专题四 立体几何
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高考点拨] 立体几何专题是高考中当仁不让的热点之一，常以“两小一大”呈现，小题主要考查三视图与空间几何体的体积(特别是与球有关的体积)内容，一大题常考空间几何体位置关系的证明与空间角、距离的探求．本专题主要从“空间几何体表面积或体积的求解”、“空间中的平行与垂直关系”两大角度进行典例剖析，引领考生明确考情并提升解题技能．
突破点9 空间几何体表面积或体积的求解
提炼1 求解几何体的表面积或体积 (1)对于规则几何体，可直接利用公式计算．
(2)积转换法求解．
(3)求解旋转体的表面积和体积时，等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用．
1
提炼2 球与几何体的外接与内切 (1)正四面体与球：设正四面体的棱长为a ，由正四面体本身的对称性，可知其内切球和外接球的球心相同，则内切球的半
66
径r＝12，外接球的半径R＝4a.
图10-1
(2)正方体与球：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，O为其对称中心，E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1的中点，J为HF的中点，如图10-1所示．
①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，故其内切球的半径为aOJ＝2；
②正方体的棱切球：截面图为正方形EFHG的外接圆，故其棱切球的半径为2aOG＝2；
③正方体的外接球：截面图为矩形ACC1A1的外接圆，故其外接球的半径为OA13
a＝2.
回访1 几何体的表面积或体积
1. (2016·全国甲卷)如图10-2是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
2
图10-2
A．20π
C.28π B.24π D.32π
C 由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为3，所以圆锥的母线长为?23?2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S＝16π＋4π＋8π＝28π.]
2．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图10-3，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
( )
图10-3
1A.8
1C.61B.7 1D.5
D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部
分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为
111V1＝3×2×1×1×1＝6，
15剩余部分的体积V2＝13－663
1V61所以V＝5＝5，故选D.] 2
6
3．(2014·全国卷Ⅱ)如图10-4，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(
)
图10-4
17A.27
10C.27 5B.9 1D.3
C 由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4 cm，底面半径为2 cm，右面圆柱的高为2 cm，底面半径为3 cm，则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)，则所求比值为54π－34π1054π27
回访2 球与几何体的外接与内切
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π
C.144π B.64π D.256π
1C 如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝22.
∵VO-ABC＝VC-AOB，而△AOB面积为定值，
4
∴当点C到平面AOB的距离最大时，VO-ABC最大，
11∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO-最大为ABC3×2
R2×R＝36，
∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.]
5．(2013·全国卷Ⅰ)如图10-5，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(
)
图10-5
500πA.3cm3
C.1 372π3 cm 3866πB.3 cm3 D.2 048π3cm 3
11A 如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝2AB＝2×8＝
4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，
4500∴V球＝3×53＝33)．]
6．(2012·全国卷)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( ) 2A.6 3B.6 5
2C.3 2D.2
A 由于三棱锥S-ABC与三棱锥O-ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S-ABC的高是三棱锥O-ABC高的
2倍，
所以三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC体积的2倍．
在三棱锥O-ABC中，其棱长都是1，如图所示，
33S△ABC＝4AB24
高OD＝6?3?12－?2＝3 ?3?
13
62
∴VS-×＝ABC＝2VO-ABC＝2××3436.]
热点题型1 几何体的表面积或体积
题型分析：解决此类题目，准确转化是前提，套用公式是关键，求解时先根据条件确定几何体的形状，再套用公式求解．
(1)(2016·全国乙卷)如图10-
6，某几何体的三视图是三个半径相等的圆
28π及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是3，则它的表面积是( )
图10-6
A．17π
C.20π B.18π D.28π
(2)(2016·全国丙卷)如图10-7，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
6
图10-7
A．18＋365
C.90 B.54＋185 D.81
1(1)A (2)B (1)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的4，
4314328得到的几何体如图．设球的半径为R，则3πR－83R＝3，解得R＝2.因此它的
73表面积为8×4πR2＋4πR2＝17π.故选
A.
(2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋185.故选
B.]
1．求解几何体的表面积及体积的技巧
(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．
(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．
2．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤
(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状．
(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．
(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．
7
变式训练1](1)(2016·平顶山二模)某几何体的三视图如图10-8所示，则该几何体的体积为( )
13πA.33
πC.5＋3 πB.5＋2 13πD.3＋2
图10-8
(2)某几何体的三视图(单位：cm)如图10-9所示，则此几何体的表面积是(
)
图10-9
A．90 cm2
C.132 cm2 B.129 cm2 D.138 cm2
(3)(名师押题)如图10-10，从棱长为6 cm的正方体铁皮箱ABCD -A1B1C1D1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形．如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为________cm3
.
图10-10
8
(1)D (2)D (3)36 (1)由三视图知该几何体是由一个长方体，一个三棱锥和一1111个圆柱组成，故该几何体的体积为V＝2×1×2＋1×1×2＋π×12×2＝4324
13π3＋2.
(2)该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm,3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm,5 cm，所以表面积S＝2×(4×6＋4×3)
1??＋3×6＋3×3]＋?5×3＋4×3＋2×2×4×3?＝99＋39＝138(cm2)．
??
(3)最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C1-CD1B1的体积．
1?1?又V三棱锥C1-CD1B1＝V三棱锥C-B1C1D13?26×6?×6＝36(cm3)，所以??
用图示中这样一个装置来盛水，最多能盛36 cm3体积的水．]
热点题型2 球与几何体的切、接问题
题型分析：与球有关的表面积或体积求解，其核心本质是半径的求解，这也是此类问题求解的主线，考生要时刻谨记．先根据几何体的三视图确定其结构特征与数量特征，然后确定其外接球的球心，进而确定球的半径，最后代入公式求值即可；也可利用球的性质——球面上任意一点对直径所张的角为直角，然后根据几何体的结构特征构造射影定理求解．
(1)(2016·南昌二模)一个几何体的三视图如图10-11所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球的表面积为(
)
图10-11
8πA.316πB.3
9
48πC.364πD.3
(2)(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π
C.6π 9πB.2 32πD.3
(1)D (2)B (1)法一 由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S - ABC，其中HS是三棱锥的高，由三视图可知HS＝23，HA＝HB＝HC＝2，故H为△ABC外接圆的圆心，该圆的半径为
2.
由几何体的对称性可知三棱锥S-ABC外接球的球心O在直线HS上，连接OB. 设球的半径为R，则球心O到△ABC外接圆的距离为OH＝|SH－OS|＝|23－R|，
43由球的截面性质可得R＝OB＝OH＋HB3－R|2＋22，解得R＝3，
1664π所以所求外接球的表面积为4πR2＝4π×33.故选D.
法二 由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S -ABC，其中HS是三棱锥的高，由侧视图可知HS＝23，由正视图和侧视图可得HA＝HB＝HC＝2.
由几何体的对称性可知三棱锥外接球的球心O在HS上，延长SH
交球面于点P，则SP就是球的直径，
由点A在球面上可得SA⊥AP.
又SH⊥平面ABC，所以SH⊥AH.
在Rt△ASH中，SA＝SH＋AH＝?23?2＋22＝4.
10
设球的半径为R，则SP＝2R，
43在Rt△SPA中，由射影定理可得SA2＝SH×SP，即42＝3×2R，解得R＝3
1664π所以所求外接球的表面积为4πR2＝4π×33.故选D.
(2)由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为
6＋8－103R.因为△ABC的内切圆半径为＝2，所以R≤2.又2R≤3，所以R≤22，所以
4?339Vmax＝3π?2＝
2故选B.] ??
解决球与几何体的切、接问题的关键在于确定球的半径与几何体的度量之间的关系，这就需要灵活利用球的截面性质以及组合体的截面特征来确定．对于旋转体与球的组合体，主要利用它们的轴截面性质建立相关数据之间的关系；而对于多面体，应抓住多面体的结构特征灵活选择过球心的截面，把多面体的相关数据和球的半径在截面图形中体现出来．
变式训练2] (1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为( )
【导学号：85952037】
40πA.3 C.32030π
27 B.4030π27D.20π
(2)(名师押题)一几何体的三视图如图10-12(网格中每个正方形的边长为1)，若这个几何体的顶点都在球
O的表面上，则球O的表面积是________．
图10-12
(1)B (2)20π (1)设△A1B1C1的外心为O1，△ABC的外心为O2，连接O1O2，O2B，OB，如图所示．
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由题意可得外接球的球心O为O1O2的中点．
在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，
所以BC＝7.
由正弦定理可得△ABC外接圆的直径2r＝2O2B＝
21
3.
1而球心O到截面ABC的距离d＝OO2＝21＝1，
设直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半径为R，由球的截面性质可得R2＝d2＋r2
30?21?210?＝，故R＝＝12＋?33 ?3?
所以该三棱柱的外接球的体积为V＝4π34030π＝.故选B. 327BC77＝，所以r＝sin 60°33
(2)由三视图知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其底面
ABCD是长、宽分别为4和2的矩形，高为2，
且侧面SDC与底面ABCD垂直，且顶点S在底面上的射影为该侧面上的底面边的中点．由该几何体的结构特征知球心在过底面中心O且与底面垂直的直线上，同时在过侧面△SDC的外接圆圆心且与侧面SDC垂直的直线上．因为△SDC为直
1角三角形，所以球心就为底面ABCD的中心O，所以外接球的半径为R＝2＝5，
故外接球的表面积为4πR2＝20π.]
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