江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编
立体几何
一、填空题
1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB?3，BC?2，圆柱上底面圆心为O，?EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O?EFG体积的最大值是▲.
2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）如图，在正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB?3cm， AA1?1cm，则三棱锥D1–A1BD的体积为cm3．
3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是▲．
4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为
5、（苏州市2017届高三上学期期末调研）一个长方体的三条棱长分别为3,8,9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为．
6、（无锡市2017届高三上学期期末）已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120?，且面积为3?的扇形，则该圆锥的体积等于 .
7、（扬州市2017届高三上学期期末）若正四棱锥的底面边长为2（单位：cm），侧面积为8（单位：
，则它的体积为（单位：cm3）. cm2）
8、（扬州市2017届高三上学期期末）已知一个长方体的表面积为48（单位：cm），12条棱长度之和为36（单位：cm），则这个长方体的体积的取值范围是▲ （单位：cm）．
9、（镇江市2017届高三上学期期末）若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为
32
二、解答题
BC?AC，D,E1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
分别是AB,AC的中点．
（1）求证：B1C1∥平面A1DE；
（2）求证：平面A1DE?平面ACC1A1．
2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行
四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．
求证：（1）直线PA∥平面BDE；
（2）平面BDE⊥平面PCD．
3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1
中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF?C1D．求证：
（1）直线A1E∥平面ADC1；
（2）直线EF?平面ADC1．
4、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，?ABC??BAD?90?， AD?AP?4，AB?BC?2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN??，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为
值． 4，求?的5
5、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）如图，在四棱锥E?ABCD中，平面EAB?平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
EA?EB，点M,N分别是AE,CD的中点．
求证：（1）直线MN∥平面EBC；（
2）直线EA?平面EBC．
6、（苏州市2017届高三上学期期中调研）在如图所示的四棱锥S?ABCD中，SA?底面ABCD，?DAB??ABC?90?，SA?AB?BC?a，AD?3a(a?0)，E为线段BS上的一个动点．
（1）证明：DE和SC不可能垂直；
（2）当点E为线段BS的三等分点（靠近B）时，求二面角S?CD?E的余弦值．
BCD
7、（无锡市2017届高三上学期期末）在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，AP?平面PCD，E,F分别为PC,AB的中点.求证：
（1）平面PAD?平面ABCD；
（
2）EF//平面PAD.
8、（无锡市2017届高三上学期期末）如图，四棱锥P?ABCD中，四边形ABCDPA?平面ABCD，
为直角梯形，AD//BC,?BAD??CBA?90,PA?AB?BC?1,AD?2,E,F,G分别为?
BC,PD,PC的中点.
（1）求EF与DG所成角的余弦值；
（2）若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN,使得
MN⊥平面PBC?若存在，求出点M,N的坐标；若不存在，请说明理由.
9、（扬州市2017届高三上学期期中）如图，在四棱锥P – ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA?底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=?PC。
（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；
（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时?的值。
10、（扬州市2017届高三上学期期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点.
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若AP=AD，且平面PAD?平面ABCD，证明：AF?平面PCD
.
11、（镇江市2017届高三上学期期末）在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?EC?
（1）求证：AC1//平面BDE；
（2）求证：A1E?平面BDE．
1AA1． 2
参考答案
一、填空题
1、4 2、16π3 3、 4
5、3 23
6、
8、[16,20] 9、6π 7
二、解答题
1、证明：（1）因为D,E分别是AB,AC的中点，所以DE//BC， ...............2分
又因为在三棱柱ABC?A1B1C1中，B1C1//BC，所以B1C1//DE. ...............4分
DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE. ...............6分 又B1C1?平面A1DE，
（2）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1?底面ABC，
又DE?底面ABC，所以CC1?DE. ...............8分
又BC?AC，DE//BC，所以DE?AC， ...............10分
又CC1,AC?平面ACC1A1，且CC1?AC?C，所以DE?平面ACC1A1. ..............12分 又DE?平面A1． .............14分 1DE，所以平面A1DE?平面ACC1A
2、【证明】（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对
角线的交点，所以O为AC中点．
又因为E为PC的中点，
所以OE∥PA． ……………………4分
又因为OE?平面BDE，PA?平面BDE，
所以直线PA∥平面BDE． ……………………………………………………6分
（2）因为OE∥PA，PA?PD，所以OE?PD． ………………………………8分
因为OP?OC，E为PC的中点，所以OE?PC． …………………………10分
又因为PD?平面PCD，PC?平面PCD，PC?PD?P，
所以OE?平面PCD． …………………………………………………………12分
又因为OE?平面BDE，所以平面BDE?平面PCD． ……………………14分
3、（1）连结ED，因为D，E分别为BC，B1C1的中点，
所以B1E∥BD且B1E?BD，
所以四边形B1BDE是平行四边形，…………………2分
所以BB1∥DE且BB1?DE，又BB1∥AA1且BB1?AA1，
所以AA1∥DE且AA1?DE，
所以四边形AA1ED是平行四边形，…………………4分
所以A1E∥AD，又因为A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，
所以直线A1E∥平面ADC1．…………………………………………………7分
（2）在正三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1?平面ABC，
又AD?平面ABC，所以AD?BB1，
又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD?BC，……………9分 又BB1,BC?平面B1BCC1，BB1?BC?B，
所以AD?平面B1BCC1，
又EF?平面B1BCC1，所以AD?EF，……………………………………11分 又EF?C1D，C1D,AD?平面ADC1，C1D?AD?D，
所以直线EF?平面ADC1．…………………………………………………14分
4、（1）因为PA?平面ABCD，且AB,AD?平面ABCD，
所以PA?AB，PA?AD，
又因为?BAD?90?，所以PA,AB,AD两两互相垂直．
分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则由AD?2AB?2BC?4，PA?4可得
A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，
又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)．
所以BM?(?1,1,2)，AP?(0,0,4)，…………2分 ??????????????????AP?BM 所以cos?AP,BM??|AP||BM|?????????
?? 5分 ?????（2）因为AN??，所以N(0,?,0)(0≤?≤4)，则MN?(?1,??1,?2)， ????????BC?(0,2,0)，PB?(2,0,?4)，
设平面PBC的法向量为m?(x,y,z)， ??????2y?0,?m?BC?0,则???? 即? 令x?2，解得y?0，z?1， ?2x?4z?0.???m?PD?0,所以异面直线AP，BM
所以m?(2,0,1)是平面PBC的一个法向量．……………………………7分
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为
??????????|MN?m|4所以|cos?MN,m?|??， |MN||m|5
解得??1??0,4?，
所以?的值为1．……………………………………………………………10分
5、（1）取BE中点F，连结CF，MF，
1又M是AE的中点，所以MF∥?AB， 2
又N是矩形ABCD边CD的中点，
1所以NC∥?NC， ?AB，所以MF∥
2
所以四边形MNCF是平行四边形，…4分
所以MN∥CF，
又MN?平面EBC，CF?平面EBC，
所以MN∥平面EBC．………………………………………………………7分
（2）在矩形ABCD中，BC?AB，
又平面EAB?平面ABCD，平面ABCD?平面EAB?AB，BC?平面ABCD，
所以BC?平面EAB，………………………………………………………10分
又EA?平面EAB，所以BC?EA，
又EA?EB，BC?EB?B，EB，BC?平面EBC，
所以EA?平面EBC．………………………………………………………14分
6、解：（1）∵SA?底面ABCD，?DAB?90?，∴AB、AD、AS两两垂直．
以A为原点，AB、AD、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）， ．．．．．．．．．．．．．．．1分 4
，
分 C(a,a,0)S(0,0,a)D(0,3a,0)则，，(a?0)， ∵SA?AB?a且SA?AB，∴设E(x,0,a?x)其中0≤x≤a， ????????∴DE?(x,?3a,a?x)，SC?(a,a,?a)， ．．．．．．．．．．．．．．．．2????????假设DE和SC垂直，则DE?SC?0，
即ax?3a2?a2?ax?2ax?4a2?0，解得x?2a，
这与0≤x≤a矛盾，假设不成立，所以DE和SC不可能垂直． ．．．．．．．．4分
21（2）∵E为线段BS的三等分点（靠近B），∴E(a,0,a)． 33??????设平面SCD的一个法向量是n1?(x1,y1,z1)，平面CDE的一个法向量是n2?(x2,y2,z2)， ?????????????????n1?CD?0∵CD?(?a,2a,0)，SD?(0,3a,?a)，∴???， ???????n1?SD?0
?????ax1?2ay1?0?x1?2y1即?，即?，取n1?(2,1,3)， ．．．．．．．．．．．．6分 3ay?az?0z?3y11?1?1????????????????2n?CD?0?21∵CD?(?a,2a,0)，DE?(a,?3a,a)，∴???， ?????33??n2?DE?0
??ax2?2ay2?0????x2?2y2?即?2，即?，取n2?(2,1,5)， ．．．．．．．．．．．．8分 1z?5yax?3ay?az?02?2222?3?3
设二面角S?CD?E的平面角大小为?，由图可知?为锐角，
????????????n?n21?∴cos??|cos?n1,n2?|?， ?|n1|?|n2|即二面角S-CD-E
． ．．．．．．．．．．．．10分 7、
8、
9、解：（1）以A为坐标原点，AD,AB,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则C(1,1,0)、
1P(0,0,2)、D(1,0,0)、E(0,,1)，………2分 2
????????????????CE?PD∴cos?CE,PD??|CE|?|PD|
即CE与PD
????????1从而CE?(?1,?,1),PD?(1,0,?2).
2? ． ………4分 ????????????（2）点F在棱PC上，且PF??PC，所以PF??PC，于是F(?,?,2?2?)，BF?(?,??1,2?2?)，????????1又CD?(0,?1,0)，CE?(?1,?,1)． 2?设n?(x,y,z)为平面CDE的法向量，则
???????y?0???n?CD?0，可得?，取x?1，则n?(1,0,1) ………6分 ???????1?x?y?z?0???n?CE?0?2
设直线BF与平面CDE所成的角为?，则
?????sin??|cos?BF,n?|?? ………8分
令t?2??，则t?
[1,2]，所以sin??? 91452??6有最小值，此时sin?
即BF与平面CDEtt9
955所成的角最大，此时??2?t?2??，即?的值为．……10分 777179当?，即t??2],1[t97
2
2tanB?3tan2B?=10、. ---------------------14分 1-tan2B1?(1)24
3
16. （1）证明：因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以EF∥CD，又在矩形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB，---------------------3分
又AB?面PAB，EF?面PAB，所以EF∥平面PAB. ---------------------6分
⑵证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，又平面PAD?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?面ABCD，所以CD?平面PAD， ---------------------10分 又AF?面PAD，所以CD?AF.①
因为PA=AD且F是PD的中点，所以AF?PD，②
由①②及PD?面PCD，CD?面PCD，PD∩CD=D，所以AF?平面PCD. -----------------14分
11、证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OE.
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD长方形，点O为AC的中点， ……2分
11AA1∥CC1且AA1?CC1，由EC?AA1，则EC?CC1， 22
即点E为CC1的中点，于是在△CAC1中，AC1∥OE. ……4分 又因为OE?平面BDE，AC1?/ 平面BDE．所以AC1∥平面BDE． ……6分
（2）连结B1E．设AB＝a，则在△BB1E中，
BE＝B1E
，BB1＝2a．所以 BE2?B1E2?BB12，所以B1E?BE． ……8分 由ABCD－A1B1C1D1为长方体，则A1B1?平面BB1C1C，BE?平面BB1C1C，
所以A1B1?BE． ……10分 因B1E?A1B1= B1，B1E?平面A1B1E，A1B1?平面A1B1E，则BE?平面A1B1E．……12分 又因为A1E?平面A1B1E, 所以A1E?BE．
同理A1E?DE．又因为BE ?平面BDE，DE ?平面BDE，
所以A1E?平面BDE．……14分
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