2017年高考仿真原创押题卷(二) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知R???2是实数集，M＝?x?x1??? ???，N＝{y|y＝??x－1}，则N∩?RM＝()
A．(1,2)
C.?
B ???2∵M＝?x?x＜1???B.0,2] D.1,2]???＝{x|x＜0??或x＞2}，N＝{y|y＝x－1}＝{y|y≥0}，
故有N∩?RM＝{y|y≥0}∩{x|0≤x≤2}＝0，＋∞)∩0,2]＝0,2]，故选 B.]
a＋2i2．已知i＝b－i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝()
A．－1
C.2B.1 D.3
a＋2iD 因为i2－ai＝b－i(a，b∈R)，
所以a＝1，b＝2，a＋b＝3，故选D.]
3．已知a＞1，f(x)＝ax2＋2x，则f(x)＜1成立的一个充分不必要条件是()
【导学号：85952094】
A．0＜x＜1
C.－2＜x＜0B.－1＜x＜0 D.－2＜x＜1
B f(x)＜1成立的充要条件是ax2＋2x＜1.
∵a＞1，∴x2＋2x＜0，∴－2＜x＜0，
∴f(x)＜1成立的一个充分不必要条件是－1＜x＜0，故选B.]
→－OC→)·→＋4．O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若(OB(OB
→－2OA→)＝0，则△ABC是() OC
A．以AB为底边的等腰三角形
B．以BC为底边的等腰三角形
C.以AB为斜边的直角三角形
1
D．以BC为斜边的直角三角形
→－OC→)·→＋OC→－2OA→)＝0，→·→－2OA→) B 设BC的中点为 D，∵(OB(OB∴CB(2OD
→·→＝0， ＝0，∴CB2AD
→⊥AD→，故△ABC的BC边上的中线也是高线.故△ABC是以BC为底边的∴CB
等腰三角形，故选B.]
5．一个四棱锥的三视图如图1所示，其中正视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是(
)
图1
1A.2
3C.2 B.1 D.2
A 由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，上底是
221，下底是2，梯形的高是1＋12， 四棱锥的高是1×22 1?1＋2?×221所以四棱锥的体积是3××22＝2，故选A.]
6．已知函数f(x)＝1，则
y＝f(x)的图象大致为( ) x－ln x－1
1x－1A 令g(x)＝x－ln x－1，则g′(x)＝1－x＝x
2
由g′(x)＞0，得x＞1，即函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
由g′(x)＜0得0＜x＜1，即函数g(x)在(0,1)上单调递减，
所以当x＝1时，函数g(x)有最小值，g(x)min＝g(1)＝0.
于是对任意的x∈(0,1)∪(1，＋∞)，有g(x)≥0，故排除B、D，
因函数g(x)在(0,1)上单调递减，则函数f(x)在(0,1)上递增，故排除C，故选A.]
π??7．已知函数y＝3sin ωx(ω＞0)的周期是π，将函数y＝3cos ?ωx－2?(ω＞0)的图??
π象沿x轴向右平移8个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)＝( )
π??A．3sin ?2x－8? ??
π?C.3sin?2x＋8 ??π??B.3sin?2x－4? ??π?D.3sin ?2x＋4 ??
2πB ∵函数y＝3sin ωx(ω＞0)＝π，∴ω＝2. ω
ππ?ωx－将函数y＝3cos?(ω＞0)的图象沿x轴向右平移2?8个单位， ?
πππ??ππ??x－?2x－2x－得到函数y＝f(x)＝3cos ?2?8?－2＝3cos?＝3sin?的图象， 424??????
故选B.]
8．正项等比数列{an}中，存在两项am，an使得aman＝4a1，且a6＝a5＋2a4，14则m＋n的最小值是( )
【导学号：85952095】
3A.2
7C.3 B.2 25D.6
A 在等比数列中，∵a6＝a5＋2a4，∴a4q2＝a4q＋2a4，
即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)． ∵aman＝4a1a2＋－＝4a1， 1·
即2m＋n－2＝16＝24，
mn∴m＋n－2＝4，即m＋n＝6，∴661，
14?14??mn144mn5∴m＋n＝?m＋n??6＋6＝666n6m62????4mn52932×6n6m6662
3
4mn当且仅当6n＝6m，即n＝2m时取等号，故选A.]
?x－2y≥－2，
9．设x，y满足约束条件?3x－2y≤3，
?x＋y≥1，
最大值为( )
1A.2
4C.5 3B.4 5D.6 若x2＋4y2≥m恒成立，则实数m的
C 设a＝x，b＝2y，则不等式x2＋4y2≥m等价为a2＋b2≥m，
?a－b≥－2，
则约束条件等价为?3a－b≤3，
?2a＋b≥2.
作出不等式组对应的平面区域如图：
设z＝a2＋b2，则z的几何意义是阴影区域内的点到原点的距离，
由图象知，O到直线2a＋b＝2的距离最小，
此时原点到直线的距离d＝|2|224＝，则z＝d＝5 故选C.] 52＋1
x?2－1?x≥0?，10．函数f(x)＝?若方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不等的实数?f?x＋1??x＜0?，
根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0)
C.(－∞，1) B.0,1) D.0，＋∞)
x?2－1?x≥0?， C 函数f(x)＝?的图象如图所示，作出直线l：y＝a－x，向左?f?x＋1??x＜0?
平移直线l观察可得函数y＝f(x)的图象与函数y＝－x＋a的图象有两个交点，
4
即方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，即有a＜1，故选C.]
11．已知函数f(x)(x∈R)是偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当x∈0,2]时，f(x)＝1
1－x，则方程f(x)＝10,10]上的解的个数是( ) 1－|x|
【导学号：85952096】
A．8
C.10 B.9 D.11
B 函数f(x)是R上的偶函数，可得f(－x)＝f(x)．
又f(2－x)＝f(2＋x)，可得f(4－x)＝f(x)，
故可得f(－x)＝f(4－x)，即f(x)＝f(x＋4)，即函数的周期是4.
又x∈0,2]时，f(x)＝1－x，要研究方程f(x)＝1在区间－10,10]上解的个数， 1－|x|
1可将问题转化为y＝f(x)与y＝在区间－10,10]上有几个交点． 1－|x|
如图：
由图知，有9个交点，故选B.]
?ln|x－1|，x≠1，12．已知函数f(x)＝?g(x)＝a(x＋2a)(x－a＋2)，若f(x)与g(x)?0，x＝1，
同时满足条件：①?x∈R，f(x)＞0或g(x)＞0；②?x0∈(－∞，－1]，f(x0)g(x0)＜0，则实数a的取值范围是( )
?1?A．(－∞，－1)∪?2，2? ??
2??2??B．(－∞，－1)∪?0，3?∪?3，2? ????
?1?C.(－∞，0)∪?22? ??
2??2??0，?D．(－∞，0)∪∪?，2? 3????3?
5
B 如图，由f(x)的图象可知，当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f(x)＞0，为满足条件①，可得g(x)＞0在0,2]上恒成立；为满足条件②，由于在(－∞，－1]上总有f(x)＞0，故?x0∈(－∞，－1]，g(x0)＜0；当a＝0时，g(x)＝0，不满足条件；当a≠0时，考虑函数g(x)的零点x＝－2a，x＝a－2；当a＜0时，－2a＞a－2，为满足条
?a－2＜0，件得?解得a＜－1； ?－2a＞2，
当a＞0时，
?a－2＜－1，2(ⅰ)当0＜a＜3－2a＞a－2，为满足条件，得? 解得0＜a＜1，－2a＜0，?
2∴0＜a＜3；
?a－2＜0，21(ⅱ)当a＞32a＜a－2，为满足条件，得?解得2a＜2，∴?－2a＜－1，
23＜a＜2；
224(ⅲ)当a＝3g(x)＝3x＋32≥0，不满足条件．综上所述，得a∈(－∞，－??
2??2??1)∪?0，3?∪?3，2?，故选B.] ????
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
?a1＋a2?2
13．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则bb的12取值范围是________．
4，＋∞)∪(－∞，0] 在等差数列中，a1＋a2＝x＋y.在等比数列中，xy＝b1b2. ?a1＋a2?2?x＋y?2x2＋2xy＋y2xy∴bb＝xy＝＝y＋x＋2. xy12
?a1＋a2?2xy当xy＞0时，y＋x≥2，故bb≥4； 12
6
?a1＋a2?xy当xy＜0时，y＋x≤－2，故bb≤0.] 12
14．观察下列等式：23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19,53＝21＋23＋25＋27＋29，?，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________．
10 由题意可得第n行的左边是m3，右边是m个连续奇数的和．
设第n行的最后一个数为an，
则有a2－a1＝11－5＝6＝2×(1＋2)＝1×2＋4，
a3－a2＝19－11＝8＝2×(2＋2)＝2×2＋4，
a4－a3＝29－19＝10＝2×(3＋2)＝3×2＋4，
?
an－an－1＝2(n－1＋2)＝(n－1)×2＋4，
以上(n－1)个式子相加可得an－a1＝n2＋3n－4，
故an＝n2＋3n＋1，
即n2＋3n＋1＝109，
解得n＝9.
∴m＝n＋1＝9＋1＝10.]
15．已知两条直线l1：y＝m 和l2：y＝8(m＞0)，直线l1与函数y＝|log2x|2m＋12
的图象从左至右相交于点A，B，直线l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于C，
bD.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a 和b.当m变化时，a的最小值为
________．
【导学号：85952097】 82 设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，
则－log2xA＝m，log2xB＝m，－log2xC＝
∴xA＝2－m，xB＝2m，xC＝2－88，log2xD＝ 2m＋12m＋188，xD＝2 2m＋12m＋1
∴a＝|xA－xC|，b＝|xB－xD|，
8
2m＋1b88m∴a＝2·22m＋82m＋12m＋1－m2－2－2m＋12m－2
7
又m＞0，∴m＋81812m＋1)＋222m＋12m＋11178－222 1当且仅当2(2m＋1)＝
b7∴a≥22＝82.] 83，即m＝2 2m＋1
16．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为
________．
22 法一：如图，连接AC，BC，设∠CAB＝θ，连接PC与AB交于点D.∵AC＝BC，△PAB是等边三角形，∴D是AB的中点，∴PC⊥AB，∴在圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2中，圆C的半径为2，|AB|＝22cos θ，|CD|＝2sin θ，在等边△PAB
3?π中，|PD|＝2|AB|＝6cos θ，∴|PC|＝|CD|＋|PD|＝2sin θ＋6cos θ＝22sin?θ＋3??
≤22.
法二：设|AD|＝x，x∈(02]，则|PC|3x2－x，记f(x)＝3x＋2－x，
－2x66??＝22.] 令f′(x)＝3＋＝0，得x＝∈(0，2]，∴f(x)＝fmax2?2?22－x三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
→·→17．(本小题满分12分)如图3，△ABC中，已知点D在BC边上，满足ADAC22＝0.sin ∠BAC＝3AB＝32，BD
＝3.
(1)求AD的长；
(2)求cos C.
图3
→·→＝0，∴AD⊥AC， 解] (1)∵ADAC
?π?∴sin∠BAC＝sin?2＋∠BAD?＝cos∠BAD.2分 ??
8
2222∵sin ∠BAC＝3，∴cos∠BAD＝3.
在△ABD中，由余弦定理可知BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos ∠BAD，4分 即AD2－8AD＋15＝0，
解得AD＝5或AD＝3 .6分
由于AB＞AD，∴AD＝3.
(2)在△ABD中，由正弦定理可知
22又由cos∠BAD＝3
1可知sin∠BAD＝38分
∴sin∠ADB＝ABsin∠BAD6＝BD3.10分 BDABsin∠BADsin∠ADB
π∵∠ADB＝∠DAC＋∠C，∠DAC＝2，
6∴cos C＝3分
18．(本小题满分12分)为了了解中学生的体能状况，某校抽取了n名高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图
(如图)，图中第二小组频数为7.
图--
(1)求频率分布直方图中a的值及抽取的学生人数n；
(2)现从跳绳次数在179.5,199.5]内的学生中随机选取2人，求至少有一人跳绳次数在189.5,199.5]之间的概率．
解] (1)由直方图知，(0.008＋a＋0.04＋0.016＋0.008)×10＝1，所以a＝0.028， 所以抽取的学生人数为n＝7＝25(人).4分 0.028×10
(2)跳绳次数在179.5,199.5]的学生人数有25×(0.016＋0.008)×10＝6(人)．
9
其中跳绳次数在179.5,189.5]的学生人数有25×0.016×10＝4(人)，记为a1，a2，a3，a4.
跳绳次数在189.5,199.5]的学生人数有25×0.008×10＝2(人)，记为b1，b2.8分 从跳绳次数在179.5,199.5]的学生中随机选取2人，基本事件有：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15种，
其中至少有一人跳绳次数在189.5,199.5]之间的基本事件有9种，
9故至少有一人跳绳次数在189.5,199.5]之间的概率为15＝0.6.12分
19．(本小题满分12分)如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AD⊥CD，AB＝2，CD＝4，直线BE与平面ABCD2
所成的角的正切值等于2.
图--
(1)求证：平面BCE⊥平面BDE；
(2)求多面体ABCDEF的体积．
解] (1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
ED⊥AD，ED?平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD，∴BC⊥ED.
∵ED⊥平面ABCD，∴∠EBD为BE与平面ABCD所成的角.2分
设ED＝a，则AD＝a，BD＝4＋a，
ED在Rt△EDB中，tan∠EBD＝BD＝
∴a＝2，4分
在△DBC中，BD＝22，BC＝22，CD＝4，
∴BD2＋BC2＝CD2，∴BC⊥BD.
又BD∩ED＝D，∴BC⊥平面BDE.
又BC?平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE.6分
(2)同理得AB⊥平面ADEF，
10 a2 4＋a2
∴AB为棱锥B-ADEF的高，
18∴VB-＝×2×2×2＝.8分 ADEF33
∵AD⊥CD，AD⊥ED，CD∩ED＝D， ∴AD⊥平面CDE，
∴AD为棱锥B-CDE的高，
118∴VB-＝4×2×2＝CDE32310分
8816∴VABCDEF＝VB-ADEF＋VB-CDE＝分 333
x2y2
20．(本小题满分12分)设椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，上ab→顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2F→1F2＋F2Q＝0.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线x－3y－3＝0相切，求椭圆C的方程；
(3)在(2)的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M，N两点，点P(4,0)，求△PMN面积的最大值．
解] (1)设Q(x0,0)．∵F2(c,0)，A(0，b)， →→∴F2A＝(－c，b)，AQ＝(x0，－b)．
b2→→2∵F2A⊥AQ，∴－cx0－b＝0，故x0＝－c分
b2→→又∵2F1F2＋F2Q＝0，∴F1为F2Q的中点，故－2c＝－cc，即b2＝3c2＝a2
c1－c2，∴e＝a＝2.4分
c1(2)∵e＝a＝2，∴a＝2c，b＝3c，则F2(c,0)，Q(－3c,0)，A(0, 3c)，
1∴△AQF2的外接圆圆心(－c,0)，半径r＝2|F2Q|＝a＝2c，6分
∴|－c－3|2＝2c，解得c＝1，
∴a＝2，b＝3，
x2y2椭圆C的方程为4＋31.8分
x2y2(3)设直线MN：x＝my＋1，代入431，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
11
6m9
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴y1＋y2＝－yy＝－
3m＋4123m＋4433m＋3
|y1－y2|＝?y1＋y2?－4y1y2＝，
3m＋4
3m＋31
∴S△PMN＝2PF2|·|y1－y2|，10分
3m＋4
63λ63639
令3m＋3＝λ≥3，∴S△PMN＝＝1≤＝
12， λ＋1
λ＋λ3＋
39
∴△PMN面积的最大值为2m＝0.12分
a－1
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋x2a＋1(a＞0)． (1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥ln x在1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围； k－12－n－n2
(3)证明：∑k＝ 2lnk＋12n?n＋1?
n
a－1ax2＋1－a
解] (1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝a－x＝(a＞0)，
x当0＜a≤1时，f′(x)＞0恒成立，此时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数； 当a≥1时，令f′(x)＝0，得x1＝－列表如下：
a－1
a，x2a－1
a2分
??－?
??a－1
?，?a0??0，
a－1?
?.4分 a?
a－1
(2)g(x)＝ax＋x－2a＋1－ln x，x∈1，＋∞)，
?1－a?
a?x－1??x－
a?a－11ax－x－?a－1??
则g(1)＝0，g′(x)＝a－xx6分 xx2
1－a1
(i)当0＜a＜2a1，
12
1－a若1＜x＜ag′(x)＜0，g(x)是减函数，
∴g(x)＜g(1)＝0，即f(x)＞ln x.
故f(x)≥ln x在1，＋∞)上不恒成立；
1－a1(ii)当a≥2a1，
若x＞1，则g′(x)＞0，g(x)是增函数，
∴g(x)＞g(1)＝0，即f(x)＞ln x.
故当x≥1时，f(x)≥ln x.
?1?综上所述，所求a的取值范围是?2，＋∞?.8分 ??
11?1?(3)证明：在(2)中，令a＝2ln x≤2?x－x?(x≥1)(当且仅当x＝1??
时等号成立)，
1进而可得当ln x2＜x－x(x＞1)(*)，
k－12－n－n22－n－n22∑k＝ 2ln ln ，10分 k＋1n?n＋1?2n?n＋1?2n?n＋1?n
令x＝n?n＋1?
2＞1(n＞2)，代入不等式(*)得：
n?n＋1?
2n?n＋1?n2＋n－222＝， n?n＋1?2n?n＋1?2n?n＋1?2n?n＋1?n?n＋1?ln2＜
则所证不等式成立.12分
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
?x＝2cos α，在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(α为参数)，M是?y＝2＋2sin α
→＝2OM→，P点的轨迹为曲线C. C1上的动点，P点满足OP2
(1)求C2的参数方程；
π(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ3与C1的异于
极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
【导学号：85952099】
13
?xy?解] (1)设P(x，y)，则由条件知M?2，2?.由于M点在C1上，所以??
x??22cos α，
?y??22＋2sin α， 3分
?x＝4cos α，即?4分 ?y＝4＋4sin α.
从而C2的参数方程为
?x＝4cos α，?(α为参数).5分 ?y＝4＋4sin α
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.7分
ππ射线θ＝3C1的交点A的极径为ρ1＝4sin3，
ππ射线θ＝3C2的交点B的极径为ρ2＝8sin3.8分
所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.10分
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
(2016·贵阳高三联考)已知a，b，c∈R，且a2＋b2＋c2＝1.
(1)求证：|a＋b＋c|≤3；
(2)若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a＋b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求x的取值范围．
解] (1)证明：因为a，b，c∈R.
且a2＋b2＋c2＝1.
所以(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)
222222?a＋bb＋cc＋a?≤a＋b＋c＋2?＋2＋2? ?2?222
＝a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)＝3.3分
所以(a＋b＋c)2≤3，
3即|a＋b＋c|≤3，当且仅当a＝b＝c3时取等号.5分
(2)由(1)可知(a＋b＋c)2≤3，
所以不等式对一切实数a，b，c恒成立，
等价于不等式
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