2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．复数i（2﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（1，2） D．（﹣1，2）
2．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）
A
． B．1 C．2 D．3
3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）
A
． B．y=﹣x2 C．y=log2x D．y=|x|+1
=0
，（
D．2 ）?=2，则
||=（） 4
．已知向量
，
满足A
． B．1 C
．
5．如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
”的（） 6．在△ABC
中，“A＜30°”是“
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
- 1 -
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）
A
． B
． C．2 D
．
8．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（ ）
A． B．
[
，] C． D．
[，2]
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知双曲线C
：，则双曲线C 的一条渐近线的方程为 ．
*10．已知数列{an} 满足an+1﹣an=2，n∈N，且a3=3，则a1= ，其前n 项和Sn= ．
11．已知圆C：x+y﹣2x=0，则圆心C 的坐标为 ，圆C截直线y=x 的弦长为 ．
12．已知x，y
满足，则2x+y的最大值为 ． 22
13．如图所示，点D 在线段AB 上，∠CAD=30°，∠CDB=50°．给出下列三组条件（给出线段的长度）：
①AD，DB
②AC，DB
③CD，DB
其中，能使△ABC 唯一确定的条件的序号为 ．（写出所有所和要求的条件的序号）
14．已知A、B两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）． 据此，
甲同学说：“A大学的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”；
乙同学说：“A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例”；
丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”． 其中，说法正确的同学是 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（13分）已知数列{an} 是各项均为正数的等比数列，且a2=1，a3+a4=6
（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{an﹣n} 的前n 项和为Sn，比较S4 和S5 的大小，并说明理由．
16．（13
分）已知函数
（Ⅰ）求f（x）
的定义域及
（Ⅱ）求f（x）
在的值； 上的单调递增区间．
17．（13分）诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“
”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下
表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：
（Ⅰ）计算表1
中八周水站诚信度的平均数
（Ⅱ）从表1诚信度超过91% 的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率；
（Ⅲ）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：
请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD=2AB，AD⊥CD，E为
棱PD的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥AE；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（Ⅲ）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．
19．（13分）已知椭圆的离心率为
，直线l 过椭圆G 的右顶点A（2，0），且交椭圆G于另一点C
（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；
（Ⅱ）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B，求直线l 的方程．
20．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线y=f（x） 在函数f（x） 零点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y=f（x） 的单调区间；
（Ⅲ）若关于x 的方程f（x）=a 恰有两个不同的实根x1，x2，且x1＜x2，求证： - 4 -
．
2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．复数i（2﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（1，2） D．（﹣1，2）
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数i（2﹣i）=2i+1在复平面内对应的点的坐标为（1，2），
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．抛物线y=2x的焦点到准线的距离为（ ）
A
． B．1 C．2 D．3 2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的方程求出p即可得到结果．
【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为：p=1．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A
． B．y=﹣x2 C．y=log2x D．y=|x|+1
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．
【解答】解：
A.是减函数，为非奇非偶函数，不满足条件．
B．y=﹣x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不满足条件．
C．y=log2x在区间（0，+∞）上单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．
D．y=|x|+1是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足条件．
故选：D
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．
4
．已知向量
A
． B．1 ，
满足C
． D．2 =0
，（
）?=2，则
||=（ ）
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得
【解答】解：∵向量
=2
故选：C．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．
5．如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（ ）
﹣
=，
满足=2，则
|
|==2，可得
||的值．
）?
=
﹣
=0
，（
，
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=8时，不满足条件a≠b，输出a的值为8，即可得解．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
a=16，b=24
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=24﹣16=8，
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=16﹣8=8，
不满足条件a≠b，输出a的值为8．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．
6．在△ABC
中，“A＜30°”是“
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由
则A
＜30°”是“
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数值的关系是解决本题的关键．
7．已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ） ，则0°＜A＜30°或150°＜A＜180°， ”的充分不必要条件， ”的（ ）
A
． B
． C．2 D
．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知，几何体是以俯视图为底面，高为2的四棱锥，即可求出体积．
【解答】解：由三视图可知，几何体是以俯视图为底面，高为2的四棱锥，
体积为
故选B．
【点评】本题考查几何体体积的计算，考查三视图与直观图的转化，确定直观图的形状是关键．
8．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（ ）
=，
A． B．
[
，] C． D．
[，2]
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，即可得出结论．
【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，符合题意；
若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，符合题意．
故选C．
【点评】本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，属于中档题．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知双曲线C：
﹣2x） ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出a和b 的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．
【解答】解：由双曲线C
：
则双曲线C 的渐近线方程为y=±2x，
故答案为：y=2x或（y=﹣2x）．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．
10．已知数列{an} 满足an+1﹣an=2，n∈N*，且a3=3，则a1= ﹣1 ，其前n 项和Sn= n2﹣2n ．
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】推导出数列{an} 是公差d=2的等差数列，由此能求出首项和前n项和．
【解答】解：∵数列{an} 满足an+1﹣an=2，n∈N*，且a3=3，
∴数列{an} 是公差d=2的等差数列，
∴a3=a1+2d=a1+4=3，
解得a1=﹣1，
∴Sn
=
故答案为：﹣1，n﹣2n．
【点评】本题考查数列的首项和前n项和的求法，是基础题，解题时要 认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
11．已知圆C：x2+y2﹣2x=0，则圆心C 的坐标为 （1，0） ，圆C截直线y=x 的弦长为
【考点】直线与圆的位置关系． ． 2，则双曲线C 的一条渐近线的方程为 y=2x或（y=得到a=1，b=2， =﹣
1+=n﹣2n． 2
【分析】将圆C方程化为标准形式，找出圆C的半径及圆心坐标即可；利用点到直线的距离公式，求直线l与圆心C的距离，即可求出圆C截直线y=x 的弦长．
【解答】解：圆C方程x2+y2﹣2x=0化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，
则圆C的半径为1，圆心C坐标为（1，0）；
圆心C（1，0）到直线l：x﹣y=0的距离
d=
∴圆C截直线y=x 的弦长为
2
故答案为（1，0
），． =， ，
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程与一般方程的转化，考查计算能力．
12．已知x，y
满足
【考点】简单线性规划．
【分析】根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解
【解答】解：令z=2x+y，则y=﹣2x+z，
则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大
作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分
做直线2x+y=0，然后把直线2x+y=0向上平移，结合图形可知，当直线平移到B时，z最大
由
故答案为：
10 可得B（4，2），此时z=10 ，则2x+y的最大值为 10 ．
【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想
13．如图所示，点D 在线段AB 上，∠CAD=30°，∠CDB=50°．给出下列三组条件（给出线段的长度）：
①AD，DB
②AC，DB
③CD，DB
其中，能使△ABC 唯一确定的条件的序号为 ①②③ ．（写出所有所和要求的条件的序号）
【考点】正弦定理．
【分析】由已知及正弦定理可
得
，结合余弦定理即可得
解．
【解答】解：∵∠CAD=30°，∠CDB=50°．
∴可得：∠ACD=20°，
∴在△ACD中，
可得
给一边，可求另外两边，进而利用正弦定理，余弦定理可求△ABC的各边及角．
故答案为：①②③．
，即- 12 -
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
14．已知A、B两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）． 据此，
甲同学说：“A大学的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”；
乙同学说：“A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例”；
丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”． 其中，说法正确的同学是 乙 ．
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】根据A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比），可知甲、丙不一定正确，即可得出结论．
【解答】解：根据A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比），可知甲、丙不一定正确，A大学的男女生比例有可能等于B大学的男女生比例，即A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例 故答案为乙
【点评】本小题情境通俗易懂，主要考查逻辑思维和推理能力，难度不大．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（13分）（2016秋?海淀区期末）已知数列{an} 是各项均为正数的等比数列，且a2=1，a3+a4=6
（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{an﹣n} 的前n 项和为Sn，比较S4 和S5 的大小，并说明理由．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由数列{an﹣n} 的前n 项和Sn 的意义可得S5﹣S4=a5﹣5，进而得出．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an} 的公比为q，由a3+a4=6，
可得又a2=1，所以q+q2=6，
解得q=2 或q=﹣3，
因为an＞0 （n=1，2，3
，?），所以．
所以q=2
，解得
所以，数列{an}
的通项， ．． （Ⅱ）由数列{an﹣n} 的前n 项和Sn 的意义可得S5﹣S4=a5﹣5，
所以
所以S5＞S4．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（13分）（2016秋?海淀区期末）
已知函数
（Ⅰ）求f（x）
的定义域及
（Ⅱ）求f（x）
在
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（Ⅰ）根据函数成立的条件，结合三角函数的性质进行求解即可．
（Ⅱ）将函数进行化简，利用三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由cosx≠0，可得x≠kπ
+
所以f（x
）的定义域为，k∈Z， ，
的值； 上的单调递增区间． ，
.
（． Ⅱ
=
=2sinx+2cosx=，
． ）
因为
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