突破点10 空间中的平行与垂直关系
提炼1 异面直线的性质 (1)异面直线不具有传递性．注意不能把异面直线误解为分别在两个不同平面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线．
π??0，(2)异面直线所成角的范围是?，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直2???
或相交垂直．
(3)用平移法；②求——转化为在三角形中求解；③结论——由②所求得的角或其补角即为所求．
提炼2 平面与平面平行的常用性质 (1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(2)
(3)
(4)提炼3 证明线面位置关系的方法 (1)证明线线平行的方法：①三角形的中位线等平面几何中的性质；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理．
(2)面面平行，利用面面平行的性质．
(3)证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理．
(4)证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；
回访1 异面直线的性质
1
1．(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( ) 3A.2 3C.3 2B.2 1D.3
A 设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.
∵平面α∥平面CB1D1，∴m1
∥m.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，
同理可证CD1∥n.
因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，
3故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为2.]
2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
D 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．]
回访2 面面平行的性质与线面位置关系的判断
3．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( )
2
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C.α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
D 根据所给的已知条件作图，如图所示．
由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.]
4．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m?α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
②③④ 对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．
对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．
对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m?α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．
对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．
]
热点题型1 空间位置关系的判断与证明
题型分析：空间中平行与垂直关系的判断与证明是高考常规的命题形式，此类题目综合体现了相关判定定理和性质定理的考查，同时也考查了学生的空间想象能力及转化与化归的思想．
3
(1)(2016·兰州三模)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β
＝EF，AB⊥α于点B，CD⊥α于点D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：
①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.
其中能成为增加条件的序号是________．
【导学号：85952040】
①③ 若AC⊥β，且EF?β，则AC⊥EF，又AB⊥α，且EF?α，则AB⊥EF，AB和AC是平面ACDB上的两条相交直线，则EF⊥平面ACDB，则EF⊥BD，①可以成为增加的条件；AC与α，β所成的角相等，AC和EF不一定垂直，可以相交、平行，所以EF与平面ACDB不一定垂直，所以推不出EF与BD垂直，②不能成为增加的条件；由CD⊥α，EF?α，得EF⊥CD，所以EF与CD在β内的射影垂直，又AC与CD在β内的射影在同一直线上，所以EF⊥AC，CD和AC是平面ACDB上的两条相交直线，则EF⊥平面ACDB，则EF⊥BD，③可以成为增加的条件；若AC∥EF，则AC∥α，则BD∥AC，所以BD∥EF，④不能成为增加的条件，故能成为增加条件的序号是①③.]
(2)(2016·全国乙卷)如图11-1，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G
.
图11-1
①证明：G是AB的中点；
②在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．
解题指导] (2)①正投影D，E→AB⊥PD，AB⊥DE→AB⊥平面PED→AB⊥PG ②PA⊥PB
PB⊥PC→过点E作EF∥PB
21交PA于点F→证明EF⊥平面PAC→点D在CG上→PE＝3，DE＝3PC→DE
＝2，PE＝22→EF＝PF＝2→求四面体的体积
4
解] ①证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，
所以AB⊥PD.
因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.1分
因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.2分
又由已知可得，PA＝PB，所以G是AB的中点.3分
②在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.4分
理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥P
C.又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影． 连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中
2心．由①知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝3CG.8分
2由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝3PG，
1DE＝PC.10分 3
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2. 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，11分
114所以四面体PDEF的体积V＝322×2×2＝3分
在解答空间中线线、线面和面面的位置关系问题时，我们可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例和构建几何模型．判断两直线是异面直线是难点，我们可以依据定义来判定，也可以依据定理(过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线)判定．而反证法是证明两直线异面的有效方法．
提醒：判断直线和平面的位置关系中往往易忽视直线在平面内，而面面位置关系中易忽视两个平面平行．此类问题可以结合长方体中的线面关系找出假命题中的反例．
变式训练1] (1)(2016·石家庄二模)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
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①若m?α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中真命题的个数为( )
A．0
C.2 B.1 D.3
B 若m?α，n∥α，则m，n可能平行或异面，①错误；若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ，②正确；若α∩β＝n，m∥n，则m∥α或m∥β或m?α或m?β，③错误；若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行或相交，④错误，则真命题个数为1，故选B.]
(2)(2016·全国丙卷)如图11-2，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
图11-2
①证明MN∥平面PAB；
②求四面体N-BCM的体积．
解] ①证明：由已知得
2AM＝3AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，
1TN＝2BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，2分
所以四边形AMNT为平行四边形，
于是MN∥AT.
因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，
所以MN∥平面PAB.4分
②因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，
6
1所以N到平面ABCD的距离为2PA.
如图，取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝AB－BE5.6分
由AM∥BC得M到BC的距离为5，
1故S△BCM＝2×45＝5.8分
1PA5所以四面体N-BCM的体积VN-＝×S×△BCMBCM32＝3.12分
热点题型2 平面图形的翻折问题
题型分析：(1)解决翻折问题的关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况．
(2)找出其中变化的量和没有变化的量，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．
(2016·全国甲卷)如图11-3，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF
折到△D′EF的位置．
图11-3
(1)证明：AC⊥HD′；
5(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝4OD′＝22，求五棱锥D′-ABCFE的体积．
解] (1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.1分
AECF又由AE＝CF得AD＝CD，故AC∥EF.2分
由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.3分
OHAE1(2)由EF∥AC得DOAD＝4.4分
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB－AO＝4.
所以OH＝1，D′H＝DH＝3.5分
于是OD′2＋OH2＝(22)2＋12＝9＝D′H2，
7
故OD′⊥OH.6分
由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，
所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.8分
又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.
EFDH9又由AC＝DO得EF＝2分
11969五边形ABCFE的面积S＝26×8－223＝4分
16923
2所以五棱锥D′-ABCFE的体积V＝3422＝2分
翻折问题的注意事项
1．画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图．
2．把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础．
3．准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础．
变式训练2] (2016·海淀二模)已知长方形ABCD中，AD＝2，AB＝2，E为AB的中点．将△ADE沿DE折起到△PDE，得到四棱锥P-
BCDE，如图11-4所示．
图11-4
(1)若点M为PC的中点，求证：BM∥平面PDE；
(2)当平面PDE⊥平面BCDE时，求四棱锥P-BCDE的体积；
(3)求证：DE⊥PC.
解] (1)证明：取DP中点F，连接EF，FM.
因为在△PDC中，点F，M分别是所在边的中点，
1所以FM綊2DC.1分
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1又EB綊2DC，所以FM綊EB，2分
所以四边形FEBM是平行四边形，所以BM∥EF.3分 又EF?平面PDE，BM?平面PDE.
所以BM∥平面PDE.4分
(2)因为平面PDE⊥平面BCDE，
在△PDE中，作PO⊥DE于点O，
因为平面PDE∩平面BCDE＝DE，所以PO⊥平面BCDE.6分
6在△PDE中，计算可得PO＝3，7分
11163所以V四棱锥P-＝BCDE＝Sh＝×(1＋2)×2×33233.8分
(3)证明：在矩形ABCD中，连接AC交DE于点
I，
因为tan∠DEA＝2，
2tan∠CAB＝2，
π所以∠DEA＋∠CAB＝2，所以DE⊥AC，9分
所以在四棱锥P-BCDE中，PI⊥DE，CI⊥DE，10分 又PI∩CI＝I，所以DE⊥平面PIC.11分
因为PC?平面PIC，所以DE⊥PC.12分
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