2017年高考仿真原创押题卷(一) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{x|(x＋2)(x－2)≤0}，N＝{x|x－1＜0}，则M∩N＝()
A．{x|－2≤x＜1}
C.{x|－2＜x≤1}B.{x|－2≤x≤1} D.{x|x＜－2}
A M＝{x|(x＋2)(x－2)≤0}＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，则M∩N＝{x|－2≤x＜1}，故选A.]
2．设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝()
A．3＋3i
C.3＋iB.－1＋3i D.－1＋i
C复数(1－i)(1＋2i)＝1＋2－i＋2i＝3＋i.故选C.]
3．已知函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x2－1，则f(1)的值为()
【导学号：85952090】
A．1
C.2 B.－1 D.－2
B 函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x2－1，则f(1)＝－f(－1)＝－(2×12－1)＝－1.故选B.]
4．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为() A.5
C.3 B.2 D.2
x2y2
D 设M在双曲线ab1的左支上，且MA＝AB＝2a，∠MAB＝120°，
4a23a2
则M的坐标为(－2a，3a)，代入双曲线方程可得，a－b＝1，
c可得a＝b，c＝a＋b2a，即有e＝a＝2.故选D.] 1
5．(2016·黄冈模拟)若a，b∈{－1,0,1,2}，则函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为( )
13A.16
3C.4 7B.8 5D.8
A 法一 显然总的方法总数为16种．
当a＝0时，f(x)＝2x＋b，显然b∈{－1,0,1,2}时，原函数必有零点，所以有4种取法；
当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋2x＋b为二次函数，若f(x)有零点须Δ≥0，即ab≤1，所以a，b取值组成的数对分别为(－1,0)，(1,0)，(2,0)，(－1,1)，(－1，－1)，(1,1)，
9＋413(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)共9种，综上符合条件的概率为1616A.
法二 (排除法)总的方法种数为16种，其中原函数若无零点须有a≠0且Δ<0，即ab>1，所以此时a，b取值组成的数对分别为：(1,2)，(2,1)，(2,2)共3种，所以
313所求有零点的概率为：1－16＝16，故选A.]
6．在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正
1方形的面积是1，小正方形的面积是25sin2 θ－cos2 θ的值等于(
)
图1
A．1
7C.25 7B.－25 24D.－25
B 依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ.
11∵小正方形的面积是25，∴(cos θ－sin θ)2＝ 25.
又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cos θ＞sin θ，
2
1∴cos θ－sin θ＝5.
1又∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝25
2449∴2cos θsin θ＝25，∴1＋2sin θcos θ＝25
497即(cos θ＋sin θ)2＝25，∴cos θ＋sin θ＝5
177∴sin2 θ－cos2 θ＝(cos θ＋sin θ)(sin θ－cos θ)＝－5525 故选B.]
π?7．已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan?α－4等于( ) ??
A．3
1C.3 B.－3 1D.－3
1B ∵a∥b，∴cos α＋2sin α＝0，∴tan α＝－2
πtan α－1?∴tan?α－4＝3，故选B.] ??1＋tan α
8．下面命题中假命题是( )
A．?x∈R,3x＞0
B．?α，β∈R，使sin (α＋β)＝sin α＋sin β
C.?m∈R，使f(x)＝mxm2＋2是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增
D．命题“?x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“?x∈R，x2＋1＞3x”
D 对于A，根据指数函数的性质可知，?x∈R,3x＞0，∴A正确． 对于B，当α＝β＝0时，满足sin (α＋β)＝sin α＋sin β＝0，∴B正确．
对于C，当m＝1时，幂函数为f(x)＝x3，且在(0，＋∞)上单调递增，∴C正确． 对于D，命题“?x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“?x∈R，x2＋1≤3x”，∴D错误．故选D.]
9．执行如图2所示的程序框图，则输出的S＝( )
3
图2
A．1 023
C.511 B.512 D.255
C 模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是：S＝20＋21＋22＋
91－223＋?＋28＝＝29－1＝511.故选C.] 1－2
10.如图3，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(
)
图3
A．y2＝9x
B．y2＝6x
C.y2＝3x
D．y2＝3x
C 如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|.∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，
∴∠BCB1＝30°，
4
∴∠A1AF＝60°.
连接A1F，则△A1AF为等边三角形，
过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，
113设l交x轴于N，则|NF|＝|A1F1|＝2|AA1|＝2|AF|，即p＝2，
∴抛物线方程为y2＝3x.故选C.]
11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图4所示，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
【导学号：85952091】
图4
A．29π
29πC.2 B.30π D.216π
A 由三视图复原几何体，几何体是底面为直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球
29的直径d＝4＋2＋329，球的半径R＝2?29?2?＝29π，故选A.] 该三棱锥的外接球的表面积S＝4×π×??2?
???－x?，x≤0，12．(2015·南昌二模)已知函数f(x)＝
?函数g(x)是周期为2的偶??log5x，x＞0，
函数，且当x∈0,1]时，g(x)＝2x－1，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数是( )
A．5
C.7 B.6 D.8
?－x，x≤0，C 由题意作函数f(x)＝?及函数g(x)的图象如下， ?log5x，x＞0
5
结合图象可知，
函数f(x)与g(x)的图象共有6个交点，
故函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数为6，
故选C.]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2016·唐山期末)若(x2＋ax＋1)6(a＞0)的展开式中x2的系数是66，则?asin ?0xdx的值为________．
221－cos 2 由题意可得(x2＋ax＋1)6的展开式中x2的系数为C16＋C6a.
22故C16＋C6a＝66，所以a＝2或a＝－2(舍去)．
2故?asin xdx＝?2sin xdx＝(－cos x)|0＝1－cos 2.] ?0?0
14．已知p：－2≤x≤11，q：1－3m≤x≤3＋m(m＞0)，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
8，＋∞) 因为綈p是綈q的必要不充分条件，
所以q是p的必要不充分条件，即p?q，但qD?/p，
?1－3m≤－2，?m≥1，即?即?所以m≥8.] ?3＋m≥11，?m≥8，
15．如图5，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，E，F分别为AD，CD的
→·→＝
________. 中点，则BEBF
图5
6
13→→?→1→??→1→?→→1→→1→→1→→?BC＋2CD?＝BA· BE·BF＝?BA＋2AD?·BC＋2·CD＋2·BC＋4·CD8????
1113113＝1×1×cos 60°＋21×1＋2×1×1＋4×1×1×cos 60°＝28816．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2ccos B＝2a＋b，△
3ABC的面积为S＝12c，则ab的最小值为________.
【导学号：85952092】
1 在△ABC中，由条件及正弦定理可得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin (B3
＋C)＋sin B，
即 2sin Ccos B＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B＋sin B，
12π∴2sin Bcos C＋sin B＝0，∴cos C＝－2，C＝3133由于△ABC的面积为S＝2ab·sin C＝4＝12，
∴c＝3ab.
再由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·cos C，整理可得9a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，当且仅当a＝b时，取等号，
1∴ab≥3.]
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝ln an，n＝1,2，?，求数列{bn}的前n项和Tn.
解] (1)设{an}是公比为q大于1的等比数列，
∵a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列，
∴6a2＝a3＋4＋a1＋3，化为6a1q＝a1q2＋7＋a1.4分
又S3＝a1(1＋q＋q2)＝7.
联立解得a1＝1，q＝2.
∴an＝2n－1.6分
(2)bn＝ln an＝(n－1)ln 2，
n?n－1?∴数列{bn}的前n项和Tn＝2ln 2.12分
7
18．(本小题满分12分)性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：(单位：名)
(1)从这606的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？
(2)根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．(精确到0.001)
(3)
从(1)中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．
附：
K2＝.
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
61
解] (1)抽样比为60＝10，
1
则样本中喜爱的观众有40×104名；不喜爱的观众有6－4＝2名.4分 (2)假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，
2
140×?60×20－40×20?224K2＝＝192≈1.167＜5.024.
80×60×100×40
所以不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关.8分
(3)记喜爱乐嘉的4名男性观众为a，b，c，d，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1,2，则基本事件分别为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a,1)，(a,2)，(b，c)，(b，d)，(b,1)，(b,2)，(c，d)，(c,1)，(c,2)，(d,1)，(d,2)，(1,2)．
其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个， 6
故其概率为P(A)＝150.4.12分
8
19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥BC1，
(2)求证：AC1∥平面CDB1；
(3)求三棱锥D-AA1C1的体积．
图--
解] (1)证明：∵AC＝3，AB＝5，BC＝4，∴AC⊥BC. ∵BB1⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥CC1，又BC∩CC1＝C，BC?平面BCC1B1，CC1?平面BCC1B1， ∴AC⊥平面BCC1B1.∵BC1?平面BCC1B1，
∴AC⊥BC1. 4分
(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE.
∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴E是BC1的中点． ∵D是AB的中点，
∴DE∥AC1.又∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1.8分
111(3)VB-AA1C1＝VB-ACC1＝VC1-ABC＝3S△ABC·CC1＝3×2×3×4×4＝8.
∵D是AB的中点，
1∴VD-AA1C1＝2VB-AA1C1＝4.12分
x2y2
20．(本小题满分12分)已知椭圆a＋b＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，343离心率为3，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，|MF1|＝3.
9
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线y＝kx＋2交椭圆于A，B两点，求△ABO(O为坐标原点)面积的最大值.
【导学号：85952093】
c21解] (1)由已知得a＝3，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2，
x2y2
得椭圆方程为3c＋2c＝1，因为点M在第一象限且MF2⊥x轴，
?3??，由|MF1|＝可得M的坐标为?c，3c??
x2y2
所以椭圆的方程为3＋2＝1.4分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将y＝kx＋2代入椭圆，可得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，
由Δ＞0，即144k2－24(3k2＋2)＞0，
可得3k2－2＞0，
12k6则有x1＋x2＝－xx＝ 2＋3k122＋3k218k－12所以|x1－x2|＝分 3k＋2
因为直线y＝kx＋2与y轴交点的坐标为(0,2)，
218k－1226×?3k－2?1所以△OAB的面积S＝2×2×|x1－x2|＝.① 3k＋23k＋2
令3k2－2＝t，由①知t∈(0，＋∞)，
可得S＝26t2t＋46t＝2t＋8t＋166.12分 2
m＋nln x(m，n为常数)在x＝1处的切线为x＋166162 t＋t84434c2＋3c2＝3，解得c＝1， 所以t＝4时，面积最大为21．(本小题满分12分)已知f(x)＝
x＋y－2＝0.
(1)求y＝f(x)的单调区间；
?1??1?(2)若任意实数x∈?e1?，使得对任意的t∈?2，2?上恒有f(x)≥t3－t2－2at＋2????
成立，求实数a的取值范围．
10
m解] (1)f(x)＝＋nln x的定义域为(0，＋∞)， x＋1
∴f′(x)＝－mnm＋， ∴f′(1)＝－＋n＝－1， 4?x＋1?x
m把x＝1代入x＋y－2＝0可得y＝1，∴f(1)＝21，
12121∴m＝2，n＝－2， ∴f(x)＝－2ln x，f′(x)＝－x＋1?x＋1?2x
∵x＞0，∴f′(x)＜0，∴f(x)的递减区间是(0，＋∞)，无递增区间.4分
?1?(2)由(1)可知，f(x)在?e，1?上单调递减， ??
?1?∴f(x)在?e，1?上的最小值为f(1)＝1， ??
1?1?∴只需t3－t2－2at＋2≤1，即2a≥t2－t＋t对任意的t∈?22?恒成立.6分 ??
32112t－t－1令g(t)＝t－t＋tg′(t)＝2t－1－t＝. t2
?1?∵t∈?2，2?，∴2t3－t2－1＝(t－1)(2t2＋t＋1)， ??
?1?∴在t∈?21?上g(t)单调递减，在1,2]上g(t)单调递增.10分 ??
55?17?1?又g?2＝4g(2)＝2g(t)在?22?上的最大值是2 ????
55?5?∴只需2a≥2a≥4，∴实数a的取值范围是?4，＋∞?.12分 ??
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，
2?x＝－22t，?已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ，直线l的参数方程为?2?y＝－4＋?2(t为参数)，两曲线相交于M，N两点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若P(－2，－4)，求|PM|＋|PN|的值．
解] (1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，求得曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，2分
11
用代入法消去参数求得直线l的普通方程为x－y－2＝0.5分
2?x＝－2＋?2t，
(2)直线l的参数方程为?2?y＝－4＋?2t (t为参数)，
代入y2＝4x，得到t2－122t＋48＝0，6分
设M，N对应的参数分别为t1，t2，8分
则 t1＋t2＝122，t1·t2＝48，
∴|PM|＋|PN|＝|t1＋t2|＝2.10分
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a＞1)，且f(x)的最小值为3.
(1)求a的值；
(2)若f(x)≤5，求满足条件的x的集合．
解] (1)函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|表示数轴上的x对应点到4，a对应点的距离之和，它的最小值为|a－4|＝3，4分
再结合a＞1，可得a＝7.5分
?－2x＋11，x＜4，
(2)f(x)＝|x－4|＋|x－7|＝?3，4≤x≤7，
?2x－11，x＞7.
故由f(x)≤5可得
?x＜4，?① ?－2x＋11≤5，
?4≤x≤7，?x＞7，或?② 或?③8分 3≤5，2x－11≤5.?? 6分
解①求得3≤x＜4，解②求得4≤x≤7，解③求得7＜x≤8，
综上，不等式的解集为3,8].10分
12
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