第四十届（1999年）
罗马尼亚 布加勒斯特（Bucharest，Romania）
1. 找出所有满足下列要求的由平面上至少三点组成的有限集合S：
对于任意两个在S中的不同的点A和B，线段AB的垂直平分线是S的一条对称轴。（爱沙尼亚）
2. 设n为一个给定的整数，n≥2。
(a) 判断使得以下不等式对于所有实数x1，…，xn≥0都成立的最小常数C：
??22xx(x?x)?Cx?ijij??i?。
1?i?j?n?1?i?n?
(b) 对于这个常数C，判断何时等号成立。（波兰）
3. 给定一个n×n的棋盘，n是给定的偶数。这个棋盘被分成n2个小方格。如果这个棋盘中的两个不同的小方格有一个公共边就说它们是相邻的。N个棋盘上的小方格按某种方式被标记，使得棋盘上的每个方格（标记的和未标记的）至少与一个被标记的方格相邻。找出N的最小的可能值。（白俄罗斯）
4. 找出满足条件的正整数对(n,p)：p是质数；n不超过2p；(p-1)n能被np-1整除。（中国台湾）
5. 两个圆G1和G2在圆G内，且分别与G相切于不同的点M和N。G1通过G2的圆心。通过G1和G2的交点的直线交G于点A和B。（俄罗斯）
6. 找出所有函数f：R→R，使对于所有实数x、y都有f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1。（日本）
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