第三十八届（1997年）
阿根廷 马德普拉塔（Mar del Plata，Argentina）
1. 平面上坐标值为整数的点是单位正方形的顶点。正方形被交替涂上黑色和白色（像棋盘一样）。
对于每对正整数m和n，考虑一个直角三角形，它的顶点坐标为整数，直角边长度为m和n，且都在正方形的边上。
设S1为三角形黑色部分的总面积，S2为三角形白色部分的总面积。令f(m,n)=|S1-S2|。
(a) 对于m和n都是奇数或都是偶数的情况下，计算f(m,n)的值。
(b) 证明对于所有的m和n都有f(m,n)?1max{m,n}。 2
(c) 说明不存在常数C使得对于所有m和n都有f(m,n)<C。（白俄罗斯）
2. 角A是三角形ABC中最小的角。点B和C将三角形的外接圆分成两条弧。设U是B和C之间不包括A的一段弧内的一点。AB和AC的垂直平分线分别交直线AU于V和W。直线BV和CW交于T。说明AU=TB+TC。（英国）
3. 设x1，x2，…，xn为满足条件x1?x2???xn?1的实数，且
n?1 i?1,2,?,n。说明存在x1，x2，…，xn的排列y1，y2，…，yn，使2
n?1得y1?2y2???nyn?。（俄罗斯） 2xi?
4. 一个n×n的矩阵，如果其元素取自集合S={1,2, ... , 2n-1}，且对于每个i=1,2，…，n，第i行和第i列的所有数包括了S的所有元素，那么称这个矩阵为“银矩阵”。说明：
(a) 当n=1997时不存在银矩阵；
(b) 对于无限多个n，存在银矩阵。（伊朗）
5. 找到所有整数对(a,b)（a，b≥1），使其满足等式ab?ba。（捷克）
6. 对每个正整数n，将n表示成2的非负整数次方之和，令f(n)为正整数n的上述不同表示法的个数。如果两个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的。例如，f(4)=4，因为4可以表示成下列四种形式：4；2+2；2+1+1；1+1+1+1。 2
求证：对于任一整数n≥3，都有2?f(2n)?2。（立陶宛） n2
4n22
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