突破点7 用样本估计总体
提炼1 频率分布直方图 (1)频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率频率，频率＝组距×. 组距组距
(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为(3)利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数，在频率分布直方图中： ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形
提炼2 茎叶图的优点 (1)所有的信息都可以从茎叶图中得到．
(2)可以帮助分析样本数据的大致频率分布情况．
提炼3 样本的数字特征 (1)众数、中位数．
1(2)样本平均数x＝n(x1＋x2＋?＋xn)．
1(3)样本方差s2＝nx1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]．
(4)样本标准差
s＝222[?x1－x?＋?x2－x?＋?＋?xn－x?]. n
回访 用样本估计总体
1．(2016·全国乙卷)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同
1
时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
图
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
解] (1)当x≤19时，y＝3 800；
当x>19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
所以y与x的函数解析式为
?3 800，x≤19，y＝?(x∈N).4分 500x－5 700，x＞19?
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.6分
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这
1100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为100×70＋4 300×20＋4
800×10)＝4 000.8分
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损
1零件上所需费用的平均数为100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050. 10分
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.12分
2．(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
2
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
解] (1)
4分
－
(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.6分
质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.8分
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.10分
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.12分
3
3．(2013·全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2
3．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1
2．3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3
1．4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2
2．7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
图
解] (1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.
由观测结果可得 1x＝20(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋
2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，2分 1y＝20(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋
1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.4分
由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好.6分
(2)由观测结果可绘制茎叶图如图：
9分
4
7从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有10“2.”，“3.”上，
7而B药疗效的试验结果有10的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A药的疗效更
好.12分
热点题型1 频率分布直方图
题型分析：频率分布直方图多以生活中的实际问题为背景，考查学生运用已知数据分析问题的能力，难度中等．
(2016·合肥三模)某高中为了解全校学生每周参与体育运动的情况，随机从全校学生中抽取100名学生，统计他们每周参与体育运动的时间如下：
(2)①估计该校学生每周参与体育运动的时间的中位数及平均数；
②若该校有学生3 000人，根据以上抽样调查数据，估计该校学生每周参与体育运动的时间不低于8小时的人数．
解] (1)频率分布直方图如图所示：
26(2)①由数据估计中位数为4＋404＝6.6，8分
估计平均数为2×0.24＋6×0.4＋10×0.28＋14×0.06＋18×0.02＝6.88.10分 ②将频率看作概率知P(t≥8)＝0.36，
∴3 000×0.36＝1 080.12分
解决该类问题的关键是正确理解已知数据的含义．掌握图表中各个量的意义，通过图表对已知数据进行分析．
5
提醒：(1)小长方形的面积表示频率，其纵轴是频率，而不是频率． 组距
(2)各组数据频率之比等于对应小长方形的高度之比．
变式训练1] 某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查．这1 000名购物者2015年网上购物金额(单位：万元)均在区间0.3,0.9]内，样本分组为：0.3,0.4)，0.4，0.5)，0.5,0.6)，0.6,0.7)，0.7,0.8)，0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：
图7-3
电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：
(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．
解] (1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：
这50×400＋100×300＋150×280＋200×20＝96.4分 1 000
(2)由获得优惠券金额y与 购物金额x的对应关系，有
P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝(2＋0.8)×0.1＝0.28，
P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.2×0.1＝0.02，10分
从而，获得优惠券不少于150元的概率为
P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.12分
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热点题型2 茎叶图
题型分析：结合样本数据和茎叶图对总体作出估计是高考命题的热点，应引起足够的重视，难度中等．
(2016·福州模拟)长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某
校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图7-4所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．
图7-4
(1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计哪个班的学生平均上网时间较长；
(2)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机提取一个不超过21的数据记为b，求a>b的概率．
1解] (1)A班样本数据的平均值为5＋11＋14＋20＋31)＝17.3分
由此估计A班学生每周平均上网时间17小时；
1B班样本数据的平均值为5＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估计B班学生每周
平均上网时间较长.6分
(2)A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，分别为9,11,14，B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个，分别为11,12,21，从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有：9种不同情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,21)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，
其中a>b的情况有(14,11)，(14,12)两种，
2故a>b的概率P＝9.12分
作茎叶图时先要弄清“茎”和“叶”分别代表什么，根据茎叶图，可以得到数据的众数、中位数，也可从图中直接估计出两组数据的平均数大小与稳定性．
变式训练2] (名师押题)某车间20名工人年龄数据如下表：
7
(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
(3)求这20名工人年龄的方差．
解] (1)由题表中的数据易知，这20名工人年龄的众数是30，极差为40－19＝21.2分
(2)这20名工人年龄的茎叶图如下：
6分
1(3)这20名工人年龄的平均数x＝20(19×1＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋
32×3＋40×1)＝30，8分
1故方差s2＝201×(19－30)2＋3×(28－30)2＋3×(29－30)2＋5×(30－30)2＋
14×(31－30)2＋3×(32－30)2＋1×(40－30)2]＝20×(121＋12＋3＋0＋4＋12＋100)
＝12.6.12分
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