厦门市2007—2008学年高三数学（理科）练习（七）
A组题（共100分）
一．选择题：本大题共6题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． (1?x)2n（n?N?）的展开式中，系数最大的项是（ ）
(A)第n?1项2(B) 第n项 （C）第n?1项 （D）第n项与第n?1项
2．从甲袋中摸出一个红球的概率是
各摸出1个球,则11,从乙袋内摸出1个红球的概率是,从两袋内 322等于 ( ) 3
(A) 2个球都不是红球的概率； (B) 2个球都是红球的概率
(C) 至少有1个红球的概率；(D) 2个球中恰好有1个红球的概率
3．甲、乙二人参加法律知识竞赛,共有12个不同的题目,其中选择题8个,判断题4个.甲、乙二人各依次抽一题,则甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是( ) 621825 (B) (C) (D) 25253333
4．某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（）(A)
(A)81125
n(B)54 125(C)36125(D)27 125??15
．如果?3x?的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（） 3x?
（A）7 （B）?7（C）21（D）?21
6．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为
( )
22（A）A6C4（B）122222A6C4（C）A6 A4（D）2A62
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
7．一工厂生产了某种产品24 000件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查. 已知从甲、乙、丙3条生产线依次抽取的个体数恰好组成一个等差数列，则这批产品中乙生产线生产的产品数量是
8．已知(1?x)?(1?x)2???(1?x)n?a0?a1x???anxn，
若a1?a2???an?1?509?n，则n的值=
种。
10．已知A箱内有1个红球和5个白球，B箱内有3个白球，现随意从A箱中取出3个球放入B箱，充分搅匀后再从中随意取出
3个球放人A箱，则红球由A箱移入到B箱，再返回到A箱的概率等于___________
三．解答题：本大题共4小题，共50分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11．已知(x?9．某车队有7辆车，派出4辆按一定顺序执行任务，要求甲乙两车必须参加，且甲在乙前出发，那么不同的调度方法有1
2?x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.
（1）证明展开式中没有常数项；
（2）求展开式中所有有理项.
12．两名大学毕业生去某单位应聘，该单位要从参加应聘的人中录用5人， 且两人同时被录用的概率为1． 19
（1）求参加应聘的人数；
（2）求两人中至少有一人被录用的概率．
2n13．设an=1+q+q2+?+qn?1（n∈N*，q≠±1），An=C1
na1+Cna2+?+Cnan.
（1）用q和n表示An；
. 2n
14．有6件产品，其中含有3种次品，现逐个抽取检查（不放回），求： （2）（理）当－3<q<1时，求limn??An
（1）前4次恰好查出2件次品的概率；（2）设查出全部次品时检查产品的个数为?，求?的分布列、数学期望.
B组题（共100分）
四．选择题：本大题共6题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
15．设f(n)?(
(A)2
n1?in1?in)?()(其中i为虚数单位,n?N*),则集合{x|x?f(n)}中元素个数是 1?i1?i(B)4 (C)3 (D)无穷多个 （ ） 2??16．如果?3x2?3?的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ ） x??
(Ａ)3 (Ｂ)5 (Ｃ)6 (Ｄ)10
17．将4个不相同的球放入编号为1、2、3的3个盒子中，当某盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个“和谐盒”，则恰好有2个“和谐盒”的概率为（ ）
（A）241216（B）（C）（D） 81818181
18．4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有
（ ）
(Ａ)2880 (Ｂ)3080 (Ｃ)3200 (Ｄ)3600
19．一个电路图如图1所示,A、B、C为3个开关,其闭合的概率都是
( )
(A)
1,且是互相独立的,则亮灯的概率为 23511(B) (C) (D) 88816
20．现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A、B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不
同的分配方案共有 ( )
(A)12种 (B)15种(C)20种 (D)30种
五．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
21．已知集合A?{a1,a2,a3,a4},B?{b1,b2,b3}，从集合A到B的映射满足：B中的每一个元素都有原象，则满足条件的不同映射种数为
22．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰好有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数共有__________个.
23．把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有
种。
24．正方体ABCD?A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个
点中,任取两点连成直线,在这些直线中任取一条，它与对角线 ABD1垂直的概率为
六．解答题：本大题共4小题，共50分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
25．(本题满分12分)
某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，
用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
(Ⅰ)求ξ的分布列及数学期望；
(Ⅱ)记“f(x)=2ξ·x+4在[-3，-1]上存在x0,使f(x0)=0”为事件A，求事件A的概率
26．平面直角坐标系中有两个动点A、B，它们的起始坐标分别是(0,0)，(2,2)，动点A、B从同一时刻开始每隔1秒钟向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动1个单位，已知动点A向左、右移动的概率都是
B向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动1个单位的概率都是q．
（Ⅰ）求p和q的值；
（Ⅱ）试判断最少需要几秒钟，动点A、B能同时到达点D（1，2），并求在最短时间内同时到达点D的概率 ．
27．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是2.，每次命中与否互相独立. 311，向上、下移动的概率分别是和p，动点43
(Ⅰ)求油罐被引爆的概率.
(Ⅱ)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
28．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否34
击中目标，相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少? ．．．
C组题（共50分）
七．选择题：本大题共2题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
29．如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞的伞蓬是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞至多有 （ ）
(A) 40320种 (B) 5040种 (C) 20160种 (D) 2520种
30．一栋7层的楼房备有电梯,在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数为 （ ）
(A) 65 (B) 60 （C） 48 (D) 36
八．填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分。
31．有A、B、C、D、E、F6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个，若卡车甲不能运A箱，卡车乙
不能运B箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为
32．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即刻离去，那么两人会面的概率
为
九．解答题：本大题共2小题，共30分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
n2x?133．（1）已知函数f(x)?x，证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f(n)? n?12?1
（2）当n?2，n?N时，证明：2?(1?1n)?3 n
34．设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生的概率为P′，则由A产生B的概率为P·P′，根据这一规律解答
下题：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3，?，100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站（即P，由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则0?1）
向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束。已知硬币出现正反面的概率都为
⑴ 求P1,P2,P3， 1。 2
⑵ 设an?Pn?Pn?1(1?n?100)，求证：数列?an?是等比数列，并求出?an?的通项公式； ⑶ 求玩该游戏获胜的概率。
厦门市2007—2008学年高三数学（理科）练习（七）参考答案
1~6 CCCACB
7．8000 8．8 9．120 10．1 4
111．解：依题意，前三项系数的绝对值是1， Cn(),Cn(), 且2Cn?122122112?1?C2(),即n2?9n?8?0 n22
?n?8(n?1舍去),1
r?Tr?1?C8(x)8?r(?
?1rr2?(?)C8?x?x4
2
16?3rrC?(?1)r?r8?x428?rr12x)r
（1）若Tr?1为常数项，当且仅当
所以展开式中没有常数项；
（2）若Tr?1为有理项，当且仅当16?3r?0,即3r?16,?r?Z,?不可能 416?3r为整数， 4
?0?r?8,r?Z
?r?0,4,8.
即展开式中的有理项有三项，它们是：
T1?x4,T5?
351?2x,T9?x. 8256
3CX1?212．【解析】（1）设参加应聘的人数为x，则，解得x＝20． ?519CX
5C1817（2）设两人中至少有一人被录用的概率为P，则＝1－＝． P11538C20
13．解：（1）因为q≠1，所以an=1+q+q+?+q2n?11?qn
=. 1?q
1?q1?q21?qnn12于是An= Cn+ Cn+?+Cn 1?q1?q1?q
=12n122nn［（C1］ n+Cn+?+Cn）－（Cnq+Cnq+?+Cnq）1?q
11{（2n－1）－［（1+q）n－1］}=［2n－（1+q）n］. 1?q1?q=
（2）An
2n=11?qn［1－（）］.因为－3<q<1，且q≠－1， 1?q2
所以0<|
An11?q |<1. 所以lim=. n??n1?q22
14．解：（1）前4次恰好查出2件次品的概率P?C3C3A4?3； （2）根据题意，?的取值可以是3、4、5、6. 14A65
3A31P(??3)?3?; A620224其中，
P(??4)?1131415C3C3A33C32C3A43C3A51?10分
?;P(??5)??;P(??6)??456A620A610A62
2020102所以，E??3?1?4?3?5?3?6?1?5.25
15~20 CBDABB
2120【解析】：分类，“42000型”，共有2种方案；“33000型”，共有1种方案；“32100型”，共有种A2?C3?6种方案；“22200
型”，共有3种方案；“22110型”，共有3种方案；故共有15种不同的分配方案．选B．
21． 36 ； 22． 28 ； 23． 9 ； 24．27 166
25．解：(Ⅰ)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1、A2、A3，
已知A1、A2、A3相互独立，且P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，P(A3)=0.6.
游客游览的景点数可能取值为0、1、2、3，相应的游客没有游览的景点数
可能取值为3、2、1、0，所以ξ的可能取值为1、3.
则P(ξ=3)=P(A1·A2·A3)+P(A1?A2?A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)+P(A1)·P(A2)·P(A3)
=2×0.4×0.5×0.6=0.24.
P(ξ=1)=1-0.24=0.76.
所以分布列为：
∴Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48
(Ⅱ)∵f(x)=2ξx+4在[-3，-1]上存在x0，使得f(x0)=0.
∴ f(-3)·f(-1)≤0,
即 (-6ξ+4)(-2ξ+4)≤0，
解得：2???2. 3
2???2.)=P(ξ=1)=0.76. 3 ∴P(A)=P(26．解：（Ⅰ）由于质点A向四个方向移动是一个必然事件，
所以11111???p?1，所以p?．同理可得q? 44364
（Ⅱ）至少需要3秒可以同时到达点D． 经过3秒钟，点A到达点D的概率为3p右p上p上=
3
达点D的概率为9()?1．经过3秒钟，点B到121
49． 64
所以，经过3秒钟，动点A、B同时到达点D的概率为193??． 1264256
27．解：(1)“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为A，则P(A?1?2??1?4?1?5?232
∴P(A)=1-?C5??????????
333243??????????
?
)=C15?
2??1??1?
?????? ?3??3??3?
45
4?2?
(2)射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5，P(ξ=2)=???
9?3?
2
P(ξ
2
=3)=C12.
2?1?241128?2??1??1?
? P(ξ=4)=C1 P(ξ=5)=C1 ..?3..??4.????????
3?3?327333933327??????
234
故ξ
Eξ=2×
417984
+3×+4×+5×= 99272727
答：(略)
28．解：(1)记“甲连续射击4次至少有一次末中目标”为事件A1，由题意知，射击4次，相当于作4次独立重复试验，故
265
P(A1)?1?P(A1)=1?(4?.
381
答：甲连续射击4次至少有一次末中目标的概率为：
65
. 81
（2）记“甲射击4次，恰有2次射中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次射中目标”为事件B2，则
83331273
， P(B2)?C4?()?(1?)? 274464
8271??. 由于甲乙射击相互独立，故 P(A2B2)?P(A2)P(B2)?
27648
P(A2)?C4?()?(1??
2
2
2
2323
答：两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为. （3）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3“乙第i次射击末中”为 事件Di（I=1,2,3,4,5）,则A3=D5?D4?D3?D2D1 ，且P(Di)?
18
1 4
由于各事件相互独立，故 P(A3)?P(D5)?P(D4)?P(D3)?P(D2D1)
1131145???(1??)?. 444441024
答：乙恰好射击5次后被中止射击的概率为
29~30 DA
31． 42 32．
45
. 1024
7 16
32．【解析】设x、y分别为甲乙两人到达约会地点的时间，
若两个人能会面，则| x―y |≤15
如 图：则（x、y）的所有可能结果是边长为60的正方形内的所有点的集合，由等可能事件的概率求法可知：
602?4527
? P（A）= 2
1660
2n?12n?1nnnn?33．证明（1）?f(n)?n，要证n，只要证明：n?2?2?n?1?n?2?n 2?1n?12?1
即证：2?2n?1，即证当n?3时，此式成立即可，而
012n?101n?12n?Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn?Cn?2n?1 n
当n?3时显然成立。?原不等式成立。
1n11111123n)?1?Cn??Cn?2?Cn?3???Cn?n?1?n??2 nnnnnn
1123n1现证Cn?2?Cn?3???Cnn?1，因 nnn（2）当n?2时，因(1?
r?1Cn1nr?1?1n?rr11r1r1r1Cnr?[?]Cn?C(r?2,3,?,n) nrrnr?1r?1(r?1)nr?1nnn
2?Cn111131n1111?C???C?C[?????] nnn23nn22?32?3?42?3?4???nnnn
11[1?()n?1]111111??2?3???n?1??1?n?1?1?(1?)n?3. 1n222221?2
1n综上可知 2?(1?)?3，(n?2,n?N) n
34．解：（1）∵P0=1，∴P1?1113115?P?P?P?，P2?P0?P， 13122224228
（2）棋子跳到第n站，必是从第n－1站或第n－2站跳来的(2?n?100)， 11Pn?1?Pn?2??????5分 22
111∴Pn?Pn?1??Pn?1?Pn?1?Pn?2??(Pn?1?Pn?2)????6分 222
11.????7分 ∴an??an?1(2?n?100),且a1?P1?P0??22
11故?an?是公比为?，首项为?的等比数列.(1?n?100)????8分 22
1?an?(?)n,1?n?100, 2所以Pn?
（3）由（2）知，a1?a2???a99=(P1－P0)+( P2－P1)+?+ (P99－P98)=
111?(?)?(?)2???(?)99??????10分 222
11?(?)99
?P?2(1?1).??????11分 ?P99?P0??99332100
21故，获胜的概率为P99?(1?100).????12分 32
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