2016-2017学年江西省新余市高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设集合A={x|≤2x≤，B={x|lnx＜0}，则A∩B=（）
C．[，1） D．（0，] A．（﹣，） B．（0，）
2．复数z=
A．第一象限 （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．给出下列三个命题：
①“若x2+2x﹣3≠0则x≠1”为假命题；
②若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；
③命题p：?x∈R，2x＞0，则?p：?x∈R，2x≤0，
其中正确的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
，则输出的结果是4．在如图所示的程序框图中，若函数f（x）=
（）
第1页（共24页）
A．﹣2 B．0.0625 C．0.25 D．4
5．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
的图象可能是（ ） 7．下列四个图中，函数y=
A． B． C．
D．
8．若函数f（x）=sinωx+
的最小值为cosωx（x∈R），又f（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|，则正数ω的值是（ ）
A． B． C． D．
第2页（共24页）
9．已知M是△ABC内的一点，且?=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MAB、△MCA的面积分别为，x，y，则+的最小值是（ ）
A．9 B．16 C．18 D．20
，将一颗骰子投掷两次得到的点数10．若实数x，y满足的约束条件
分别为a，b，则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（ ） A． B． C． D．
11．已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
，12．fx）fx）=已知函数（是定义在R上的奇函数，若（
则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为（ ）
A．1﹣（）a B．（）a﹣1
C．1﹣2a D．2a﹣1
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）
13．设a=cosxdx，则（2x﹣）6展开式的常数项为 ．
14．B，C所对边的长分别为a，b，c，3sinA=5sinB，设△ABC的内角A，若b+c=2a，
则角C= ．
15．曲线
16．已知非零向量
为 ．
第3页（共24页）
在点（1，f（1））处的切线方程为的交角为600，且，则的取值范围
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
17．已知等差数列{dn}的前n项和
2、3项．
（1）求{an}的通项方式；
（2）设，求证：b1+b2+…+bn＜2． ，且d2，d4为等比数列数列{an}的第
18．现有清华、北大、上海交大三所大学的招生负责人各一人来我市宣讲2017年高考自主招生政策，我市四所重点中学必须且只能邀请其中一所大学的负责人，且邀请其中任何一所大学的负责人是等可能的．
（Ⅰ）求恰有两所重点中学邀请了清华招生负责人的概率；
（Ⅱ）设被邀请的大学招生负责人的个数为ξ，求ξ分布列与期望． 19．如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1．
（1）求证：AB1⊥CC1；
（2）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．
20．已知椭圆
的圆心到直线AB的距离为
（1）求椭圆M的方程； ． 右顶点、上顶点分别为A、B，且圆O：x2+y2=1
（2）若直线l与圆O相切，且与椭圆M相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值． 21．已知函数f（x）=sinx﹣3mx，g（x）=mxcosx﹣mx．
（1）讨论f（x）在区间[0，π]上的单调性；
第4页（共24页）
（2）若对任意x≥0，都有f（x）≤g（x），求实数m的取值范围．
以下为选做题：请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分） 22．曲线C1的参数方程为为参数），M是曲线C1上的动点，且M是线段OP的中点，P点的轨迹为曲线C2，直线l的极坐标方程为
，直线l与曲线C2交于A，B两点．
（1）求曲线C2的普通方程；
（2）求线段 AB的长．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤log2a．
（1）当a=8时，求不等式解集．
（2）若不等式有解，求a的范围．
第5页（共24页）
2016-2017学年江西省新余市高三（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设集合A={x|≤2x≤，B={x|lnx＜0}，则A∩B=（ ）
C．[，1） D．（0，] A．（﹣，） B．（0，）
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：2
∴A=[﹣，]， ≤2x≤2，即﹣≤x≤，
由B中不等式变形得：lnx＜0=ln1，即0＜x＜1，
∴B=（0，1），
则A∩B=（0，]，
故选：D．
2．复数z=
A．第一象限 （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内对应点的坐标得答案．
【解答】解：∵z=
∴复数z=
故选：A．
第6页（共24页）
=， 在复平面内对应的点的坐标为（1，2），位于第一象限．
3．给出下列三个命题：
①“若x2+2x﹣3≠0则x≠1”为假命题；
②若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；
③命题p：?x∈R，2x＞0，则?p：?x∈R，2x≤0，
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①，“若x2+2x﹣3≠0则x≠1，x≠2“；
②，若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题； ③，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定放结论；
【解答】解：对于①，“若x2+2x﹣3≠0则x≠1，x≠2”，故错； 对于②，若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故错； 对于③，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定放结论， ∴命题p：?x∈R，2x＞0，则?p：?x∈R，2x≤0，正确； 故选：B
4．在如图所示的程序框图中，若函数f（x）=
（ ）
，则输出的结果是
第7页（共24页）
A．﹣2 B．0.0625 C．0.25 D．4
【考点】程序框图．
【分析】框图在输入a=﹣4后，对循环变量a与b的大小进行判断，直至满足条件b＜0算法结束．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
a=﹣4≤0，
b=2﹣4=
a=＞0， =4，
不满足条件b＜0，继续循环，b==﹣2，a=2﹣2=，
满足条件b＜0，退出循环，输出a的值为0.25．
故选：C．
5．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）
第8页（共24页）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是边长为2的正方体中，去掉一个高为1的正四棱锥，求出它的体积即可．
【解答】解：根据几何体的三视图得，
该几何体是边长为2的正方体中，去掉一个高为1的正四棱锥，
该几何体的体积是
V组合体=V正方体﹣V四棱锥=23﹣×22×1=
故选：C．
6．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．
【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列， 记为：a1，a2，a3，…，an，
其公差为d，
第9页（共24页）
则a1=5，S30=390，
∴
∴d=． =390，
故选：B．
7．下列四个图中，函数y=的图象可能是（ ）
A． B． C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．
【解答】解：当x＞0时，y＞0，排除A、B两项；
当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，排除D项．
故选：C．
8．若函数f（x）=sinωx+
的最小值为cosωx（x∈R），又f（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|，则正数ω的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】先化简f（x），分别有f（α）=﹣2，f（β）=0解出α，β，由此可表示出|α﹣β|的最小值，令其等于
【解答】解：f（x）=2sin（ωx+
由f（α）=﹣2，得ωα+=
第10页（共24页）
，可求得正数ω的值． ）， ，∴，
由f（β）=0，得ωβ+
则α﹣β==k2π，k2∈Z，∴=
，则==， ， 当k=0时|α﹣β|取得最小值
故选C．
，解得ω=，
9．已知M是△ABC内的一点，且?=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MAB、△MCA的面积分别为，x，y，则+的最小值是（ ）
A．9 B．16 C．18 D．20
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，利用基本不等式求得+的最小值．
【解答】解：由已知得
∴bc=4，
故S△ABC=x+y+bcsinA=1，
∴x+y=，
而+=2（+）×（x+y）=2（5++
x=，y=时取等号．
故选：C．
）≥2（5+2）=18，当且仅当?=bccos∠BAC=bc×=2，
10．若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（ ） A． B． C． D．
【考点】几何概型；简单线性规划．
第11页（共24页）
【分析】利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率．
【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，
∵函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值，
∴直线z=2ax+by的斜率k=﹣≤﹣1，即2a≥b．
b）∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，，则这样的有序整数对共有6×6=36
个
其中2a≥b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个
则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为
故选：D． =．
11．已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
第12页（共24页）
A． B． C．2 D．3
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】首先求出F1到渐近线的距离，利用F1关于渐近线的对称点恰落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），
设一条渐近线方程为y=﹣x，则F1到渐近线的距离为=b． 设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，A为F1M的中点，
又0是F1F2的中点，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，
∴△MF1F2为直角三角形，
∴由勾股定理得4c2=c2+4b2
∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，
∴c=2a，∴e=2．
故选：C．
12．fx）fx）=已知函数（是定义在R上的奇函数，若（
则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为（ ）
A．1﹣（）a B．（）a﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1 ，
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．
【分析】由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2=﹣6，﹣log2（1﹣x3）=﹣a，x4+x5=6，即可得出关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和．
【解答】解：由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则
x≥1，f（x）=
称轴为x=﹣3，
第13页（共24页）
，对称轴为x=3，根据对称性，x≤﹣1时，函数的对
∴x1+x2=﹣6，x4+x5=6，
∵0＜x＜1，f（x）=log2（x+1），
∴﹣1＜x＜0时，0＜﹣x＜1，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1），
∴﹣log2（1﹣x3）=﹣a，
∴x3=1﹣2a，
∴x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+1﹣2a+6=1﹣2a，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）
13．设a=cosxdx，则（2x﹣）6展开式的常数项为 ﹣160 ．
【考点】二项式系数的性质；定积分．
【分析】先求定积分，求得a的值，再求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
【解答】解：a=
开式通项公式为Tr+1=cosxdx=sinxdx=1，则（2x﹣）6=，它的展?（﹣1）r?26﹣r?x6﹣2r，
令6﹣2r=0，解得 r=3，
∴（2x﹣）6展开式的常数项为﹣8×
故答案为：﹣160．
14．B，C所对边的长分别为a，b，c，3sinA=5sinB
，设△ABC的内角A，若b+c=2a，
第14页（共24页）
=﹣160，
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