河南省郑州市2016届高三第二次模拟考试
数学（理）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符
合题目要求的．）
1．已知集合A＝{x｜y
，B＝{x｜－1≤2x－1≤0}，则CRA∩B＝
11]C．（，4] D．（1，4] 22A．（4，＋∞） B．[0，
22．命题“?x0≤0，使得x0≥0”的否定是
A．?x≤0，x＜0B．?x≤0，x≥0
22C．?x0＞0，x0＞0D．?x0＜0，x0≤0 22
a,bz,1＋i3．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数对应的点在 c,di,2i
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
4．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出
的值是
A．2014B．2015
C．2016D．2017
5．曲线f（x）＝x－x＋3在点P处的切线平
行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为
A．（1，3）
B．（－1，3）
C．（1，3）和（－1，3）
D．（1，－3）
6．经过点（2，1），且渐近线与圆x＋(y－2)＝1
相切的双曲线的标准方程为 223
·1·
x2y2y2x2y2x2x2
21 B．－y＝1 C．－＝1 D．－＝1 A．－＝1111111111112
333
7．将函数f（x）＝sin（2x－
有性质
A．最大值为1，图象关于直线x＝
B．在（0，??）的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具 24?对称 2?）上单调递减，为奇函数 4
3??C．在（－，）上单调递增，为偶函数 88
3?D．周期为π，图象关于点（8，0）对称
8．设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝（n－1）an－1＋（n＋1）an＋1，则a20的值
是
A．41234 B．4 C．4 D．4 5555
9．如图是正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是
A．4 B．5C．6 D．7
10．已知定义在R上的奇函数y＝f（x）的图像关于直线x＝1对称，当－1≤x＜0时，f（x） ＝－log1(－x)，则方程f（x）－
21＝0在（0，6）内的零点之和为 2
A．8 B．10 C．12D．16
11．对??∈R，n∈[0，2]，向量c＝（2n＋3cosα，n－3sinα）的长度不超过6的概率为
A
． B
． C
． D
． 1010105
B＋Cm
， 212．已知A、B、C为△ABC的三个内角，向量m满足｜m
uurPAuuuruuuruurB－C co），若A最大时，动点P使得｜PB｜、｜BC｜、｜PC｜成等差数列，则 的2BC
最大值是
A
B
． C
D
． 34·2·
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22－24题为选考题．考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．）
13．已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，Sn是{an}的前n项和，则S12的值为__________．
14．已知正数x，y满足x＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是___________． 2
?x≥2,?15．已知x，y满足?x＋y≤4,若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为
?2x－y－m≤0,?
____________．
16．在正三棱锥V—ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于__________．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C－cos2A＝2sin（
C）·sin（?＋ 3?－C）． 3
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a
b≥a，求2b－c的取值范围．
18．（本小题满分12分）
为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：
（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99％的把握认为以45岁为分界点对“生
育二胎放开”政策的支持度有差异；
·3·
（Ⅱ）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中
不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
参考数据：
19．（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，
∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥
平面ABCD，BF＝1．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE
所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．
20．（本小题满分12分）
已知曲线C的方程是mx＋ny＝1（m＞0，n＞0）,且曲线C过A
（22，），B
（
64
2
O为坐标原点． （Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）是曲线C上两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定
圆相切．
21．（本小题满分12分）
ex
已知函数f（x）＝2． x－mx＋1
（Ⅰ）若m∈（－2，2），求函数y＝f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若m∈（0，1]，则当x∈[0，m＋1]时，函数y＝f（x）的图象是否总在直线y＝x上方?2
请写出判断过程．
·4·
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，正方形ABCD边长为2，以A为圆心、DA为半径的
圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结BF并延长交
CD于点E．
（Ⅰ）求证：E为CD的中点；
（Ⅱ）求EF·FB的值．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－，且倾斜角为1)＋y＝1．直线l经过点P（m，0）
O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且｜PA｜·｜PB｜＝1，求实数m的值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f（x）＝｜x＋6｜－｜m－x｜（m∈R）．
（Ⅰ）当m＝3时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．
22?．以6
·5·
参考答案
一、选择题
BABDC ABDCC CA
二、填空题 13.54, 14.3, 15.5,
16.三、解答题
?2217．解：（1）由已知得2sinA?2sinC?2??cosC?sinC?，………2分
223
?414?
化简得sinA?2?，故A?或．………………………………5分 33bca???2，得b?2sinB,c?2sinC，…7分 sinBsinCsinA
2??
B)=3sinB
B 故2b?c?4sinB?2sinC?4sinB?2sin(3（2）由正弦定理
?B?). ……………………………9分 6
?2????因为b?a，所以?B?，?B??，………11分 33662
·6· ?
所以2b?c?B?
?6)?． ………12分
50?(3?11?7?29)2
K??6.27＜6.635…………………4分 3?729?113?297?112
所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.
………………………………………………5分
(Ⅱ)所有可能取值有0, 1,2,3, ………………………6分
2C82C462884P(??0)?2?2???, C5C101045225
1112C82C4C8CC4428616104P???1??2?2?2?22?????, C5C10C5C1010451045225
11122C8C2C4C4C24166135P???2??2?2?2?2?????, C5C
10C5C1010451045225
12C4C2412 P(??3)?2?2???,……………………10分 C5C101045225?
所以的分布列是 ?
???所以的期望值是E??0?225225225
19.解：(1)在梯形ABCD中， .………………………12分 5
o∵AB∥CD，AD?DC?CB?1,?BCD?120,
∴AB?2.∴BD?AB?AD?2AB?AD?cos60?3.………………………2分
222∴AB?AD?BD,∴AD?BD.∵平面BFED?平面ABCD, 222o
·7·
平面BFED?平面ABCD?BD,DE?平面BEFD，DE?DB,
∴DE?平面ABCD,………………………4分
∴DE?AD,又DE?BD?D, ∴AD?平面BFED.………………………6分
(2)由(1)可建立分别以直线DA,DB,DE为x轴，y轴，z轴的，如图所示的空间直角坐标系，令EP?? (0≤?
则D?0,0,0?,A
?1,0,0?, B,P?0,?,1?,
??
uuu
ruur∴AB?(?1BP?(0,?),………………………8分
ur设n1?(x,y,z)为平面PAB的一个法向量，
uruuur??n1gAB?0,???x??0,由?u得? ruur??(?y?z?0,?n1g
BP?0,?
ur取y?
1,则n1??),………………………10分
uur∵n2??0,1,0?是平面ADE的一个法向量, uruurn1?n2∴
cos???n1n2
?1. 2 ∵0
≤?
∴当?cos?有最大值
∴?的最小值为?………………………12分 3
1?1m?n?1,??8220.解：（1）由题可得：?解得m?4,n?1.
?1m?1n?1,?3?6
所以曲线C方程为y?4x?1. ………………………4分
（2）由题得：y1?4x1?1,y2?4x2?1,x1x2?y1y2?0………………………6分
原点O到直线MN的距离
222222
d?OA?OB
AB??
·8·
222(1?3x12)(1?3x2)?3(x12?x2)?9x12x2??………………………8分 222?3(x12?x2)2?3(x12?x2)
222222由x1x2?y1y2?0得：x1 )?16x12x2x2?y12y2?(1?4x12)(1?4x2)?1?4(x12?x2
所以x
1x2?224212(x1?x2)? 1515
d??………………………11分
5
22所以直线MN恒与定圆x?y?
'1相切。………………………12分 5ex(x2?mx?1?2x?m)ex(x?1)(x?m?1)21.解：（1）函数定义域为R,f(x)? ?2222(x?mx?1)(x?mx?1)
………………………1分
①当m?1?1,即m?0时，f'(x)?0,此时f(x)在R上单调递增
②当m?1?1,即0?m?2时，
x?(??,1)时，f'(x)?0,此时f(x)单调递增，
x?(1,m?1)时，f'(x)?0,此时f(x)单调递减，
x?(m?1,??)时，f'(x)?0,此时f(x)单调递增.
③当m?1?1,即-2?m?0时，
x?(??,m?1)时，f'(x)?0,此时f(x)单调递增，
x?(m?1,1)时，f'(x)?0,此时f(x)单调递减，
x?(1,??)时，f'(x)?0,此时f(x)单调递增.………………………4分
综上所述，①当m?0时，f(x)在R上单调递增,
②当0?m?2时，
f(x)在(??,1)和(m?1,??)上单调递增，f(x)在(1,m?1)上单调递减，
·9·
③当-2?m?0时， f(x)在(??,m?1)和(1,??)上单调递增，
f(x)在(m?1,1)上单调递减.……………………5分
（2）当m??0?时，由（1）知f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,m?1)上单调递减.
令g(x)?x.
① 当x?[0,1]时，f(x)min?f(0)?1,g(x)max?1，所以函数f(x)图象在g(x)图象上方.
………………………6分 ??1?2?
em?1
② 当x??1,m?1?时，函数f(x)单调递减，所以其最小值为f(m?1)?，g(x)最大值为m?2
m?1，所以下面判断f(m?1)与m?1的大小，即判断ex与(1?x)x的大小， 其中x?m?1??1,? ， ………………………8分 2
令m(x)?e?(1?x)x，m(x)?e?2x?1，令h(x)?m(x)，则h(x)?e?2
(x)?e?2?0，m(x)单调递增； x'x''x?3???'x'
3所以m(1)?e?3?0，m
()?e2?4?02''3
使得m(x0)?e'x0?2x0?1?0………………………10分
?
?3?2?所以m(x)在?1,x0?上单调递减，在?x0,?单调递增
所以m(x)?m(x0)?ex022?x0?x0?2x0?1?x0?x0??x0?x0?1
2
x2(x0)??x0?x0?1?0即e?(1?x)x也即f(m?1)?m?1 所以函数f(x)的图象总在直线y?x上方. ………………………12分
·10·
?22．解：（Ⅰ）由题可知BD是以为A圆心，DA为半径作圆，而ABCD为正方形，
∴ED为圆A的切线
依据切割线定理得ED2?EF?EB ………………………………2分 ∵圆O以BC 为直径，∴EC是圆O的切线，
同样依据切割线定理得EC2?EF?EB……………………………4分
故EC?ED
∴E为CD的中点. ……………………………5分（Ⅱ）连结
CF，
∵BC为圆O的直径，
∴CF?BF ………………………………6分 由
11BC?BE?CE?BF22
11S?BCE?BC?CE?BE?CF
22
…………………………8分 得CF??S?BCE?
又在Rt?BCE中，由射影定理得EF?FB?CF?
2224.……………………10分 522223．解：(1)曲线C的普通方程为:(x?1)?y?1,即x?y?2x,即??2?cos?,
即曲线C的极坐标方程为:??2cos?. …………2分
?x?m???直线l的参数方程为?(t为参数). …………5分
?y?1t??2
(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,将直线l的参数方程代入x2?y2?2x中
, 得t2?t?m2?2m?0,所以t1t2?m2?2m, …………8分
由题意得|m2?2m|?1,得m?1,11 …………10分
24．解：（1）当m?3时，f(x)?5即|x?6|?|x?3|?5，
①当x??6时，得?9?5，所以x??；
②当?6?x?3时，得x?6?x?3?5，即x?1，所以1?x?3；
③当x?3时，得9?5，成立，所以x?3.…………………………………4分 故不等式f(x)?5的解集为?x|x?1?.…………………………………5分
·11·
（Ⅱ）因为|x?6|?|m?x|?|x?6?m?x|＝|m?6| 由题意得m?6?7，则?7?m?6?7，…………8分
解得?13?m?1,
故m的取值范围是[?13,1].……………………………………………10分
·12·
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