专题三 概率与统计
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高考点拨] 本专题涉及面广，往往以生活中的热点问题为依托，在高考中的考查方式十分灵活，考查内容强化“用数据说话，用事实说话”，背景容易创新．基于上述分析，本专题按照“用样本估计总体”“古典概型与几何概型”“独立性检验与回归分析”三个方面分类进行引导，强化突破．
突破点6 古典概型与几何概型
提炼1 古典概型问题的求解技巧 (1)直接列举：涉及一些常见的古典概型问题时，往往把事件发生的所有结果逐一列举出来，然后进行求解．
(2)图，列举过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏．
(3)逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率．
1
(4)活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维，可以快速解决．
提炼2 几何度量法求解几何概型 准确确定度量方式和度量公式是求解几何
提炼3 求概率的两种常用方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．
(2)式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．
回访1 古典概型
1．(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
1A.3
2C.3 1B.2 5D.6
C 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：
4红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝6
2＝3，故选C.]
2.(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
3A.10
1C.10 1B.5 1D.20
2
C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有
1(3,4,5)，所以概率为10.故选C.]
3．(2013·全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
1A.2
1C.4 1B.3 1D.6
B 从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种情形，所以取出的2个数之
41差的绝对值为2的概率为12＝3.]
4．(2014·全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
2 两本不同的数学书用a1，a2表示，语文书用b表示，则Ω＝{(a1，a2，b)，3
(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a2)，(b，a2，a1)}．于是两本数学
42书相邻的情况有4种，故所求概率为6＝3.]
回访2 几何概型
5．(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
7A.10
3C.8 5B.8 3D.10
3
B 如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等
40－155待15秒才出现绿灯的概率为40＝8，故选
B.]
热点题型1 古典概型
题型分析：古典概型是高考考查概率的核心，问题背景大多是取球、选人、组数等，求解的关键是准确列举基本事件，难度较小．
(1)一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，先从袋
中任意取出一个球，取出后不放回，然后从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )
3A.5
1C.2 3B.10 6D.25
(2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数的概率是( )
【导学号：85952027】
9A.16
4C.16 7B.16 3D.16
(1)B (2)A (1)设3个白球分别为a1，a2，a3,2个黑球分别为b1，b2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20种．
其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，
63b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为20＝10.故选B.
(2)记事件A为“函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数”．
4
因为f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.
因为函数f(x)在R上为增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立．
b2又a>0，所以Δ＝(2b)－4×3a＝4b－12a≤0在R上恒成立，即a≥322
1所以当b＝1时，有a≥3a可取1,2,3,4，共4个数；
4当b＝2时，有a≥3a可取2,3,4，共3个数；
当b＝3时，有a≥3，故a可取3,4，共2个数；
16当b＝4时，有a≥3a无可取值．
综上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(种)．
又a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有4×4＝16(种)．
故所求事件A的概率为P(A)＝
利用古典概型求事件概率的关键及注意点
1．关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包括的基本事件数．
2．注意点：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．
(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．
变式训练1] (2016·广州二模)从数字1,2,3,4,5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是( )
1A.5
3C.5 2B.5 4D.5 9故选
A.] 16
C 从数字1,2,3,4,5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位数，共有20种
12不同结果．其中这个两位数大于30的共有12种不同结果，故所求事件的概率P20
3＝5.]
热点题型2 几何概型
题型分析：高考试题中几何概型主要考查线段型和面积型．求解几何概型的关键是计算线段的长度、平面图形的面积等，难度较小．
5
11? (1)在区间0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log2x＋2?≤1”??
发生的概率为( )
3A.4
1C.3 2B.3 1D.4
(2)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)
(1)A (2)1?1?1139 (1)由－1≤log?x＋2?≤1，得x＋2，解得0≤x≤，所以事2?22232?
3231?1?件“－1≤log2?x＋2?≤1”发生的概率为2＝4，故选
A. ??
(2)设小张和小王到校的时间分别为x和y，
?30≤x≤50，
则?30≤y≤50，
?y－x≥5，
则满足条件的区域如图中阴影部分所示． 1215×159故所求概率P＝32
20×20
判断几何概型中的几何度量形式的方法
1．当题干涉及两个变量问题时，一般与面积有关．
2．当题干涉及一个变量问题时，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)．
提醒：数形结合是解决几何概型问题的常用方法，求解时，画图务必准确、直观．
6
π变式训练2] 如图6-1，圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝3AOB内
随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为(
)
图6-1
A．100
C.400 B.200 D.450
πC 如图，设OA与圆C相切于点D，连接OC，CD，∠AOB＝3COD
π＝6，
设圆C的半径为1，可得OC＝2，所以扇形的半径为3，
由几何概型可得点在圆C内的概率为P＝S圆C
S扇形AOB＝1π×122＝3，故向扇形AOB
2×π×36
2内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计为3×600＝400个．]
热点题型3 互斥事件与对立事件的概率
题型分析：互斥事件与对立事件的概率常与古典概型等交汇命题，主要考查学生的分析转化能力，难度中等．
(2016·南昌一模)现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的．
(1)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率；
(2)求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率．
解] 甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下：
7
共有16种情形，即有16个基本事件.6分
(1)文学社或街舞社没有人参加的基本事件有2个， 147
故所求概率为16＝8.9分
(2)甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个，故所求41
概率为16＝4.12分
1．直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
2．间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求解，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法会较简便．
提醒：应用互斥事件概率的加法公式的前提是确定各个事件是否彼此互斥．
8
变式训练3] (名师押题)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
解] 记事件A为“该车主购买甲种保险”，事件B为“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”，事件C为“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”，事件D为“该车主甲、乙两种保险都不购买”.4分
(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，6分
又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3
＝0.8.8分
(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.12分
9
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