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揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题
数学(理科)
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．
4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
ln(2x?x2)的定义域为（A）(2,??) （B）(1,2) （C）(0,2) （D）[1,2]
（2）已知复数z?2i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则z?? （A）2i （B）?2i（C）-2 （D）2 ??????（3
）已知向量a?b?(0,?1),c?(k，若a?2b与c共线，则k的值为 （1
）函数f(x（A）-3（B）-1 （C）1 （D）3
（4）已知命题p:?x?R,x?1?lgx，命题q:?x?(0,?),sinx?
（A）命题p?q是假命题 1?2，则下列判断正确的是 sinx（B）命题p?q是真命题
（C）命题p?(?q)是假命题（D）命题p?(?q)是真命题
（5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4
人中至少有1名女生的概率为
824（C）（D） 15515
?log2x,(x?0)（6）已知函数f(x)???x，则不等式f(x)?1的解集为 2,(x?0)?（A）（B）
（A）(2,??) （B）(??,0)（C）(??,0)?(2,??) （D）(0,2) 14 15
（7）如图1，圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入3个相同的铁球（球
的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径
为
（A）4cm（B）3cm
·1·
（C）2cm
（D）1 cm
（8）已知函数f(x)?x2?ax的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x?3y?1?0垂直，记数列
{1的前n项和为Sn，则S2016的值为 f(n)
2015201620142017 （B） （C）（D） （A）201620172015
（9）函数f(x)?(1?cosx)sinx在[??,?]的图象的大致形状是
?2x?y?0,
（10）实数x,y满足条件??x?y?4?0,则y2
??x?3.x2的取值范围为
（A）[4,??) （B）[1,2] （C）[0,4] （D）[1
39,4]
（11）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为
(A)20+2?(B) 20?6?
(C) 14?2? (D)16
（12）在平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y?ex?2交
于不同的两点A、B，分别过A、B作x轴的垂线，与曲线
y?lnx交于点C、D，则直线CD的斜率为
（A）3 （B）2 （C）1 （D）1
2
·2·
2018
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
（13）某水稻品种的单株稻穗颗粒数X服从正态分布N(200,102)，则P(X?190)=__________． (附：若Z～N(?,?2)，则P(????Z????)=0.6826，P(??2??Z???2?)=0.9544.)
x2y2?
(14)已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)两条渐近线的夹角为60，
ab
则该双曲线的离心率为 .
(15)执行如图3所示的程序框图，则输出的k值为 . (16)已知等差数列{an}满足a1?0,5a8?8a13，则前n项和Sn取
最大值时，n的值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 图3
(17)（本小题满分12分）
已知如图4，△ABC中，AD是BC边的中线，?BAC?120，且
?
????????
AB?AC??.
(Ⅰ)求△ABC的面积；
(18)（本小题满分12分）
某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年， 根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如
0.A
D
(Ⅱ)若AB?5，求AD的长. 图4
B
C
图5所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平 b
均年产量为455kg. 当年产量低于450 kg时，单位售价为 12元/ kg，当年产量不低于450 kg时，单位售价为10元/ kg（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年
·3·
0./kg
产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，
求年销售额X（单位：元）的分布列； 图5
（Ⅲ）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．
（19）（本小题满分12分）
如图6，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且?ABC?60，
AB=PC=2，
（Ⅰ）求证：平面PAB?平面ABCD；
（Ⅱ）设H是PB上的动点，求CH与平面PAB所成
最大角的正切值.
图6
（20）(本小题满分12分) ?
x2y2已知椭圆C：2+2?1(a?b?
0)的离心率为，若动点A在椭圆C上，动点B
在直线ab3
y?ab?.（c为椭圆的半焦距） c（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若OA?OB(O为坐标原点)，试探究点O到直线AB的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
(21)（本小题满分12分）
已知a?R，函数f?x??e?ax，g?x?是f?x?的导函数， x2
（Ⅰ）当a?0时，求证：存在唯一的x0????1?,0?，使得g?x0??0； ?2a?
（Ⅱ）若存在实数a,b，使得f?x??b恒成立，求a?b的最小值．
请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
(22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲
如图7所示，⊙O和⊙P相交于A,B两点，过A作两圆的切
线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．
(Ⅰ) 若BC=2，BD=4，求AB的长；
(Ⅱ) 若AC=3，求AE的长．
·4· 图7
(23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程
x2y2
??1． 已知椭圆C的普通方程为：94
(Ⅰ) 设y?2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；
(Ⅱ) 设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）
(24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲
已知f(x)?|x?2|?|x?a|(a?R,a?0)， (Ⅰ) 若f(x)的最小值是?3，求a的值； (Ⅱ) 求关于x的不等式|f(x)|?2的解集．
揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考
数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．
一、选择题：
（7）设球的半径为r，依题意得3??r??r(6r?6)?r?3.
2
(8)依题意知f(x)?x?ax的图象在点A(1,f(1))处的切线斜率
43
32
k?f'(1)?2?a?3?a??1，故
1111
???， f(n)n(n?1)nn?1
1111112016
S2016?1????????1??．
2232016201720172017
·5·
?1可排除（B）,故选(A). 23y112(10)设?k，则k为可行域内的点与原点连线的斜率，易得?k?2，故?k?4. x39
1（11）该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的4
112组合体，故其表面积为：(4???1)?2?(4?1+?2??1)?3?20?2?. 22（9）由f()?1可排除（C）、(D)
，由f()?
(12)设直线l的方程为y?kx(k?0)，且A(x1,y1),B(x2,y2)，故kx1?e1，kx2?ex?2x2?2?? ?x1?1x1?21e,x2?ex2?2，则kCDkk11ln(ex1?2)?ln(ex2?2)lnx1?lnx2?? x1?x2x1?x2
ln
?11?(x1?2)lne?ln?(x2?2)lne?1. x1?x2
二、填空题：
解析：(13) P(X?190)=P(X????)?1?P(????X????)?0.5?0.8413 3a1， 61
31a1)?0?n?21， 由an?a1?(n?1)d?a1?(n?1)(?613(16)由5a8?8a13得5(a1?7d)?8(a1?12d)?d??
所以，数列{an}前
21项都是正数，以后各项为负数，故Sn取最大值时，n
的值为21.
三、解答题：
????????115（17）解：(Ⅰ)∵AB?AC??15，∴AB?AC?cos?BAC??AB?AC??,---2分 22
即AB?AC?15，----------------------------------------------------3分 A
(Ⅱ)解法1：由AB?5得AC?3， ?11∴S?ABC?AB?ACsin?BAC??15.-------5分 BC
延长AD到E，使AD=DE，连结BE，---------------6分
·6· E
∵BD=DC,
?∴四边形ABEC为平行四边形，∴?ABE?60,且BE?AC?3-----------8分
设AD?x，则AE?2x，在△ABE中，由余弦定理得：
(2x)2?AB2?BE2?2AB?BEcos?ABE?25?9?15?19,-----------------------10分
，即AD
分 【解法2：由AB?5得AC?3， 解得x?
在△ABC中，由余弦定理得：BC?AB?AC?2AB?ACcos?BAC?25?9?15?49, 得BC?7，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：222BCAB?，
sin?BACsin?ACD
ABsin?BAC?，----------------------------------------9分 ?得sin?ACD?BC711??∵0??ACD?90
∴cos?ACD??，--------------10分 14
4971119222?2?3???，
在△ADC中，AD?AC?CD?2AC?CDcos?ACD?9?421445.------------------------------------------------------12分】 2
【解法3：由AB?5得AC?3， 解得AD?
在△ABC中，由余弦定理得：BC?AB?AC?2AB?ACcos?BAC?25?9?15?49, 得BC?7，--------------------------------------------------------------------------------------7分 222
AC2?BC2?AB29?49?2511??,------------9分 在△ABC中，cos?ACB?2AC?BC2?3?714
4971119222?2?3???，
在△ADC中，由AD?AC?CD?2AC?CDcos?ACD?9?42144
.-------------------------------------------------------12分】 （18）解：（Ⅰ）由100(a?0.0015?b?0.004)?1， 解得AD?
得100(a?b)?0.45，----------------------------------------------1分
由300?100a?400?0.4?500?100b?600?0.15?455，
得300a?500b?2.05，-----------------------------------------------3分 解得a?0.0010；----------------------------------------------------5分
（Ⅱ）依题意知X的可能取值为3600、4800、5000、6000，-------------------6分
∵P(X?3600)?0.1，P(X?4800)?0.4，P(X?5000)?0.35，P(X?3600)?0.15，
·7·
∴X的分布列为
分
（Ⅲ）∵一年的销售额不低于5000元的概率为0.35+0.15=0.5, -------------------9分 5年中年销售额不低于5000元的年数?~B(5,1)， ∴5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率为
1P(??2)
?1?P(??0)?P(??1)?1?()5?C5?()5?.-----------------12分 （19
）解：(Ⅰ)证明：取AB中点O，连结PO、CO，----------1分
由AB=2，知△PAB为等腰直角三角形，
∴PO=1，PO⊥AB，-----------------------------------2分
由AB=BC=2，?ABC?60，知△ABC为等边三角形，
∴CO?，-------------------------------------3分
222由PC?2得PO?CO?PC, ?
∴PO⊥CO，-------------------------------------------------------4分
又AB?CO?O，∴PO⊥平面ABC，----------------------------------------------5分
又PO?平面PAB，∴平面PAB?平面ABCD----------6分
（Ⅱ）解法1：如图，连结OH，由（Ⅰ）知CO?PO，CO?AB
∴CO⊥平面PAB，?CHO为CH与平面PAB所成的角，-----------7分
在Rt△COH中，∵tan
?CHO?OC，-----------8
分 ?OH要?CHO最大，只需OH取最小值，
而OH的最小值即点O到PB的距离，这时OH?PB，OH?
故当?
CHO最大时，tan?CHO?即CH与平面PAB分
【解法2：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABC，CO?AB，
如图所示，以O为原点，OC、OB、OP所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 则C，B(0,1,0)，P(0,0,1)，-----------------------------7分
，-------------10分 2
????????设点H的坐标为(0,m,n)，BH??BP，
则(0,m?1,n)??(0,?1,1)，∴m?1??,n??，即H(0,1??,?)，------8分
????????则HC???1,??)，OC?为平面PAB的法向量，
设CH与平面PAB所成的角为?，
·8·
????????????????|OC?HC|
则sin??|cos?OC,HC?|?|OC|?|HC|
?
?分 当??1时，sin?
取最大值，(sin?)max?，-------------------------11分 2又??(0,]，此时?
最大，tan?? 2
即CH与平面PAB
分】
(20)解：(Ⅰ)
依题意得：cab-----①
--------②-------------1分 ??ac ①×②得b?1，---------------------------------------------------2分 c2a2?b22?，解得a2?3---------------------------------3分 又2?2aa3
x2
?y2?1.--------------------------4分 ∴所求椭圆C的方程为3
（Ⅱ）依题意知直线OA的斜率存在，设为k，则直线OA的方程为y?kx，
（1）若k?0，则直线OB的方程为y??1x， k
?yA?kxA3?2设A(xA,yA),B(xB,yB)，则由?x2，------------------------6分
?x?A22A3k?1??yA?1?3
1?y??xBB?3k2k?2?xB?由?，-------------------------------------------------------------------7分
2?y?B??2
∵|OA|?xA|?，--------------------------------8分
∴|OB|??xB|?分 ·9·
设点O到直线AB的距离为d
，则
2S?AOB（3k2?1)d???1.---------10分 2|AB|3(k?1)(2)若k?0，则A
点的坐标为(
或，B
点的坐标为，
这时，d??1，---------------------------------------------------------------------------11分 综上得点O到直线AB的距离为定值，其值为1.-------------------------------------------------12分
【解法二：设A、B的坐标A(x0,y
0)、B(t,，------------------------------------------5分 2
2x02由点A在椭圆C上和OA?OB分别可得：y0?0，--------6分 ?y0?
1和tx0?3
设点O到直线AB的距离为d，则有|OA|?|OB|?|AB|?d,-------------------------------7分
1|AB|2|OA|2?|OB|2
,-------------------8分
??|OA|?|OB|?|AB|?d?2?d|OA|2?|OB|2|OA|2?|OB|22222
2x01111112?2???2?2?2??22222d|OA|2|OB|2x0?y0?y0x?y3x?yx000000
23?2x0??223(x0?y0)23?2x0
2x023(x0?1?)3?1-------------------------------------------------------------------11分
所以点O到直线AB的距离为定值，其值为1.--------------------------------------------------12分】
(21)（Ⅰ）证明：∵g?x??f??x??e?2ax，g??x??e?2a，------------------------1分 xx
当a?0时，g??x??0，∴函数g?x?在(-?,+?)上的单调递增，------------------------2分 ??1?2a又g????e?1?0，g?0??1?0，------------------------------------------------------3分 ?2a?1
·10·
∴存在唯一的x0????1?,0?，使得g?x0??0；-----------------------------------------------4分 2a??
（Ⅱ）解：（1）当a?0时，则当x?(??,0)时，g(x)?0，即函数f(x)在(??,0)上单调递增，且当x???时，f(x)???，这与f(x)?b矛盾；---------------------------5分
x（2）当a?0，由e?b，得b?0，∴a?b?0；------------------------------------------6分
（3）当a?0，由（Ⅰ）知当x????,x0?时，g(x)?0；当x??x0,???时，g(x)?0； 即f?x?在???,x0?上单调递减，在?x0,???上单调递增，----------------------------------7分 ∴f?x?min?f?x0?，-----------------------------------------------------------------------------------8分
ex0
其中x0满足e?2ax0?0，故a??且x0?0， 2x0x0
∵f?x??b恒成立，∴b?f(x0)
x2即?b??e0?ax0，于是a?b?a?e0?ax0??e0?1?x2x?
?x?1?0?，------------------9分 2x02?
记h(x)??e(1?x1x12?)，x?0，则h'(x)?2ex?x?1??x?1?，-----------------10分 2x22x
由h'(x)?0得x??1，即函数h(x)在(??,?1)上单调时递减，
h'(x)?0得?1?x?0，即函数h(x)在(?1,0)上单调递增， 1， e
1综上得a?b的最小值为?，此时x0??1．--------------------------------------------------12分 e
选做题： ∴h(x)min?h(?1)??
（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得?BAC??BDA，---------1分
?BAD??BCA，----------------------------------------------------2分
所以?BAC∽?BDA，------------------------------------------------------------------3分 得?，----------------------------------------------------------------------------4分 BDAB
AB2?BC?BD?
8，AB?---------------------------------5分
·11·
（Ⅱ）连接EC，∵?AEC??AEB??BEC，-----------------------------------------6分
?ACE??ABE??BAD??ADB-------------------------------------------------7分
∵?AEB??BAD，?BAC??BDA=?BEC,----------------------8分
∴?AEC??ACE------------------------------------------------9分
∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分
4t2
)?9(1?t2)，------------1分
（23）解：(Ⅰ)将y?2t代入椭圆的普通方程得x?9(1?42
于是得x??-----------------------------------------------------------------------------2分
???x??x??∴椭圆C
的参数方程为?（t
为参数）和?（t为参数）---4分
???y?2t.?y?2t.
(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分 设点P的坐标为(3cos?,2sin?)，(0???
则S四边形AOBP?S?BPO?S?OPA??2)---------------------------------------------6分 11?2?3cos???3?2sin?---------------------------8分
22
?3sin??3cos????)，(0???)-------------------------------------------9分 24
当sin(?????
4)?1，即???
4时，四边形AOBP
面积取得最大值，其值为分
?(a?2),(x??2)??（24）解：（Ⅰ）解法1：∵a?0， ∴f(x)??2x?2?a,(?2?x?a)，--------------2分
(x?a)??a?2,
当?2?x?a时，?2?a?f(x)?a?2，∴当x?R时，?2?a?f(x)?a?2---4分 ∴f(x)min??(a?2)??3，∴a=1；--------------------------------------------------5分
【解法2：∵||x?2|?|x?a||?|(x?2)?(x?a)|?a?2，----------------------2分 ∴|f(x)|?a?2，f(x)min??(a?2)，---------------------------------------------3分
又已知f(x)min??3， ∴a=1；-----------------------------------5分】
?(a?2),(x??2)??（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)??2x?2?a,(?2?x?a)，（a?0）
(x?a)??a?2,
当x??2时，f(x)??(a?2)??2，|f(x)|?2，不等式|f(x)|?2解集为空集---6分
当x?a时，f(x)?a?2?2，不等式|f(x)|?2解集也为空集；----------------7分
·12·
当?2?x?a时，|f(x)|?2，即?2?2x?2?a?2?a?2?x?a aa?2??2，?a，∴当?2?x?a时，|f(x)|?2的解为a?2?x?a-----9分 22
综上得所求不等式的解集为{x|?2?x?----------------------------10分 22∵
·13·
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