松江区2016学年度第一学期高三期末考试
数 学 试 卷
（满分150分，完卷时间120分钟）2017.1
一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．设集合M?{x|x2?x}，N?{x|lgx?0}，则M?N?．
2．已知a、b?R，是虚数单位，若a?i?2?bi，则 (a?bi)?．
3．已知函数f(x)?ax?1的图像经过(1,1)点，则f?1(3)?
4．不等式xx?1?0的解集为 2
????5．已知向量a?(sinx,cosx, )b?(sinx,sinx),则函数f(x)?a?b的最小正周期为
6．里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 ▲ ．
7．按下图所示的程序框图运算：若输入x?17，则输出的值是
8．设(1?x)n?a0?a1x?a2x2?a3x3???anxn，若a21?，则n?． a33
9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 ▲ cm2．
10．设P(x,y
)是曲线C?1上的点，F1(?4,0),F2(4,0)，则|PF1|?|PF2|的最大值= ▲ ．
1?x?311
．已知函数f(x)?，若F(x)?f(x)?kx在其定义域内有3个x2?8x?3??
零点，则实数k? ▲ ．
12．已知数列{an}满足a1?1，a2?3，若an?1?an?2(n?N)，且{a2n?1}是递增数列、n*
{a2n}是递减数列，则lim
a2n?1?． n???a2n
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．已知a、b?R，则“ab?0”是“ba??2”的 ab
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
P在截面A1DB上，则线段AP的14．如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1BC11D1中，点
最小值等于
A.
C.
1 3B. 12D.
a11 a12?a11 a12?15．若矩阵?＝0，a11,a12,a21,a22?{0,1},且?满足：a aa21 a22?2122?
则这样的互不相等的矩阵共有
A. 2个 B. 6个 C. 8个
16. 解不等式()?x?D. 10个 1
2x11?0时，可构造函数f(x)?()x?x，由f(x)在x?R是减函数，22
及f(x)?f(1)，可得x?1．用类似的方法可求得不等式arcsinx2?arcsinx?x6?x3?0的解集为
A.(0,1] B.(?1,1) C.(?1,1] D.(?1,0)
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满
分6分，第2小题满分8分
如图，在正四棱锥P?ABCD中，PA?AB?a，
CE是棱PC的中点． （1）求证：PC?BD；
（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．
A
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 a?2x?1(a为实数． 已知函数f(x)?2x?1
（1）根据的不同取值，讨论函数y?f(x)的奇偶性，并说明理由；
（2）若对任意的x?1 ，都有1?f(x)?3，求的取值范围.
19．（本题满分14分）
上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H．在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角?HAP?45，过O点与OA成120的地面上选B点，使仰角?HBP?45（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得?OAB?27，A与B之间距离为33.6米．试求：
（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；
（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1）.
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 ?????x2y2
已知双曲线C:2?2?1经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60?，直线交双曲线于A、ab
B两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA、kPB均存在，求证：kPA?kPB为定值；
（3）若过双曲线的右焦点F是否存在轴上的点M(m, 0)，使得直线绕点F1，1无论怎样转动，
????????都有MA?MB?0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
如果一个数列从第项起，每一项与它前一项的差都大于，则称这个数列为“H型数列” ．
（1）若数列{an}为“H型数列”，且a1?11?3，a2?，a3?4，求实数m的取值范围； mm
（2）是否存在首项为的等差数列{an}为“H型数列”，且其前项和Sn满足Sn?n2?n(n?N*)？若存在，请求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
（3）已知等比数列{an}的每一项均为正整数，且{an}为“H型数列”，bn?2an，3cn?an，当数列{bn}不是“H型数列”时，试判断数列{cn}是否为“H型数列”，并说(n?1)?2n?5
明理由．
松江区2016学年度第一学期高三期末考试
数学试卷（参考答案）2017.1
一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分
1． ??1 2．3?4i 3．4．(0,1)?(1,??) 5．? 6．1
4
17． 143 8．11 9
10．1011
． 12．? 2
二、选择题 （每小题5分，共20分）
13． B 14．C 15. D 16．A
三．解答题（共76分）
17． 解: （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且PA?AB?a
∴?PBC,?PDC都是等边三角形 ………………2分
∵E是棱PC的中点，
∴BE?PC,DE?PC，又 BE?DE?E
∴PC?平面BDE ………………5分
又BD?平面BDE ∴PC?BD ………………6分
（2）连接AC，交BD于点O，连OE．
四边形ABCD为正方形，∴O是AC的中点………………8分
又E是PC的中点
∴OE为△ACP的中位线，∴AP//OE
∴∠BOE即为BE与PA所成的角 ……………………10分 1，EO?PA?a……12分
2
OE∴cos?BOE?……………………14分 ?BE
a?2?x?1a?2x
?18．解：（1）函数y?f(x)的定义域为R，且f(?x)??x ……………2分 2?11?2x
①若y?f(x)是偶函数，则对任意的都有f(x)?f(?x) ， 在Rt△BOE
中，BE?xa?2x?1a?2x?即 即2(a?1)?a?1 ∴a??1 ……………3分 xx2?11?2
②若y?f(x)是奇函数，则对任意的都有f(x)??f(?x) ，
xa?2x?1a?2x??即 即2(a?1)?1?a ∴a?1 ……………4分 xx2?11?2
∴当a??1时，f(x)为偶函数，当a?1时，f(x)为奇函数，
当a??1时，f(x)既非偶函数也非奇函数 ……………6分
2xx1 即 x?a?1 ……………8分
（2）由f(x)?1 可得 2?1?a?2? 2
2 单调递减，其最大值为1 ∴a?2 ……………10分 2x
4x?x2? 3同理，由f(x)?3 可得 a?2?1?3 即 a?3?x 2
4∵当 x?1时，y1?x 单调递减，且无限趋近于0，∴a?3……………13分 2
∴2?a?3 ………………………14分 ∵当 x?1时，y1?
19. 解：(1)设塔高PH?x,由题意知，?HAP?45?,?HBP?45?, 所以?PAH,?PBH均为等腰直角三角形
∴AH?BH?x ……………2分
?在?AHB中，AH?BH?x ，?HAB?27 ，AB?36.6 AB
16.8∴x???18.86……………6分 cos?HABcos27?
?(2)在?BOH中，?BOH?120 ， ?BH????18.86 ， ?OBH?180??120?2?27，6OHBH?由 ， sin?OBHsin?BOH
18.86?sin6??2.28……………10分 得OH?sin120?
OH2.28?arctan?6.89?∴?OPH?arctan……………13分 PH18.86
?所以塔高18.9米，塔的倾斜度为6.9。 ……………14分
?49?2?12??ab20. 解：（1）由题意得
? ……………2分
?b???a
?a2?1解得 ?2 ……………3分 ?b?3
y2
2?1.∴双曲线C的方程为x?……………4分 3
（2）证明：设A点坐标为A(x0,y0)，则由对称性知B点坐标为B(?x0,?y0)…………5分
设P(x,y)，则kPA?kPB2y?y0y?y0y2?y0……………7分 ???2x?x0x?x0x2?x0
?2x???0
??x2???2y0?132222 得y?y0?3(x?x0) ……………8分
y2?13
2y2?y0所以kPA?kPB?2……………10分 ?32x?x0 （3）当直线的斜率存在时，设直线方程为y?k(x?2)，
与双曲线方程联立消y得(k2?3)x2?4k2x?4k2?3?0，
?k2?3?0∴????0?4k2x?x???12k2?3?22得 k?3 且 ?x?x?4k?3 ……………12分
12?k2?3?
????????∵MA?MB?(x1?m)(x2?m)?y1y2
?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?2)(x?22)
?(k2?1)x1x2?(2k2?m)(x1?x)2?m2?4k2 ( x 2,y2) 设A(x1,y1)、 B
22(k2?1)(4k2?3)4k(2k?m)22???m?4kk2?3k2?3
3?(4m?5)k2
2??m????????14分 2k?3 ??? ? ? ??? 假设存在实数m，使得MA?MB?0，
2 故得3(1?m2)?k2(m2?4m?5)?0对任意的k?3恒成立，
2??1?m?0 ∴?2，解得m??1. ??m?4m?5?0????????? ∴当m??1时，MP?MQ?0.
当直线l的斜率不存在时，由P(2,3),Q(2,?3)及M(?1,0)知结论也成立 ???????? 综上，存在m??1，使得MA?MB?0. ?????????????16分
23． 解：（1）由题意得a2?a1?3?2， ??????1分
112m?1?2， 即 2???0，??????3分 mmm
1 解不等式得 m?(??,0)?(,??)； ???????4分 2
（2）假设存在等差数列{an}符合要求，设公差为d，则d?2，
n(n?1)d， ???????5分 由 a1?1，得 Sn?n?2
n(n?1)d?n2?n对n?N?均成立， 由题意得：n?2
2n? 即：d?对n?N均成立， ???????7分 n?1
2n22n?2??2，且lim?2，所以d?2，与d?2矛盾，因为n??n?1n?1n?1
因此，这样的等差数列{an}不存在． ???????10分 a3?a2?4?
（3）设数列{an}的公比为，则an?a1qn?1，因{an}的每一项均为正整数，
且an?1?an?anq?an?an(q?1)?2?0，所以a1?0，且q?1， 因an?1?an?q(an?an?1)?an?an?1，
即：在{an?an?1}中，“a2?a1”为最小项，
同理，在{bn?bn?1}中，“b2?b1”为最小项， ???????11分
由{an}为“H型数列”，可知只需a2?a1?2， 即 a1(q?1)?2， 又因为{bn}不是“H?数列”， 且“b2?b1”为最小项，所以b2?b1?2， 即 a1(q?1)?3，
由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1(q?1)?3， 所以a1?1,q?4或a1?3,q?2， ???????12分 1)当a1?1,q?4时，an?4n?1，
4n?12n?3
则cn?， ?n?5(n?1)?2n?1
2n?42n?3n 令dn?cn?1?cn(n?N)，则dn?， ??2n?3?n?2n?1(n?1)(n?2)
令en?dn?1?dn(n?N*)， *
则en?2n?4n?1n2n?3n2?n?2n?3??2????0， (n?2)(n?3)(n?1)(n?2)n?2(n?1)(n?3)所以{dn}为递增数列，
即 dn?dn?1?dn?2???d1，
即 cn?1?cn?cn?cn?1?cn?1?cn?2???c2?c1， 因为c2?c1?328?8??2，所以，对任意的n?N*都有cn?1?cn?2， 33
即数列{cn}为“H型数列”； ???????16分 2)当a1?3,q?2时，an?3?2n?1， 3?2n?148则cn?，显然，{cn}为递减数列，c2?c1?0?2， ?(n?1)?2n?5n?1
故数列{cn}不是“H型数列”；
综上：当an?4n?1时，数列{cn}为“H型数列”， 当an?3?2n?1时，数列{cn}不是“H型数列” ．???????18分
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