模块综合评价(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．已知集合M＝{x|0<x<3}，N＝{x|1<x<4}，则M∩N＝()
A．{x|1<x<3}
C．{x|3<x<4} B．{x|0<x<4} D．{x|0<x<1}
解析：M∩N＝{x|0<x<3}∩{x|1<x<4}＝
{x|1<x<3}．
答案：A
2．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}．若A?B，则a的范围是()
A．a≥1
C．a≥2 B．a≤1 D．a≤2
解析：在数轴上作出两个集合所在的区间，可知满足A?B的a≥2.
答案：C
3．已知幂函数f(x)＝x的图象过点(4，2)，若f(m)＝3，则实数m的值为() A.3B3C．±9D．9
11解析：依题意有2＝4，得a＝，所以f(x)＝x2， 2aa
1当f(m)＝m2＝3时，m＝9.
答案：D
?1?4．设a＝log13，b＝??，c＝23，则() ?3?2
A．a<b<c
C．c<a<b B．c<b<a D．b<a<c 0.21解析：数形结合，画出三个函数的图象．
由图象可知a<0，0<b<1，c>1，因此a<b<c.
答案：A
5．已知A∩{－1，0，1}＝{0，1}，且A∪{－2，0，2}＝{－2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有()
A．2个B．4个C．6个D．8个
解析：因为A∩{－1，0，1}＝{0，1}，
1
所以0，1∈A且－1?A.
又因为A∪{－2，0，2}＝{－2，0，1，2}，所以1∈A且至多－2，0，2∈A.故0，1∈A且至多－2，2∈A，所以满足条件的A只能为{0，1}，{0，1，－2}，{0，1，2}，{0，1，2，－2}，共有4个． 答案：B
6．已知集合A＝{x|yx＋1}，B＝{y|y＝x＋1}，则A∩B＝( )
A．?
C．[－1，＋∞) B．[－1，1] D．[1，＋∞) 2
解析：A＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，
B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
所以A∩B＝[1，＋∞)．
答案：D
7．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0，x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)<f(－x2)
D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定
解析：由x1<0，x1＋x2>0得x2>－x1>0，又f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，
所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．
答案：A
8．已知函数f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则y＝f(x＋5)的单调递增区间是( )
A．(3，8)
C．(－2，3) B．(－7，－2) D．(0，5)
解析：因为f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则f(x＋5)的单调递增区间满足－2<x＋5<3，即－7<x<－2.
答案：B
9．若x∈[0，1]，则函数yx＋21－x的值域是( )
A．2－13－1]
C．[2－13] B．[1，3] D．[0，2－1]
解析：该函数为增函数．自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大．故ymin＝2－1，ymax＝3.
答案：C
2
10．设二次函数f(x)＝x－x＋a(a>0)．若f(m)<0，则f(m－1)的值为( )
A．正数
C．非负数 B．负数 D．正数、负数和零都有可能 2
12解析：二次函数f(x)＝x－x＋a(a>0)的对称轴是x＝，且f(0)＝f(1)＝a>0. 2
因为f(m)<0，所以m－1<0，所以f(m－1)>0.
答案：A
x－ax＋5，x<1，??11．已知函数在f(x)＝?1在R上单调，则实数a的取值范围为( ) 1＋，x≥1??x
A．(－∞，2]
C．[4，＋∞) B．[2，＋∞) D．[2，4] 2
1解析：当x≥1时，f(x)＝1＋为减函数， x
所以f(x)在R上应为单调递减函数，要求当x<1时，f(x)＝x－ax＋5为减函数，所以2
a2121，即a≥2，并且满足当x＝1时，f(x)＝1＋x＝1时，f(x)＝x－axx
＋5的函数值，即1－a＋5≥2，
解得a≤4，所以实数a的取值范围[2，4]．
答案：D
12．设方程3－x＝|lg x|的两个根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2<0
C．x1x2>1 B．x1x2＝1 D．0<x1x2<1
解析：由题意知，当x>1时，3－x1＝lg x1，当0<x<1时，3－x2＝－lg x2且3－x1<3－x2.故3－x1－3＋x2＝lg x1＋lg x2＝lg(x1x2)<0，所以0<x1x2<1.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
113．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝xx<0时，f(x)＝2＋1
________．
11－2解析：设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝，所以f(－x)＝－. 2＋12＋11＋22答案：－x 1＋214．已知函数f(x)＝[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________． 2＋1xxb－2x
3
解析：因为函数f(x)＝
－1＝0，所以a＝1. b－2x2＋1为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a
又f(0)＝0＝＝0，所以b＝1.故a＋b＝2. 2＋12
答案：2
15．若函数f(x)＝|4x－x|－a的零点个数为3，则a＝________．
解析：作出g(x)＝|4x－x|的图象(图略)，g(x)的零点为0和4.由图象可知，将g(x)的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a＝4.
答案：4
16．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：
①集合A＝{0}为闭集合；
②集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；
③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中所有正确结论的序号是________．
解析：对于①集合A＝{0}，满足条件，所以A＝{0}是闭集；对于集合②A＝{－4，－2，0，2，4}，应为4－(－4)＝8?A，所以A＝{－4，－2，0，2，4}不是闭集；对于③A＝{n|n＝3k，k∈Z}，集合中的元素是3的倍数，因为任何两个3的倍数的和与差都是3的倍数，所以A＝{n|n＝3k，k∈Z}是闭集；对于④，若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2不一定为闭集合．如A1＝{n|n＝2k，k∈Z}是闭集，A2＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合，但A1∪A2不是闭集，应为2＋3∈(A1∪A2)．所以正确结论为①③.
答案：①③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
2x－117．(本小题满分10分)已知函数f(x)，其定义域为{x|x≠0}． 22b－20b－1x
(1)用单调性的定义证明函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数；
(2)利用(1)所得到的结论，求函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．
(1)证明：设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则x2－x1>0，
f(x2)－f(x1)＝2x2－12x1－1x2－x1＝x2x1x1x2
因为x1<x2，所以x2－x1>0，
又因为x1，x2∈(0，＋∞)，
所以x2x1>0，f(x2)－f(x1)>0.
4
2x－1故f(x)＝(0，＋∞)上为增函数． x
2x－1(2)解：因为f(x)＝(0，＋∞)上为增函数， x
2－1所以f(x)min＝f(1)＝1， 1
f(x)max＝f(2)＝2×2－13. 22
218．(本小题满分12分)已知x1，x2是方程x－2(m－1)x＋m＋1＝0的两个不等实根，
且y＝x1＋x2，求y＝f(m)的表达式及值域．
解：由Δ＝4(m－1)－4(m＋1)>0，
解得m>3或m<0.
由韦达定理可得x2＋x1＝2(m－1)，x2x1＝m＋1.
故y＝x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝4(m－1)－2(m＋1)＝4m－10m＋2(m>3或m<0)． 22222222
?5?17因为f(m)＝4m－10m＋2＝4?m－?－， 4?4?22
所以f(m)的值域为(2，＋∞)．
4m19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xf(4)＝3. x
(1)求m的值；
(2)证明f(x)的奇偶性；
(3)若不等式f(x)－a>0在区间[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
4m(1)解：因为f(4)＝3，所以4－＝3，所以m＝1. 3
4(2)证明：由(1)知f(x)＝x－，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称． x
4?4?又f(－x)＝－x－＝－?x－?＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． －x?x?
1(3)解：因为y＝x，y＝－在区间[1，＋∞)上都是增函数， x
所以f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥f(1)＝－3.
因为不等式f(x)－a>0在区间[1，＋∞)上恒成立，即不等式a<f(x)在区间[1，＋∞)上恒成立，所以a<－3，故实数a的取值范围是(－∞，－3)．
1?220．(本小题满分12分)求函数f(x)＝x＋2x＋a－1在区间?－∞，上的零点． 2??
解：Δ＝4－4(a－1)＝8－4a.
当Δ<0，即a>2时，f(x)无零点．
5
当Δ＝0，即a＝2时，f(x)有一个零点－1.
?1当Δ>0且f?<0， ?2?
8－4a>0，??即?1 ＋1＋a－1<0，??4
a<－f(x)仅有一个零点：－1－2－a. 14
?1当Δ>0且f?≥0， ?2?
8－4a>0，??1即?1?－≤a<2时， 4＋1＋a－1≥0?4?
f(x)有两个零点：x＝－2±8－4a＝－1±2－a. 2
综上所述，当a>2时，f(x)无零点；
当a＝2时，f(x)有一个零点－1；
1当－a<2时，f(x)有两个零点：－1±2－a； 4
1当a<－时，f(x)有一个零点：－1－2－a. 421．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4(尾/立方米)时，v的值为2(千克/年)；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v的值为0(千克/年)．
(1)当0<x≤20时，求函数v(x)的表达式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．
解：(1)由题意：当0<x≤4时，v(x)＝2
当4<x≤20时，设v(x)＝ax＋b，
显然该函数在[4，20]是减函数，
1a＝－??8??20a＋b＝0，由已知得?解得? ?4a＋b＝2，5???b＝2.
6
2，0<x≤4，x∈N，??故函数v(x)＝?15 *－x＋4≤x≤20，x∈N.??82
(2)依题意并由(1)可得
2x，0<x≤4，x∈N，??f(x)＝?125 *－＋x，4≤x≤20，x∈N.?2?8
当0≤x≤4时，f(x)为增函数，
故fmax(x)＝f(4)＝4×2＝8；
1251211002当4≤x≤20时，f(x)＝－x＋x＝－x－20x)＝－(x－10)＋ 828882**
fmax(x)＝f(10)＝12.5.
所以，当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.
当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米． m－g（x）22．(本小题满分12分)已知奇函数f(x)＝的定义域为R，其中g(x)为指数1＋g（x）
函数，且过定点(2，9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t＋2t＋k)＋f(－2t＋2t－5)>0恒成立，求实数22
k的取值范围．
解：(1)设g(x)＝a(a>0，且a≠1))，则a＝9，
所以a＝－3 (舍去)或a＝3，
所以g(x)＝3，f(x)＝1＋3又f(x)为奇函数，且定义域为R，
所以f(0)＝0，即0＝0，所以m＝1， 1＋31－3所以f(x)＝1＋3(2)设x1<x2，
1－3x11－3x22（3x2－3x1）则f(x1)－f(x2)＝－1＋3x11＋3x2（1＋3x1）（1＋3x2）
因为x1<x2，所以3x2－3x1>0，
2（3x2－3x1）所以>0， （1＋3x1）（1＋3x2）
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
7 xxx2m－3xm－30
所以函数f(x)在R上单调递减．
要使对任意的t∈[0，5]，
f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)>0恒成立，
即对任意的t∈[0，5]，
f(t2＋2t＋k)>－f(－2t2＋2t－5)恒成立．
因为f(x)为奇函数，
所以f(t2＋2t＋k)>f(2t2－2t＋5)恒成立．
又因为函数f(x)在R上单调递减，
所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2t＋k<2t2－2t＋5恒成立， 即对任意的t∈[0，5]，k<t2－4t＋5＝(t－2)2＋1恒成立．而当t∈[0，5]时，1≤(t－2)2＋1≤10，所以k<1.
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