例7、已知k?a?b?ca?b?c?a?b?c2??，且m?5?n?9?6n，则关于自变量的一次函cba
数y?kx?m?n的图象一定经过第象限。
六、一次函数与一次方程（组）
例8、在直角坐标系中，若一点的横纵坐标都是整数，则称该点为整点，设k为整数，当直线y=x-2与y=kx+k有交点为整点时，求k的值。
2
七、函数与几何综合问题
例9 在平面直角坐标系中，已知A（2，?-2），点P是y轴上一点，则使AOP为等腰三角形的点P有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
例10．已知：如图一次函数y=1x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C（3，0）作AB的2
垂线交AB于点E，交y轴于点D，求点D、E的坐标．
七、实际问题中函数应用
例11某房地产开发公司计划建A、B?两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，?且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
（2）该公司选用哪种方案建房获得利润最大？
（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A?型住房的售价将会提高a万元（a>0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？
3
例12有一个附有进、出水管的容器，?每单位时间进、出的水量都是一定的．设从某时该开始5min内只进水不出水，?在随后的15min内既进水又出水，得到时间x（min）与水量y（L）之间的关系如图．若20min后只放水不进水，则这时（x≥20时）y与x的函数关系是________．
例13、在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与港的距离分别为．B．．．．．
y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示．
（1）填空：A、C两港口间的距离为 km，a? ；
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以
相互望见时x的取值范围．
4 a 3 x/h 0.5 （第23题）
学力训练
一、选择题：
1．已知函数
的自变量x的取值范围是全体实数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
其中相同的两个函数是（ ） 2．已知函数
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
3．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（ ）
（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3
4．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（ ）
（A）一象限 （B）二象限 （C）三象限 （D）四象限
5．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别
为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹
簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（ ）
（A）y1>y2 （B）y1=y2
（C）y1<y2 （D）不能确定
6．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，?则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）
7．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
8．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（ ）
（A）m>-11 （B）m>5 （C）m=- （D）m=5 44
9．过点P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，?这样的直线可以作（ ）
（A）4条 （B）3条 （C）2条 （D）1条
5
10．在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点
P共有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
11．一次函数y=ax+b（a为整数）的图象过点（98，19），交x轴于（p，0），交y轴于（?0，q），
若p为质数，q为正整数，那么满足条件的一次函数的个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）无数
12．在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数．当直线y=x-3与y=kx+k的交点为
整点时，k的值可以取（ ）
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
13如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y?2x的图象相交于点B，能表示这个一次函数图象的方程是（ ）
A．2x?y?3?0 B．x?y?3?0
C．2y?x?3?0 D．x?y?3?0
14．直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，则直线的解析式 。
如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（ ）
A B C D
二、填空题
1. 在函数 中，自变量x的取值范围是
2．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是 ．
3．已知abc≠0，而且a?bb?cc?a??=p，那么直线y=px+p一定通过第 象限 。 cab
4．已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________．
5．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P?到x?轴的距离等于3，?则点P?的坐标为__________．
6
6．若一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，?则一次函数的解析式为________．
7．设直线kx+（k+1）y-1=0（为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为Sk（k=1，2，3，??，2008），
那么S1+S2+?+S2008=_______．
8. 若直线l与直线
三、解答题
1．已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围．
2．已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B?在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，?求正比例函数和一次函数的解析式．
关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。
3．如图，直线l1的解析式为y??3x?3，l1与X、Y轴分别交于点D、E；直线l2过点A、B，交直
线l1于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析式. （3）求△ACE的面积.
7
4、今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：
（1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时，y与x的函数关系式；
（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，
则该用户该月用了多少度电？
5、 某产品每件成本20元，试销阶段产品的日销售量y(件)与每件产品的销售价x(元)之间的关系如下表：
(1)若日销售量y(件)是每件产品的销售价x(元)的一次函数，求日销售量y(件)与每件产品的销售价x(元)的函数关系式；
(2)要使日销售利润W(元)最大，每件产品的销售价x(元)应定为多少，此时每日销售利润是多少？
6、在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）。现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格
张60元（总费用=广告赞助费+门票费）；
方案二：购买门票方式如图所示。
解答下列问题： 为
每)
（1）方案一中，y与x的函数关系式为______；方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为______，当x＞100时，y与x的函数关系式为______；
（2）如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；
（3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元。求甲、乙两单位各购买门票多少张。
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7. 如图① , 点A（m ,0）是x轴的上一点, 且.以OA为一边,在第四象限内作等边△OAB . C是x轴负半轴上的一动点,连接CB , 在CB的上方作等边△DCB, 直线DA
⑴求线段OA的长；
⑵当C点在y轴的负半轴上运动时,线段AE的长度是否发生变化？若变化,请说明理由；若不变,请证明你的结论并求出AE的长.
⑶如图② , F是点A关于y轴的对称点,作直线FE . P是直线FE上的E点上方一动点,连接PA , 在PA的左侧作等边△PAT , I是∠APT与∠PAT的角平分线的交点.当点P运动时,点I是否总在y轴上运动？请判断并证明你的结论.
图② 图①
n?m?1?0交y轴于E点.
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8、在平面直角坐标系中，直线y=－x+m交y轴于点A，交x轴于点B，点C坐标
(
于AB对称点F，连BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M。
（1）求证：OF⊥
AC , 0 ) ，作C关
（2）连接CF交AB于点H，求证：
AH=
CF
（3）若m=2，E为x轴负半轴上一动点，连接ME，过点M作EM的垂线交FB的延长线于点D，问EB－BD的值是否改变，若不变，求其值，若改变，求其取值范围。
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6、甲、乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，，两库到A、B两地的路程和运费如下表（表中运费栏“元/吨·千米”表示每吨水泥运送1千米所需费用）：
(1)设甲库运往A地水泥x吨，求总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式；
（2）当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？
例5 (福建南安)南泉汽车租赁公司共有30辆出租汽车，其中甲型汽车20辆，乙型汽车10辆，现将这30辆汽车租赁给A,B两地的旅游公司，其中20辆派往A地，10辆派往B地，两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天价格如下表：
(1)设派往A地的乙型汽车x辆，租赁公司这30辆汽车一天共获得的租金为y(元)，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若要使租赁公司这30辆汽车一天所获得的租金总额不低于26800元，请你说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；
(3)如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提出合理的分派方案．
例12
例3 （云南昆明）某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000kg以上9含3000kg）的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．
⑴分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑵当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由．
例4 阅读：我们知道，在数轴上，x?1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x?1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x?y?1?0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y?2x?1的图象，它也是一条直线，如图①．
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(观察图①可以得出：直线x?1与直线y?2x?1的交点P的坐标（1，3）就是方程组??x?1的
?y?2x?1
?x?1解，所以这个方程组的解为?． y?3?
在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x?1以及它左侧的部分，如图②；y≤2x?1也表示一个平面区域，即直线y?2x?1以及它下方的部分，如图③．
回答下列问题：
① ② ③
在直角坐标系（图④）中，用作图象的方法求出方程组?
?x≥?2?用阴影表示?y≤?2x?2所围成的区域．
?y≥0??x??2的解； ?y??2x?2
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3．为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．?小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：
（1）小明经过对数据探究，发现：桌高y是凳高x的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式；（不要求写出x的取值范围）；（2）小明回家后，?测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm，凳子的高度为43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由．
4．小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时离家多远？（3）?求小明出发多长时间距家12千米？
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7．由方程│x-1│+│y-1│=1确定的曲线围成的图形是什么图形，其面积是多少？
11．（2005年宁波市蛟川杯初二数学竞赛）某租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A、B两地收割小麦，其中30?台派往A地，20台派往B地．两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：
（1）设派往A地x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），请用x表示y，并注明x的范围．
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