2017年云南省大理州高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．设集合A={x∈Z|x2≤4}，B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）
A．{0，1} B．{﹣1，0}
2．在复平面内，复数
A．第一象限 C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2} 的对应点位于（） C．第三象限 D．第四象限 B．第二象限
3．在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=45，那么a5等于（） A．4 B．5 C．9 D．18
4．2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（）
A．80 B．100 C．120 D．200
5．已知向量与的夹角为30°，且||=
A．1 B． C．13 D． ，||=2，则|﹣|等于（）
6．函数f（x）=3sin（x+
A．﹣ B． C．﹣）在x=θ时取得最大值，则tanθ等于（）D．
7．如图程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入m，n分别为225、135，则输出的m=（）
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A．5 B．9 C．45 D．90
8．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣1，h（x）=log3x+x的零点依次为a，b，c，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
10．己知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为．BC=4，BD= ，∠CBD=90°，则球O的表面积为（ ）A．11π B．20π C．23π D．35π
第2页（共23页）
11．已知双曲线y2﹣=1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2=（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意实数x，有f（x）＞
f'（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017ex＜0的解集是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
，则x2+y2的最大值为 ． 13．设x，y满足约束条件
14．的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中x4项的系数为 ．
15．在直角坐标系xOy中，有一定点M（﹣1，2），若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是
16．若数列{an}的首项a1=2，且
b1+b2+b3+…+b100=
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求sinB的值；
（2）若a=4，求△ABC的面积S的值．
18．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
；令bn=log3（an+1），则．
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已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．
（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．
下面的临界值表仅供参考：
（参考公式：
，其中
n=a
+b+c+d）
19．在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD、E、F，分别为PC、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由． ，若存
20．已知椭圆C：
（1）求椭圆C的标准方程： 的短轴长为2，离心率e=，
（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的内切圆半径的最大值．
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21．设函数G（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）．
（1）求G（x）的最小值：
（2）记G（x）的最小值为e，已知函数
若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．
（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；
（2）设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．
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2017年云南省大理州高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．设集合A={x∈Z|x2≤4}，B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0}
【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x∈Z|x2≤4}={﹣2，﹣1，0，1，2}，
B={x|x＞﹣1}，
∴A∩B={0，1，2}．
故选：D．
2．在复平面内，复数
A．第一象限 的对应点位于（ ） C．第三象限 D．第四象限 C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2} B．第二象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．
【解答】解：∵复数 ===﹣1+2i，
∴复数对应的点的坐标是（﹣1，2）
∴复数
故选B．
3．在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=45，那么a5等于（ ）
A．4
在复平面内对应的点位于第二象限， B．5 C．9 D．18
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【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的性质即可得出．
【解答】解：∵a3+a4+a5+a6+a7=45，
∴5a5=45，
那么a5=9．
故选：C．
4．2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ）
A．80 B．100 C．120 D．200
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】利用正态分布曲线的对称性，确定成绩不低于120分的学生约为总人数的=，即可求得成此次考试成绩不低于120分的学生数．
【解答】解：∵成绩ξ～N，
∴其正态曲线关于直线x=100对称，
又∵成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的，
由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的
∴此次考试成绩不低于120分的学生约有：×1600=200人．
故选D．
5．已知向量与的夹角为30°，且||=
A．1 B． C．13 D． =， ，||=2，则|﹣|等于（ ）
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由向量数量积的定义可得?，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．
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【解答】解：向量与的夹角为30°，且||=
可得?=||?||?cos30°=
则|﹣|=
=
故选：A．
6．函数f（x）=3sin（x+
A．﹣ B． C．﹣=1． =?2?=3， ，||=2， ）在x=θ时取得最大值，则tanθ等于（ ） D．
【考点】三角函数的最值．
【分析】由题意，函数f（x）=3sin（x+
（k∈Z），即可求出tanθ．
【解答】解：由题意，函数f（x）=3sin（x+
∴θ=2kπ+
∴tanθ=
故选D．
7．如图程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入m，n分别为225、135，则输出的m=（ ）
，（k∈Z） ， ）在x=θ时取得最大值， ）在x=θ时取得最大值，θ=2kπ+，
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A．5 B．9 C．45 D．90
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
m=225，n=135，225÷135=1…90，r=90，不满足退出循环的条件；
m=135，n=90，135÷90=1…45，r=45不满足退出循环的条件
m=90，n=45，90÷45=2…0，r=0满足退出循环的条件
故输出m=45．
故选：C
8．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣1，h（x）=log3x+x的零点依次为a，b，c，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【考点】对数的运算性质；指数函数的图象与性质；函数零点的判定定理．
【分析】利用函数零点的判定方法即可得出．
【解答】解：令f（x）=2x+x=0，解得x＜0，令g（x）=x﹣1=0，解得x=1，
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由h（x）=log3x+x，令
∈． =﹣1+＜0，h（1）=1＞0，因此h（x）的零点x0
则b＞c＞a．
故选：D．
9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，求出相应的体积，即可求得结论．
【解答】解：由题意知，根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，体积为8；
上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，所以底面积为4，高为故体积为
=，∴几何体的体积为
故选B．
10．己知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为．BC=4，BD= ，∠CBD=90°，则球O的表面积为（ ）A．11π B．20π C．23π D．35π
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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】先利用体积，求出A到平面BCD的距离，可得O到平面BCD的距离，再利用勾股定理，求出球的半径，即可求出球O的表面积．
【解答】解：由题意，设A到平面BCD的距离为h，则
∵该三棱锥的体积为
∴××4×
∴h=2，
∴O到平面BCD的距离为1，
∵△BCD外接圆的直径BD=
∴OB==，
=11π． ， h=．BC=4，BD=， ，∠CBD=90°， ∴球O的表面积为4π×
故选：A．
11．已知双曲线y2﹣=1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2=（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设点，代入双曲线方程，利用点差法，结合线段MN的中点为P，即可得到结论．
【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），
则x1+x2=2x，y1+y2=2y
M，N代入双曲线y2﹣=1
两式相减可得：（y1﹣y2）×2y﹣（x1﹣x2）×2x=0，
∵直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OM的斜率为k2，
∴k1k2=．
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故选：A．
12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意实数x，有f（x）＞
f'（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017ex＜0的解集是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C． D．
【考点】函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性．
【分析】令2017g（x）=，（x∈R），从而求导g′（x）＜0，从而可判断y=g（x）单调递减，从而可得到不等式的解集．
【解答】解：设2017g（x）=
得：g′（x）=
故函数g（x）在R递减，
由f（x）+2017为奇函数，得f（0）=﹣2017，
∴g（0）=﹣1，
∵f（x）+2017ex＜0，∴＜﹣2017，即g（x）＜g（0）， ＜0， ，由f（x）＞f′（x），
结合函数的单调性得：x＞0，
故不等式f（x）+2017ex＜0的解集是（0，+∞）．
故选B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
，则x2+y2的最大值为 5 ． 13．设x，y满足约束条件
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，由z=x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与坐标原点距离的平方得答案．
【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，
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联立方程组，解得：A（2，﹣1）；
由题意结合可行域可知A到原点的距离的平方最大．
∴z=x2+y2的最大值为：5．
故答案为：5．
14．的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中x4项的系数为 1 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】由题意可得：2n=256，解得n=8．再利用通项公式即可得出．
【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．
∴的通项公式：Tr+1=28﹣r=28﹣r（﹣1）8﹣r． 令=4，解得r=8．
∴展开式中x4项的系数为28﹣8（﹣1）0
故答案为：1．
15．在直角坐标系xOy中，有一定点M（﹣1，2），若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先求出线段OM的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代
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=1．
入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到准线方程．
【解答】解：依题意我们容易求得直线的方程为2x﹣4y+5=0，
把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=，
从而得到准线方程
故答案为：
16．若数列{an}的首项a1=2，且
b1+b2+b3+…+b100=．
【考点】数列的求和．
【分析】推导出{an+1}是首项为3，公比为3的等比数列，从而得bn=由此能求出b1+b2+b3+…+b100．
【解答】解：∵数列{an}的首项a1=2，且
∴an+1+1=3（an+1），a1+1=3，
∴{an+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴，
=n，
=5050． ， =n，；令bn=log3（an+1），则． ， ∴bn=log3（an+1）=∴b1+b2+b3+…+b100=1+2+3+…+100=
故答案为：5050．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求sinB的值；
（2）若a=4，求△ABC的面积S的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA
，利用二倍角的余弦
第14页（共23页）
．
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