习题一
1.判断下列集合对指定的运算是否构成R上的线性空间 （1）V1?{A?(aij)n?n|
n
?a
i?1
ii
?0}，对矩阵加法和数乘运算；
（2）V2?{A|A?Rn?n,AT??A}，对矩阵加法和数乘运算；
（3）V3?R3；对R中向量加法和如下定义的数乘向量：???R,k?R,k??0； （4）V4?{f(x)|f(x)?0}，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R上线性空间
（3）不是，由线性空间定义，对???0有1?=?，而题（3）中1??0 （4）不是，若k<0，则kf(x)?0，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间V?{A?R解：一组基
??1????0??0??
.??
??????????
??0????1??0??
.??
????.??
?0???
??0
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1??0
????0??10??
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??0
????0??0??
.???
????.??
?0???1
1??
???????????????.??
?0???
n?n3
3
|AT?A}的维数和一组基。
......
dimW=n(n+1)/2
3.如果U1和U2都是线性空间V的子空间，若dimU1=dimU2，而且U1?U2，证明：U1=U2。 证明：因为dimU1=dimU2，故设
??1,?2,?,?r?为空间U1的一组基，??1,?2,?,?r?为空间U2的一组基
???U2，有
????1?2???r?X?
而于是
??1?2??r????1??2?r?C，C为过渡矩阵，且可逆
????1?2???r?X????1?2???r?C?1X????1?2???r?Y??U1
由此，得
U2?U1
又由题设U1?U2，证得U1=U2。
?111???T4.设A??213?，讨论向量??(2,3,4)是否在R(A)中。
?315???
?111|2??111|2?????解：构造增广矩阵?A|????213|3???0?11|?1?
?315|4??000|0?????
矩阵A与其增广矩阵秩相同，向量?可由矩阵A的3个列向量线性表示，?在列空间R(A)中。
5.讨论线性空间3232P4[x]中向量P2?2x?x?3x，1?x?x?x?1，P
32P3?4x?x?5x?2的线性相关性。
?10?323?1解：?PPP?(1xxx)123??1?1??12
而 2??5? ?1?4?
?10??13
?1?1??122??1??5??0?1??0??4??001002??1?，该矩阵秩为2 0??0?
所以向量组P1,P2,P3线性相关。
6.设A?Rm?n，证明dimR(A)+dimN(A)=n。
n证明：R(A)?L{A1,A2,?,An}，N(A)?{X|AX?0,X?R}
假定dimR(A)=r，且设A1,A2,?,Ar为R(A)的一组基
则存在 k1i,k2i,?,kri(i?r?1,?,n) ，其中k1i,k2i,?,kri不全为零
(i?r?1,?,n) 使k1iA1?k2iA2???kriAr?Ai?0
显然
?k1,r?1???k2,r?1???????kr,r?1? ??1???0???????0?????k1,r?2??k1,n?????kk2,r?22,n??????????????kk?r,r?2???r,n??N(A) ?0??0?????1?????????0????0???1??????
T上述n-r个向量线性无关，而?k1,k2,?,ks?1,1,0,?0?，s<r不为N(A)中的向量，否则与
A1,A2,?,Ar线性无关矛盾，故
dimN(A)=n-r
所以
dimR(A)+dimN(A)=n
?1?130???7.设A???21?21?，求矩阵A的列空间R(A)和零空间N(A)。 ??1?152???
解：通过矩阵的行初等变换将矩阵A化为行阶梯形
?1?130??1?130?????A???21?21???0?141???1?152??0000?????
矩阵A的秩为2，从A中选取1、2列（线性无关）作为R(A)的基，于是 R(A)?L??1?2??1??,T1?1?T? 1
由AX?0，X?(x1,x2,x3,x4)T，rank(A)=2，有
3x3?x1?x2?? ? ?x??4x?x34?2
分别取x3?1,x4?0和x3?0,x4?1，求得齐次方程AX?0解空间的一组基
?1410?,?1101? TT
所以A的零空间为
N(A)?L
??141?0?T,11?0? 1T
8.在R2?2中，已知两组基
?10??01??00??00?，，，E1??E?E?E??234?????? ?00??00??10??01??01??10??11??11?G1???，G3???，G4??? ?，G2??11011011????????
求基{Ei}到基{Gi}的过渡矩阵，并求矩阵?
解：?G1?01??在基{Gi}下的坐标X。 ?2?3?E3E4??C1C2C3C4?,Ci?R4 G2G3G4???E1E2
由此，得过渡矩阵
?0?1 C???1??1
再由 101111011??1? ?1?0?
?01??01??10??11??11??x?x?x?x??1??2??3??4?? ?2?3??11??11??01??10?解得
X??0
9.判别下列集合是否构成子空间。
（1）W1?{??(x,y,z)|x2?y2?z2?1,x,y,z?R}；
（2）W2?{A|A2?I,A?Rn?n}；
（3）R中，W3?{??(x1,x2,x3)|
（4）W4?{A?(aij)m?n|
33?1?2?3 T?t0(x1?2?x2??x3}d??0}； ??ai?1j?1mnij?0}。 解：（1）不是R子空间，对加法及数乘运算不封闭。如取k=2，??(10
k??(20)T， 0T，而0)x2?y2?z2?4?1，k??W1。
（2）不是子空间，因为W2中没有零元。
（3）、（4）为子空间。
10.设?1?(1,2,1,0)T，?2?(?1,1,1,1)T，?1?(2,?1,0,1)T，?2?(1,?1,3,7)T，W1?span{?1,?2}，W2?span{?1,?2}，求W1?W2和W1?W2。 解：设??W1?W2，则
??x1?1?x?2且2??x3?1?x4?2 于是，有
x1?1?x2?2?x?3?1x?4?02
??1?1?2?1?
即 ?2111??
???x1??0?
?x???
2?0?
?110?3??x?? ?01?1?7???3?
?x???0??
4??0?
而
??1?1?2?1??1?1?2??1 A??2111??01??1
?????110??3???001? 7
3
?01?1???7??000??0取x4?1，得
x1??1,x2?4,x3??3x,4? 1所以
W1?W2?L??1?1?4?2??L??3?1??2? 由于rank(A)=3
则 W1?W2?L??,1?,2??1
11.在矩阵空间R2?2中，子空间
V?xx2?
1?{A??1
x??|x1?x2?x3?x4?0}，V2?L{B1,B2}，其中B1???1?x34?2B???0?2?
2?01?，求
?
（1）V1的基和维数；
（2）V1?V2和V1?V2的维数。 0?3?， ?
解：（1）V1中，A???x1x2??x2?x3?x4???xxx3?34??x2??11???10??10? ?x3??x4???x2????x4??00??10??01?令A1???11???10??10?,A?,A??2??3??，可验证A1，A2，A3线性无关，它们构成空间
?00??10??01?
V1的一组基，空间V1的维数dimV1=3。
（2）V2?L{B1,B2}中，B1与B2线性无关，它们是V2的一组基，故dimV2=2，而V1+V2 = L{A1,A2,A3} + L{B1,B2} = L{ A1,A2,A3,B1,B2} 在R2?2的标准基E11，E12，E21，E22下，A1,A2,A3,B1,B2对应的坐标X1,X2,X3,X4,X5排成矩阵
?X1X2X3X4?1?1?10?X5???01??00100110??1?1110????0?2??01?1?1?2? ?20??00132????31??0000?1?于是dim(V1+V2)=4，由维数定理
dimV()1?V2?
12.设W1和W2为Vn的子空间，W1?{??(x1,x2,?,xn)|TdiVm1?dVi2m?dV1i?mV(2??)?3 2?41?x
i?1ni?0}，
W2?{??(x1,x2,?,xn)T|x1?x2???xn}，证明Vn?W1?W2。 证明：对W1，由x1?x2???xn?0，解得
110 X1?k1??
11 ?1???0??0T?k20??101??T0???nk??1?100?0? 100??0 TT1显然W1的维数dimW1=n-1，而向量组 00??0T?,2???101?0?T?0???n?,1?1为W1的一组基。
对W2，由x1?x2???xn，解得
X2?k?1111??1
TTW2的基为???1111?1?，dimW2=1
于是
W1?W2?L??1,?2,?,?n?1??L????L??1,?2,?,?n?1,?? 这里
?1?1?0?1?
?100
?(1?,2?,?, detn?
1
1
??,0)
?
?????00?1所以
?1,?2?,,?n?
1
为W1+W2的基，则dim (W1+W2)=n，由维数定理可知,?
dim(W1?W2)?0，故有
Vn?W1?W2
13.R中，??(?1,?2,?,?n)T，??(?1,?2,?,?n)T，判别下面定义的实数(?,?)是否为内积。 （1）(?,?)?
n
???
i
i?1
n
i
；
（2）(?,?)?
?i??
i
i?1
n
i
；
（3）(?,?)??A?，其中A为正定矩阵。
n
解：（1）不是R上的内积。设?1??a1
T
??an?? a2?an?，?2??a1?a2
T
TT
???b1b2?bn?
于是
??1??2,????(ai?ai?)bi??aibi?ai?bi??aibi??ai?bi
i?1
i?1
i?1
i?1
nnnn
?(?1,?????2,?)
内积的线性性不满足。
（2）与（3）是R上的内积。可验证对称性、线性性及正定性都满足。
13.设{?1,?2,?,?5}是V5的标准正交基，又
n
?1??1??5，?2??1??3??4，
?3?2?1??2??3，求W?L{?1,?2,?3}的标准正交基。
解：W的标准正交基
1
000
?1
T
1?0
2?2?
T
1
?,2
11?1? 0
T
1
14.在欧氏空间R4中，求子空间W?L{(1,1,?1,1),(1,?1,?1,1)}的正交补子空间W。 ⊥TT
解：设X??x1x2x3x4??W? T
令 ?1?(11?11)T,?2?(1?1?11)T
由
X??1,X??2
得
0?x1?x2?x3?x4? ?x?x?x?x?2340?1
解得
?1???1?????00 X???,?? ?1??0?????0???1?
所以
W??L?1010?,??1001?
15.判断下列变换哪些是线性变换
2T（1）R2中，T(x1,x2)T?(x1?1,x2)； ?TT?
（2）R3中，T(x1,x2,x3)T?(x1?x2,x1?x2,2x3)T；
（3）R
（4）Rn?n中，A为给定n阶方阵，?X?R??n?n，T(X)?AX?A； 2?2中，T(A)?A，A为A的伴随矩阵。
解：（1）不是，该变换为非线性变换
设
?1??x1
则 x2?，?2??y1Ty2?
TTTTT(?1??2)?T(x1?y1x2?y2)T??x1?y1?1(x2?y2)2???x1?1x22???y1?1y22??T(?1)?T(?2)
（2）是线性变换
（3）不是，因有T?0??0
（4）是线性变换
?A??而
?a1?a3a2??b1b?22?2
,B??R???
a4??b3b4?
?a?b1a2?b?2?a?4bT(A?B)?T?1???
?a3?b3a4?b4???a3?b3?ka
T(kA)?T?1
?ka3
ka2??ka4
???ka4???ka3
4
?a?b2?2?a
???a1?b1???a3??2b4a?
???a1???b3?b4?2** ??A?B?T(A)?T(B)b1?
?ka2??a4
??k?ka1???a3?a2?*
??kA?kT(A)a1?
16.设R3中，线性变换T为：T?i??i，i=1,2,3，其中?1?(1,0,?1)T，?2?(2,1,1)T，
?3?(1,1,1)T，?1?(0,1,1)T，?2?(?1,1,0)T，?3?(1,2,1)T，求
（1）T在基{?1,?2,?3}下的矩阵； （2）T在标准正交基下的矩阵。 解：（1）由T??1得
3?2????1?2??3A???1
?2?3????1?2?3?A及T??1?2?3????1?2?3?
于是
A???1?2?3?
?1
??1
?2
?121??0?11??011?
?????
?3???011112??1?3?2??????
??111??101??244???????
T
T
T
?1
3
（2）R中标准基正交基e1??100?,e2??010?,e3??001?
由
T?e1e2e3???e1e2
e3?A
T?i??i
得
,i?1,2,3 e2e2e2
e3??10?1???e1e3??211???e1e3??111???e1
TTT
T?1?T?e1T?2?T?e1T?3?T?e1
因为
e2e2e2
e3?A?1??1e3?A?2??2e3?A?3??3
?e1
故有
e2e3??I3
于是
A??1
?2
??3???1
?2
?? 3
?0?1
?1
?3????11
?10?
1??2?1???1??0??1?
211
?1
A???1
?2
????13
?2
1???2
??1????1??11???2?
?5??2 4??2?
5?
17.设线性变换R?R，有
43
T(x1,x2,x3,x4)T?(x1?x2?x3?x4,x1?2x2?x4,x1?x2?3x3?x4)T，求N(T)和R(T)。
解：由N?T??{X|T(X)?0,X?(x1,x2,x3,x4)T}，得下述齐次方程组
?x1?x2?x3?x4?0
?
?x1?2x2?x4?0
?x?x?3x?x?0
234?1
解得X?k??2所以
N?T??{X=k??2
314?
T
314?}
T
由R?T??{Y|Y?T(X),X?(x1,x2,x3,x4)T}，得
?x1?x2?x3?x4??1???1??1??1?
??????????
Y??x1?2x2?x4??x1?1??x2?2??x3?0??x4??1?
?x?x?3x?x??1??1??3???1?
234??1????????
??1???1??1??1????????????
故有 R(T)????k1?1??k2?2??k3?0??k4??1??
??1??1??3???1??
????????????1???1??1??
????????
或R(T)????k1?1??k2?2??k3?0??
??1??1??3??
????????
18.在欧氏空间Rn中，设有两组基?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n，满足关系式
(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)P，P?Rn?n
证明：（1）若?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n都是标准正交基，则P是正交阵；
（2）若?1,?2,?,?n是标准正交组，P是正交阵，则?1,?2,?,?n是标准正交组。 证明：（1）将矩阵P按列分块，有
(?1,?2?,,?)n?
其中 ?(1?,2?,n?,p)1p?,p,n?? ,2
?i???1?2??n?pi,i?1,2,?,n 于是
TTT?,?????p??????p?ppj????????ijiji1n1nji ?0,i?jT?1,i?j
故矩阵P为正交矩阵。
（2）与（1）证明过程类似，可证明?1,?2,?,?n是标准正交基。
习题二
1.设A、B为n阶方阵，?1,?2,?,?n是A的特征值，证明
（1）tr(AB)=tr(BA)；
（2）tr(A)?k??
i?1nki；
（3）若PAP?B，则tr(A)?tr(B)?
证明：（1）设A?aij
n?1??。 ii?1n??n?n，B?bij??n?n，则 ?n?n?n?tr?AB?????aijbji?????bjiaij??tr(BA)
i?1?j?1??j?1?i?1
（2）因为AXi??iXi，A2Xi?A?AXi???iAXi??i2Xi，……，AkXi??ikXi
k 故?1k,?2,?,?nk为A的特征值，于是
nk
tr(A)?k??
i?1ki
（3）由结论（1），得
)? tr(Bt(r?1P?1?A)?P?t?P??r?P???A?tr??1?A?P( )?PtrA
2.设n阶方阵A?(aij)n?n，且?a
j?1nij?1，i=1,2,…,n，证明A的每一个特征值?的绝对值
??1。
证明：设有AX??X，X??x1
对AX??X中第k个方程
?xk?
于是
即有
??
3.设三阶方阵 x2?xn?，并设xk?max?x1Tx2?xn? ?aj?1nkjxj ?xk??aj?1nkjxj??akjxj j?1n?aj?1nxjxkkj??akj?1 j?1n
?1?11???A??x4y?
??3?35???
的二重特征值??2对应有两个线性无关特征向量，
（1）求x与y；
（2）求P，使PAP??。
解：（1）因齐次方程?2I?A?X?0的解空间维数为2，则矩阵?2I?A?的秩为1 而 ?1
1?1??1?11??1????x?2?y?0x?2?x?y?2I?A???????
?3?3?3?00????0?
因rank?2I?A??1
故有x?2,y??2。
?1?11???4?2?（2）A??2
??3?35???
A的特征多项式 ?I?A????2?2
???6?
特征值
?1??2?2，?3?6
由?2I?A?X?0，求得特征向量?T
?T
1??1?10?,2??101? 由?6I?A?X?0，求得特征向量?3??1?23?T
于是
?111P?????10?2?
??
?013??
且有
?200P?1AP???
?020?
?
?006?
??
4.设a1与a2是An?n的两个不同特征值，且有 r(a1I?A)?r(a2I?A)?n 证明矩阵A可对角化。
证明：设rank(a1I?A)?r,rank(a2I?A)?n?r 对于(a1I?A)X?0有n - r个线性无关特征向量 对于(a2I?A)X?0有 r个线性无关特征向量
于是矩阵A有n个线性无关特征向量，所以矩阵A可对角化。
5.设R3
中，??(x1,xT2,x3)?R3，线性变换T
T(x1,x2,x3)T?(x1?2x2?2x3,2x1?x2?2x3,2x1?2x2?x3)T
求一组基，使T在此基下的矩阵为对角阵，并求出此对角阵。 解：取R3
中的一组标准基?1,?2,?3，则有
?x1?
?x1??x1?2x2?2x3??1T(?)?T??1?2
??3???x2????1??A??2
?x????3??x3???2?2x1?x?2x?2?x?3????23?2x1?2x??2?x3????222??x112???
??x?
??221?
??x3?
?
得线性变换T在基?1,?2,?3下的矩阵
?
A??122?
?212??
??221??
A的特征多项式?I?A????1?2???5? 特征值 ?1??2??1，?3?5
由??I?A?X?0，解得特征向量?T
1???110?,?2???10
由?5I?A?X?0，解得特征向量?T
3??111?
于是
??
P???1?2???1?11??1????1??
3?01，P?1AP??1
??01??1?
???5???
矩阵P为从基?1,?2,?3到所求基?1,?2,?3的过渡矩阵，于是
?
????1?11?1?2?3????1?2??101?
3?P?
??
?011??
?
线性变换T在基???1?
1,?2,?3下的矩阵为??1?
??5?。
??
6.求可逆矩阵P及J，使P?1AP?J，其中
?2?1?1
A???
?2?1?2??
???112??
解：A的特征多项式?I?A??(??1)3 特征值为?1??2??3?1
??1
再由?I?A?X??11??
??222??x1?
???x???0?
?0?
2???
?1?1?1????x3????0???T1
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