2014实战演练·高三数学参考答案与解析
南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试
1. {0，2} 解析：本题主要考查集合的基本概念、运算等基础知识，属于容易题．
2. －3＋4i 解析：(1－2i)2＝1－4i＋(2i)2＝－3－4i，共轭复数为－3＋4i.
本题主要考查复数的基本概念和运算、共轭复数等基础知识，属于容易题．
4143.解析：这组数据的平均数为9，s2－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝. 555本题主要考查统计中方差的计算，属于容易题．
24.解析：记两个红球为A1、A2，两个白球为B1、B2，那么取出的两个球为A1A2、A1B1、A1B2、3
42A2B1、A2B2、B1B2，共6种情况，其中两球颜色不同的有4种情况，所求概率为＝63
本题主要考查古典概型，属于容易题．
a1＋a95. 27 解析：由a3＋a5＋a7＝9，得a5＝3，S9＝39＝a539＝27. 2
本题主要考查等差数列的概念和性质、前n项和公式等简单的计算，属于容易题．
6. 26 解析：画出可行区域，得到最优解是直线3x－y－6＝0与直线x－y＋2＝0的交点(4，6)，代入目标函数得最大值为26.
本题考查线性规划问题，涉及到求直线交点，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于容易题．
7. 3 解析：s＝6＋5＋4＝15，n－1＝3.
本题主要考查算法流程图的基础知识，属于容易题．
ππkππ8.解析：f(x)＝sin?2x＋2φ－，因为函数f(x)为奇函数，故2φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝6323?
ππ＋.当k＝0时，φ取最小正值. 66
本题主要考查函数图象的移动、三角函数的性质——奇偶性及周期性，属于中等题．
9. ①③④ 解析：本题主要考查空间线线、线面、面面之间的位置关系，属于中等题．
210.解析：由9cos2A－4cos2B＝5，得9(1－2sin2A)＝5＋4(1－2sin2B)，得9sin2A＝4sin2B，即3
BCsinA23sinA＝2sinB.由正弦定理得＝. ACsinB3
本题主要考查三角形中的正弦定理及三角公式的灵活使用等基础知识，属于中等题．
4→→→1→→→→→→→11. － 解析：(解法1)由已知AD＝DC，则D为AC中点，BD＝(BC－AB)，AC＝BC＋AB.BD2AC32
5＋5－411→→→→1(BC－AB)·(BC＋AB)＝－故AB2－BC2＝1.又BC＝2，所以AB＝AC5，cosA222235
3534→→→→→1→→?→→→1→＝，所以CE2AB＝(AE－AC)·AB＝3－AC?2AB＝－AC2AB＋AB2＝53＝－. 53353
(解法2)取BC中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则B(－1，0)、C(1，0)．设21m→?3m→13m→→→→，，BD＝，AC＝(1，－m)．由BD2AC－A(0，m)，由AD＝DC，得D??22?22222
144414→→→→－，，则CE＝?－，AB＝(－1，－2)，所以CE2AB＝－，解得m＝2.这样E??33?3323
本题考查向量的有关概念、向量的数量积等运算能力及灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于中等题．
12. [0，2＋2]
|PF1－PF2|?2?解析：PF1＋PF2＝2，2－， PF1?PF1?
a－c≤PF1≤a＋c，a＝2，c＝2，
|PF1－PF2|4－2－22≤2－22－2，[0，2＋22]． PF1PF1
本题考查椭圆的有关概念及性质、函数的单调性及绝对值等基础知识及灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于中等题．
ye2112－y13. －1 解析：设f(y)＝lny－＋ln，则f′(y)＝.当y∈(0，2)时，f′(y)>0；当y∈(2，22y22y
ye2
＋∞)时，f′(y)<0，所以y＝2时，f(y)取最大值1，所以f(y)＝lny－＋ln1；又由基本不等式得22
111?4cos2（xy）＋≥2，当且仅当4cos2(xy)＝2cos(xy)＝， 4cos（xy）?4?4cos（xy）
12所以log2?4cos（xy4cos（xy）?≥1， ??
1ye2所以log2[4cos(xy)＋＝lny－＋ln 224cos（xy）
y＝2，??1则?21所以cos4x2，ycos4x＝－1. ??cos（xy4本题考查函数、三角、基本不等式等基础知识，考查函数与方程、不等式的思想，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于难题．
41－1? 14. ??25?
解析：在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]，
[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根为t一定在区间
25(3，4)内，g(t)2－6t＋7是二次函数，对称轴方程为 24
7272414＞t＝＞3，g(t)的最小值为g?＝－， ?252525
111直线y＝kx(k＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故2k224824
直线与半圆相切，
?y＝kx，由?得(1＋k2)x2－6x＋8＝0， ?y＝1－（x－3），
25取k2＝2－6x＋7＝－1，t<x， 2424
25所以g(t)＝2－6t＋7＜－1. 24
本题考查分段函数、函数的周期、直线方程等知识，考查函数与方程、数形结合及转化的思想，考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力，属于难题．
15. 证明：(1) 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，
所以A1B1∥AB.(3分)
而A1B1平面ABD，AB平面ABD，
所以直线A1B1∥平面ABD.(6分)
(2) 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC.
因为AB平面ABC，
所以AB⊥BB1.(8分)
因为AB⊥BC，BB1平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，且BB1∩BC＝B，
所以AB⊥平面BB1C1C.(11分)
又AB平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BB1C1C.(14分)
π16. 解：(1) 因为cos?A?＝sinA， 6??
ππ即cosAcossinAsin＝sinA， 66
33所以＝sinA.(4分) 22
显然cosA≠0，
否则，由cosA＝0，得sinA＝0，与sin2A＋cos2A＝1矛盾，
所以tanA＝3
因为0＜A＜π，
π所以A＝.(7分) 6
1(2) 因为cosA＝，4b＝c， 4
根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝15b2，
所以a15b.(10分)
1因为cosA＝， 4
15所以sinA1－cosA＝. 4
b由正弦定理，得 sinAsinB
1所以sinB分) 4
17. 解：(1) C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时，即未安装太阳能供电设备时2
该企业每年消耗的电费．(2分)
k由C(0)＝24，得k＝2 400.(4分) 100
k1 800因此F＝153＋0.5x＝0.5x，x≥0.(7分) 20x＋100x＋5
1 8001 800(2) 由(1)知，F＝0.5x＋0.5(x＋5)－2.5 x＋5x＋5
≥2·0.5（x＋5）－2.5 x＋5
＝57.5.(10分) 1 800＝0.5(x＋5)＞0，即x＝55时取等号． x＋5
所以当x为55时，F取得最小值为57.5万元．(14分)
(说明：第(2)题用导数求最值的，相应给分)
222c2a－b818. 解：(1) 由e＝＝，即a2＝9b2， 3aa922xy故椭圆的方程为＝1.(3分) 9bb又椭圆过点M(32，2)，
182所以＋＝1，解得b2＝4. 9bb
x2y2
所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分) 364
(2) ① 记△MAF2的外接圆的圆心为T.
1因为直线OM的斜率kOM 3
所以线段MA的中垂线方程为y＝－3x.
又由M(32，2)、F2(42，0)，得线段MF2的中点为N?而直线MF2的斜率kMF2＝－1，
所以线段MF2的中垂线方程为y＝x－2.
?y＝－3x，322由?解得T?.(8分) ，－44?y＝x－32，?
2??92?5从而圆T的半径为?42－＋0＋， 24??4??
2?2?922125?故△MAF2的外接圆的方程为x－＋y＋＝分) 44??4?
3292x＋y－20＝0.) 22
② 设直线MA的斜率为k，A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由题意知，直线MA与MB的斜率互为相反数，故直线MB的斜率为－k. 直线MA的方程为y－2＝k(x－2)， 即y＝kx＋－3??y＝kx＋2－2k，
由方程?x2y2消去y，整理得 ＝1，??364
(9k2＋1)x2＋182k(1－3k)x＋162k2－108k－18＝0.(*) 由题意知，方程(*)有两解32，x1，
2k（3k－1）182（3k2－k）所以x1＝32＝32. 9k＋19k＋1
182（3k2＋k）同理可得x2＝32.(13分) 9k＋1
362
因此x2－x1＝x2＋x1＝－2. 9k＋19k＋1
又y2－y1＝－kx22＋32k－(kx1＋2－32k)
＝－k(x2＋x1)＋62k
2k3
＝－＋2k 9k＋1
2k＝， 9k＋1(说明：该圆的一般式方程为x2＋y2－22722. 2?2
12y2－y19k＋11所以直线AB的斜率kAB＝＝＝，为定值．(16分) x2－x1362k3
9k＋1
19. 解：(1) 因为函数f(x)＝x－1在区间[－2，1]上单调递增，
所以当x∈[－2，1]时，f(x)的取值范围为[－3，0]．(2分)
而[－3，0][－2，1]，
所以f(x)在区间[－2，1]上不是封闭的．(4分)
3x＋aa－3(2) 因为g(x)＝＝3＋. x＋1x＋1
① 当a＝3时，函数g(x)＝3，显然{3}[3，10]，故a＝3满足题意；
② 当a＞3时，在区间[3，10]上，函数g(x)单调递减，此时g(x)的取值范围为?30＋a9＋a??114?.
30＋a≥3，?1130＋a9＋a[3，10]，得由?解得3≤a≤31，故3＜a≤31；(7分) ?9＋a4??11?4≤10，
a－3③ 当a＜3时，在区间[3，10]上，有g(x)＝3＋3，不合题意． x＋1
综上所述，实数a的取值范围是区间[3，31]．(9分)
(3) 因为h(x)＝x3－3x，
所以h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．
因为当x＜－1或x＞1时，h′(x)＞0；当x＝－1或1时，
h′(x)＝0；当－1＜x＜1时，h′(x)＜0，
所以h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，在区间[－1，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增．
从而h(x)在x＝－1处取得极大值2，在x＝1处取得极小值－2.(11分)
解法1：
① 当a＜b≤－1时，因为h(x)在区间[a，b]上单调递增，
3??h（a）＝a－3a≥a，所以? 3?h（b）＝b－3b≤b，?
??a（a＋2）（a－2）≥0，即? ?b（b＋2）（b－2）≤0，?
??－2≤a≤0或a≥2，解得? 此时无解． ??b≤－2或0≤b≤2，
② 当a≤－1＜b≤1时，因为h(－1)＝2＞b，与“h(x)在区间[a，b]上封闭”矛盾，即此时无解． ③ 当a≤－1且b＞1时，
因为h(－1)＝2，h(1)＝－2，
??a≤－2，故? ?b≥2.?3??h（a）＝a－3a≥a，由? 3?h（b）＝b－3b≤b，?
???－2≤a≤0或a≥2，?a＝－2，解得? 从而? ?b≤－2或0≤b≤2，?b＝2.??
④ 当－1≤a＜b≤1时，h(x)在区间[a，b]上单调递减，
3??h（b）＝b－3b≥a，所以?(*) 3?h（a）＝a－3a≤b.?
??a＝－1，??a＝－1，??a＝0，??又a、b∈Z，所以或或? ????b＝0?b＝1?b＝1.
分别代入(*)检验，均不合要求，即此时无解．
⑤ 当－1≤a≤1且b≥1时，因为h(1)＝－2＜a，与“h(x)在区间[a，b]上封闭”矛盾，即此时无解．
⑥ 当1≤a＜b时，因为h(x)在区间[a，b]上递增，
3??h（a）＝a－3a≥a，所以? 3?h（b）＝b－3b≤b，?
?－2≤a≤0或a≥2，?即? ?b≤－2或0≤b≤2，?
此时无解．
综上所述，a＝－2，b＝2.(16分)
解法2：
??h（a）＝a－3a≥a，由题意知，? 3?h（b）＝b－3b≤b，?
??a（a＋2）（a－2）≥0，即? ?b（b＋2）（b－2）≤0，?
??－2≤a≤0或a≥2，解得? ?b≤－2或0≤b≤2.?3
因为a＜b，
所以－2≤a≤0，0≤b≤2.
又a、b∈Z，故a只可能取－2，－1，0，b只可能取0，1，2.
① 当a＝－2时，因为b＞0，故由h(－1)＝2，得b≥2.
因此b＝2.
经检验，a＝－2，b＝2满足题意．
② 当a＝－1时，由于h(－1)＝2，故b＝2，此时h(1)＝－2，不满足题意．
③ 当a＝0时，显然不满足题意．
综上所述，a＝－2，b＝2.(16分)
20. (1) 解：因为{an}是等差数列，
所以an＝(6－12t)＋6(n－1)＝6n－12t(n∈N*)．(2分)
因为数列{bn}的前n项和为Sn＝3n－t，
－－所以当n≥2时，bn＝(3n－t)－(3n1－t)＝233n1.
?3－t，n＝1，?又b1＝S1＝3－t，故bn＝?(4分) n－1?233，n≥2.?
(2) 证明：因为{bn}是等比数列，
－所以3－t＝23311，解得t＝1.
－从而an＝6n－12，bn＝233n1(n∈N*)．
对任意的n∈N*，
－－由于bn＋1＝233n＝633n1＝6(3n1＋2)－12，
－－令cn＝3n1＋2∈N*，则acn＝6(3n1＋2)－12＝bn＋1，
所以命题成立．(7分)
1－3n11从而数列{cn}的前n项和Tn＝2n＋33n＋2n－.(9分) 21－32
?6（3－t）（1－2t），n＝1，?(3) 解：由题意得dn＝? ?3n，n≥2.?4（n－2t）·
＋?2t－3?23n. 当n≥2时，dn＋1－dn＝4(n＋1－2t)·3n1－4(n－2t)·3n＝8?n－2???
37① 若2t－＜2，即t＜时，dn＋1＞dn. 24
由题意得d1≤d2，即6(3－t)(1－2t)≤36(2－2t)，
－597－597解得t≤. 44
－5977因为， 44
－5＋97??－597所以t∈??.(12分) ≤t44??
3② 若2≤2t－3， 2
79即t＜dn＋1＞dn(n∈N，n≥3)． 44
由题意得d2＝d3，即4(2t－2)332＝4(2t－3)333，
7解得t＝4
3③ 若m≤2t－＜m＋1(m∈N，m≥3)， 2
m3m5即＋≤t＜∈N，m≥3)时， 2424
dn＋1≤dn(n∈N，2≤n≤m)；dn＋1≥dn(n∈N，n≥m＋1)．
2m＋3＋由题意得dm＝dm＋1，即4(2t－m)33m＝4(2t－m－1)33m1，解得t＝4
－597－5＋972m＋3综上所述，t的取值范围是{t|≤t或t＝m∈N，m≥2}．(16分) 444
南通市2013届高三第一次调研测试
1. (－∞，－1] 解析：∵ A＝{x|x>－1}，U＝R，∴ ?UA＝(－∞，－1]．
3－2i（3－2i）（－i）2. 三 解析：z＝2－3i.本题考查复数的基本概念及运算、复数的几ii（－i）
何意义等基础知识，属于容易题．
13. 48 解析：正四棱锥的斜高为32）2＝4，故S侧3(634)34＝48. 2
1－4. 解析：由已知，f(x)是以2为周期的周期函数，故f(2 013)＝f(231 007－1)＝ f(－1)＝414
1＝.本题考查函数关系与函数的性质等基础知识，属于容易题． 4
5. 否命题 解析：命题p与q符合互为否命题的关系．
x2y2c6. ＝1 解析：圆心(5，0)，也是双曲线的焦点，即c＝5.又e＝＝5，则a＝5，b＝5，520a22xy故该双曲线的标准方程为＝1.本题考查圆的方程、圆锥曲线的方程和几何性质等基础知识，属520
于容易题．
???9a5＝－36，?a5＝－4，7. ±42 解析：由已知得?即?故a5与a7的等比中项为a5a7＝±42. ??13a＝－104，a＝－8，??77
38. 解析：由流程图知，当输入x时，各次循环输出的结果分别是2x＋1，2(2x＋1)＋1＝4x＋3，8
??8x＋7≥55，2(4x＋3)＋1＝8x＋7，此时退出循环．由?解得6≤x≤9，故输出的x不小于55的概率为?1≤x≤9，?
9－63P＝. 9－18
1→→→→→→→→→→→→9. 解析：∵ |AB＋AC|＝|BC|，|AB＋AC|＝|AC－AB|，∴ |AB＋AC|2＝|AC－AB|2，即|AB|2＋2
→→→→→→→→→→→|AC|2＋2AB2AC＝|AB|2＋|AC|2－2AB2AC，即AB2AC＝0，∴ AB⊥AC，即AB⊥AC.又AB＝1，
→→11BA·BC→→→→AC3，∴ BCAB＋AC＝2，cosB＝，∴ BA2BC＝|BA||BC|cosB＝132＝1＝22→|BC|
1. 2
2x－y＋1>0，???10. －2 解析：因为0＜a＜1，所以原不等式等价于?3y－x＋2>0，即?3y－x＋2>0，画
??2x－y＋1<3y－x＋2，??3x－4y－1<0.
??2x－y＋1＝0，出可行域(如图)，考查z＝x＋y的取值范围，由?得解为(－1，－1)，从而z>－1－1＝?3y－x＋2＝0，? ?2x－y＋1>0，
－2，故满足λ＜x＋y的λ的最大值为－2.本题主要考查线性规划知识、等价转化及数形结合等数学思想，属于中等题．
f′（1）f′（1）xf′（1）1111. y＝ex－ 解析：由已知得f(0)＝，∴ f(x)＝e－＋x2，∴ f′(x)＝2eee2
f′（1）xf′（1）e－x， ee
f′（1）f′（1）1∴ f′(1)＝－1，即f′(1)＝e，从而f(x)＝ex－x＋x2，f′(x)＝ex－1＋x，∴ f(1)ee2
111e＝e(x－1)，即y＝ex本题主要考查导数的计算、导数＝ef′(1)＝e，故切线方程为y－??222
的几何意义，考查等价转化、函数与方程等数学思想，属于中等题．
12. －1.5 解析：因简谐振动的物体的位移s与时间t之间的函数关系为s＝Asin(ωt＋φ)，且由题
2π2π2π意，A＝33，所以ω，s＝3sin?t＋φ?.又当t＝0时，s＝3，所以3＝3sinφ，即sinφ＝3?3?ω
π2π10π2ππ31，φ＝2kπ∈Z)，所以s＝3sin?t＋＝3cost.故当t＝5时，s＝3cos. 23322?3
13. (－1，0)∪(0，2) 解析：由题意，圆心C(－1，0)，点P(x0，2x0)．因为PA＝PB，所以CP⊥AB，
x0＋12xa＝－1，即a＝－.又把y＝ax＋3代入x2＋y2＋2x－8＝0，得(a22x0x0＋1
x0＋13＋1)x2＋(6a＋2)x＋1＝0，则有Δ＝(6a＋2)2－4(a2＋1)＝8a(4a＋3)>0，解得a>0或a<－，所以－42x0
x0＋13＞0或－<由此解得－1<x0<0或0<x0<2.本题主要考查直线方程、圆的方程、直线与圆的位置2x04
关系及不等式的有关知识及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力，属于难题．
3x＋y－5x＋3y－73（x－1）＋y－23（y－2）＋x－1y－214. (2，3) 解析：∵ m＝＋＝6＋＋x－1y－2x－1y－2x－1
x－1y－2x－1y－2x－1x>3，y＝x2－1>2，∴ x－1>0，y－2>0，∴ ＋2，当且仅当时等号y－2x－1y－2x－1y－2
??x＝2，2成立，即y＝x＋1，与y＝x－1联立，解得?故m的最小值为8，此时点P(2，3)．本题主要考?y＝3.?
查函数的性质及基本不等式的运用，考查函数与方程、等价转化等数学思想，属于难题．
15. 证明：(1) 连结A1B和A1C.因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C的对角线的交点，所以E、F分别是A1B和A1C的中点．所以EF∥BC.(3分)
又BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF∥平面ABC.(6分
) 从而有kCPkAB＝－1，所以
(2) 因为三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱，所以A1A⊥平面ABC，所以BC⊥A1A.故由EF∥BC，
得EF⊥A1A.(8分)
又D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以BC⊥AD.
故由EF∥BC，得EF⊥AD.(10分)
而A1A∩AD＝A，A1A、AD平面A1AD，
所以EF⊥平面A1AD.(12分)
又EF平面AEF，故平面AEF⊥平面A1AD.(14分)
sinA＋sinBsinCsinA＋sinB16. 解：(1) 因为tanC＝， cosCcosA＋cosBcosA＋cosB
所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，
得sin(C－A)＝sin(B－C)．(4分)
所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)．
π即2C＝A＋B，得C＝分) 3
πππ2πππ(2) 由CA＝＋α，B＝－α，0＜A、Bα＜. 333333
因为a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB，(8分)
1－cos2A1－cos2B所以a2＋b2＝sin2A＋sin2B＝22
2π2π11＝1－?cos?2α?＋cos?2α??＝1α.(11分) 2??32??3??
ππ2π2π1由－＜α2α＜＜cos2α≤1， 33332
33故a2＋b2≤.(14分) 42
17. 解：(1) 由题意，AB＝x，BC＝2－x.
因为x＞2－x，故1＜x＜2.(2分)
设DP＝y，则PC＝x－y.
因为△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.
11－，1＜x＜2.(5分) 由PA2＝AD2＋DP2，得(x－y)2＝(2－x)2＋y2y＝2??x(2) 记△ADP的面积为S1，则
11－(2－x)(6分) S1＝??x2x≤3－2， ＝3－??x当且仅当x＝2∈(1，2)时，S1取得最大值．(8分)
故当薄板长为2 m，宽为(22) m时，节能效果最好．(9分)
(3) 记凹多边形ACB′PD的面积为S2，则
14111(2－x)＝3x2＋， S2＝x(2－x)＋?x?x221＜x＜2.(10分)
4?－x3＋21?于是S2′＝－?2xx?＝＝0x＝2.(11分) 2x关于x的函数S2在(1，2)上递增，在(2，2)上递减．
所以当x＝2时，S2取得最大值．(13分) 故当薄板长为2 m，宽为(2－2) m时，制冷效果最好．(14分)
1·（a1－a1）18. (1) 解：令n＝1，则a1＝S1＝＝0.(3分) 2
n（an－a1）na(2) 证明：由Sn＝，即Sn＝ ① 22
（n＋1）an＋1得Sn＋1＝ ② 2
②－①，得(n－1)an＋1＝nan. ③
于是nan＋2＝(n＋1)an＋1. ④
③＋④，得nan＋2＋nan＝2nan＋1，即an＋2＋an＝2an＋1.(7分)
又a1＝0，a2＝1，a2－a1＝1，
所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以，an＝n－1.(9分)
(3) 解：假设存在正整数数组(p，q)，使b1、bp、bq成等比数列，则lgb1、lgbp、lgbq成等差数列，2p1q＋.(11分) 3332p1?所以q＝3q33?.(*)
易知(p，q)＝(2，3)为方程(*)的一组解．(13分)
2（p＋1）2p2－4p?2p?2p1233当p≥3，且p∈N*＋＋＜0，故数列?3?(p≥3)为递减数列，于是3333??33
1－＜0，所以此时方程(*)无正整数解． 3
综上，存在唯一正整数数对(p，q)＝(2，3)，使b1、bp、bq成等比数列．(16分)
19. (1) 解：依题设c＝1，且右焦点F′(1，0)． 2232?3?所以，2a＝EF＋EF′＝（1＋1）＋＋＝23，b2＝a2－c2＝2， 3?3?22xy故所求的椭圆的标准方程为＝1.(4分) 32
(2) 解：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 2x2y2xy2＋＝1，①＝1.② 3232
（x2－x1）（x2＋x1）（y2－y1）（y2＋y1）②－①，得0. 32
y2－y12（x2＋x1）4xP2所以k1＝＝－＝－＝－分) 6yP3x2－x13（y2＋y1）
(3) 证明：依题设，k1≠k2.
设M(xM，yM)，直线AB的方程为y－1＝k1(x－1)，即y＝k1x＋(1－k1)，亦即y＝k1x＋k2，代入
22椭圆方程并化简得(2＋3k21)x＋6k1k2x＋3k2－6＝0.
－3k1k22k于是xM＝分) ，yM＝2＋3k12＋3k1
－3k1k22k1同理xN＝. ，yN＝2＋3k22＋3k2
2yM－yN4＋6（k2＋k2k1＋k210－6k2k11）当k1k2≠0时，直线MN的斜率k＝＝＝.(13分) xM－xN－9k2k1（k2＋k1）－9k2k1
10－6k2k1?－3k1k22k直线MN的方程为y－?x2＋3k， 2＋3k－9k2k1?1?1
10－6k2k1?10－6k2k13kk2k即y＝x＋?， －9k2k1?－9k2k12＋3k12＋3k1?10－6k2k1220.(15分) 亦即y＝－.此时直线过定点?3?3－9k2k1
20，－?. 当k1k2＝0时，直线MN即为y轴，此时亦过点?3??
20，－.(16分) 综上，直线MN恒过定点，且坐标为?3?
20. 解：(1) 因为f(x)在(1，＋∞)上为减函数，
lnx－1所以f′(x)＝－a≤0在(1，＋∞)上恒成立．(2分) （lnx）所以当x∈(1，＋∞)时，f′(x)max≤0.
lnx－112111?21??又f′(x)＝－a＝－?lnx＋a＝－?lnx2?a， lnx4（lnx）111故当，即x＝e2时，f′(x)max＝a. lnx24
111所以－a≤0，于是a≥，故a分) 444
2(2) 命题“若x1、x2∈[e，e]，使f(x1)≤f′(x2)＋a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f(x)min≤f′
(x)max＋a”．(7分)
1由(1)，当x∈[e，e2]时，f′(x)max－a， 4
1∴ f′(x)max＋a＝. 4
1问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f(x)min≤”．(8分) 4
1① 当a(1)，f(x)在[e，e2]上为减函数， 4
e21112则f(x)min＝f(e)＝ae2≤，故a≥－.(10分) 2424e11?211?② 当af′(x)＝－?lnx2?＋－a在[e，e2]上为增函数， 44
1－a，a?. 故f′(x)的值域为[f′(e)，f′(e2)]，即?4??
(ⅰ) 若－a≥0，即a≤0，f′(x)≥0在[e，e2]恒成立，故f(x)在[e，e2]上为增函数，
1于是，f(x)min＝f(e)＝e－ae≥e＞(12分) 4
1(ⅱ) 若－a＜0，即0＜a＜，由f′(x)的单调性和值域知存在唯一x0∈(e，e2)，使f′(x0)＝0，且满4
足：
当x∈(e，x0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(x0，e2)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．
x01所以，f(x)min＝f(x0)＝ax0≤，x0∈(e，e2)． lnx04
11111111所以，a＞＞＝，与0＜a(15分) lnx04x0lne4e2444
11综上所述，实数a的取值范围为a≥－.(16分) 24e
苏州市2013届高三调研测试
1. {－1，2} 解析：根据交集的意义得A∩B＝{－1，2}．
1－2i（1－2i）（2－i）0－5i2. 1 解析：由z(2＋i)＝1－2i，得z＝＝i，故|z|＝1.本题主要52＋i（2＋i）（2－i）
考查复数的基本概念及基本运算、复数的模等基础知识，属于容易题．
1－13. 2 解析：样本的平均数为x＋12＋10＋11＋9)＝10，所以s2＝[(8－10)2＋(12－10)2＋(1055
－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝2.
24. 解析：不妨设成等差数列的5个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(d>0)，则这5个数的和5
为5a＝15，即a＝3，从而这5个数中小于3的数有2个，故从这5个数中随机抽取一个数小于3的概
25
15. 解析：设过坐标原点作函数y＝lnx图象的切线的切点为(x0，y0)，则y0＝lnx0，切线的斜率e
111为y′|x＝x0＝y＝x.又切线过切点(x0，lnx0)，所以lnx0＝x0，解得x0＝e，故切线x0x0x0
11斜率为.本题主要考查导数的计算、导数的几何意义与切线的求法，属于容易题． x0e
6. 3 解析：因为BB1∥平面ADD1，所以V三棱锥A B1D1D＝V三棱锥B1 AD1D＝V三棱锥
111B AD1D＝△ADD12AB333233＝3. 332
7. 6.6 解析：由题意，从今年起到第五年的年产值构成首项为1.1，且公比也为1.1的等比数列，
1.13（1－1.15）所以这个厂五年的总产值为S＝113(1.15－1)≈113(1.6－1)＝6.6. 1－1.1
本题主要考查等比数列的概念、等比数列的前n项和等基础知识，属于容易题．
m?6?＝1m＝6 Int?m≠m8. 2 解析：当输入m＝6，n＝4时，Int?＝Int?n?4??nnn4
mmc＝6－431＝2，m＝4，n＝2，此时Int?＝2＝，退出循环，输出n的值2. ?nn
x2y2b29. 2 解析：将x＝c－1，得y＝，当△ABC为直角三角形时，有BF＝aba2bAF，∴ ＝a＋c， a
∴ c2－a2＝a2＋ac，即2a2＋ac－c2＝0，(a＋c)(2a－c)＝0，
c∴ 2a－c＝0，故离心率e＝＝2. a
本题主要考查圆锥曲线的方程与几何性质，考查数形结合思想与方程思想，属于中等题．
??x（x＋1），x≥－1，31?1?1?3??10. ?－∞，4 解析：f?2?＝?21?＝，f(x)＝?当x<－1时，f(x)＝－24?－x（x＋1），x<－1，?
12112??x1＜f?1?等价于x(x＋1)＝－x－x＝－?x2＋≤f(－1)＝0，此时f(x)<f?；当x≥－1时，f?2?4?2?4
x≥－1，??11?1，?x－1＜f?1?所以不等式f(x)≤f?的解集为所以不等式f3解得－1≤x≤2，2?2??4?2x（x＋1）?4?
311.本题主要考查分段函数、二次函数的性质，解简单的等价于x－，故此不等式的解集为?4?42
不等式等基础知识，考查函数思想、等价转化思想．属于中等题． 1742311. 解析：因为θ为锐角，且sin(θ＋15°)＝∈?，所以θ＋15°∈(45°，60°)，505?224272?2θ＋30°∈(90°，120°)，所以cos(2θ＋30°)＝1－2sin(θ＋15°)＝1－23?5sin(2θ25
24＋30°)＝1－cos（2θ＋30°）＝，所以cos(2θ－15°)＝cos[(2θ＋30°)－45°]＝cos(2θ＋25
7224217230°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－＋25225250
33552x＋yxy2y2?12. ?39 解析：令z＝＋＝k，则z＝k2.因k表示可行域内的点与坐标原xyyxxk
?2x－y≥0，?点连线的斜率，由不等式?x＋y－4≥0， ??x≤3
1?12表示的平面区域(如图)k≤2.利用导数求函数z＋k2，k∈?由z对k求导，z′?32?的最值，3k
2k3－22（k－1）（k2＋k＋1）1?2＋2k＝＝，令z′＝0得k＝1，且当k∈?z′<0，当k∈(1，?31?时，kkk15512)时，z′>0，所以当k＝1时，zmin＝3.又当k＝时，zk＝2时，z＝5，所以当k＝时，zmax393
332x＋y55553，?. ＝.故z＝∈?9??9xy
本题主要考查线性规划、导数的计算及应用导数求函数的最值．考查了数形结合、化归等数学思想方法．属于中等题．
13. 60° 解析：如图，已知圆的圆心为C(3，1)，半径为r2，直线的倾斜角为120°.因为
3kOC2kAB＝(3)＝－1，所以OC⊥AB，易知∠xOC＝30°.由图象的对称性知∠AOC＝∠BOC，3
即∠xOA－∠xOC＝∠xOC－∠xOB，所以∠xOA＋∠xOB＝2∠xOC＝60°.本题主要考查直线方程、圆的方程和性质，考查了探索推理能力及数形结合思想，属于难题．
114. 解析：设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]．因为|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，所以a2－a·b2
?2|b|2＋|b|－1≥0，?1－2|b|21－2|b|2
22－2b＝0，即1－|b|cosθ－2|b|＝0，所以cosθ＝，所以－1≤1，即?2|b||b|??2|b|－|b|－1≤0，11|b|≤1，故|b|的最小值为22
本题主要考查向量的数量积、不等式的解法，灵活运用相关知识解决问题的能力，属于难题．
2π15. 解：(1) ＝π，得ω＝2.(2分) ω2π由最低点为M?，－3?，得A＝3.(4分) ?3?
2π3πππ且23φ＝＋2kπ(k∈Z)，0＜φ＜，∴ φ3226
π∴ f(x)＝3sin?2x＋?.(7分) 6??
π(2) y＝f(x)＋f?x 4?
πππ＝3sin?2x＋?＋3sin?2?x＋?＋ 6?4?6???
ππ＝3sin?2x＋?＋3cos?2x＋(9分) 6?6??
5π＝32sin?2x＋?，(11分) 12??
∴ ymax＝2.(12分)
5πππ此时，2x＋2kπ＋，x＝kπ＋k∈Z.(14分) 12224
16. (1) 证明：∵ BC⊥平面PAB，AD平面PAB，
∴ BC⊥AD.(3分)
∵ PA＝AB，D为PB中点，∴ AD⊥PB.(6分)
∵ PB∩BC＝B，∴ AD⊥平面PBC.(7分)
(2) 解：连结DC，交PE于G，连结FG.
∵ AD∥平面PEF，AD平面ADC，
平面ADC∩平面PEF＝FG，
∴ AD∥FG.(10分)
∵ D为PB中点，E为BC中点，连结DE，则DE为△BPC的中位线，△DEG∽△CPG. DGDE1∴ ＝＝.(12分) GCPC2
AFDG1∴ 分) FCGC2
17. 解：(1) ∵ ∠ABC＝120°，∠ACB＝θ，∴ ∠BAC＝60°－θ.
∵ ∠BAD＝90°，∴ ∠CAD＝30°＋θ.
∵ ∠ACD＝60°，∴ ∠ADC＝90°－θ.(2分)
ADAC在△ACD中，∵ ＝， sin∠ACDsin∠ADC
24cosθ∴ AC＝3cosθ.(5分) sin60°
ABAC在△ABC中，∵ ＝， sin∠ACBsinB
ACsinθ∴ AB＝16sin2θ，即h＝16sin2θ.(7分) sin120°
BCAC(2) 在△ABC中，∵ ， sin∠BACsinB
ACsin（60°－θ）∴ BC＝32cosθsin(60°－θ)＝8＋8θ－8sin2θ.(10分) sin120°
则S＝AB＋BC＝83＋83cos2θ＋8sin2θ＝83＋16sin(2θ＋60°)．(12分)
∵ 30°≤θ≤45°，∴ 120°≤2θ＋60°≤150°.
∴ 当θ＝45°时，S取得最小值为3＋8) m．(14分)
18. 解：(1) 设F(－c，0)，∵ A(a，0)，B(0，－b)，C(0，b)，
→→∴ FC＝(c，b)，BA＝(a，b)．
→→∵ FC2BA＝5，∴ ac＋b2＝5. ①(2分)
c1∵ ， ② a2
由①②，得a＝2，c＝1，b3.
x2y2∴ 椭圆E的方程为1.(5分) 43
(2) 线段FC的方程为y＝3x＋3(－1≤x≤0)，设P(x，y)，
7?247→→?则PA2PB＝x(x－2)＋y(y＋3)＝x(x－2)＋3(x＋1)(x＋2)＝4?x＋8?分) 16
77→→当PA2PB取得最小值时，xP?.(10分) 8?88→→(3) 设M(0，m)，由NF＝λFM，得N(－1－λ，－λm)．(12分)
代入椭圆E的方程，得3(－1－λ)2＋4(－λm)2－12＝0.
即4(λm)2＝12－3(1＋λ)2.(14分) ∵ m∈[－，，∴ 0≤4(λm)2≤12λ2.
则0≤12－3(1＋λ)2≤12λ2.
3?3解得≤λ≤1，即实数λ的取值范围为??5，1?.(16分) 5
??2a1＝A＋B＋1，19. 解：(1) 分别令n＝1、2，代入条件，得?(2分) ??2a2＋a1＝4A＋2B＋1.
1A＝239又a1＝，a2＝，解得(4分) 243B＝.2
13∵ an＋Sn＝n2＋n＋1， ① 22 ???
13∴ an＋1＋Sn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)＋1. ② 22
②－①，得2an＋1－an＝n＋2.(6分)
1则an＋1－(n＋1)＝n－n)． 2
1∵ a1－1≠0， 2
11∴ 数列{an－n}的等比数列．(8分) 22
11an－n＝an＝n＋分) 22(2) ∵ 数列{an}是等差数列，∴ 可设an＝dn＋c，
n（d＋c＋dn＋c）d2?d则Sn＝n＋?c2n. 22
3ddc＋n＋c.(13分) ∴ an＋Sn＝n2＋??22
B－1d3d则A＝，B＝c＋，c＝1.∴ 3.(16分) 22A
20. 解：(1) f(1)≤f(0)，即1－2(1－a)φ(1－a)≤0.
3当a＞1时，φ(1－a)＝－1，∴ 1＋2(1－a)≤0，a(2分) 2
1当a≤1时，φ(1－a)＝1，∴ 1－2(1－a)≤0，a≤. 2
13综上，aa≥.(4分) 22
(2) 当x＝1时，f(x)＝f(1)．
由题意，x∈[0，1)，f(x)≥f(1)恒成立．(5分)
1° 当a≥1时，
由f(x)≤f(1)，得x2＋2x(x2－a)≥3－2a，即2a(x－1)≤2x3＋x2－3. ①
2x3＋x2－3∵ x∈[0，1)，①式即2a≥，即2a≥2x2＋3x＋3.(7分) x－1
上式对一切x∈[0，1)恒成立，∴ 2a≥2＋3＋3，则a≥4.(8分)
2° 当0＜a≤1时，由f(x)≤f(1)，得x2－2x(x2－a)φ(x2－a)≥2a－1.
(ⅰ) 当a≤x≤1时，
x2－2x(x－a)≥2a－1，即2a(x－1)≥2x3－x2－1. ②
2x3－x2－1∵ x∈[0，1)，②式即2a≤，即2a≤2x2＋x＋1.(10分) x－1
上式对一切x∈[0，1)恒成立，
∴ 2a≤2a＋a＋1，此式恒成立．(11分)
(ⅱ) 当0≤xa时，
x2＋2x(x2－a)≥2a－1，即2a(x＋1)≤2x3＋x2＋1. ③
2x3＋x2＋1∵ x∈[0，1)，③式即2a≤， x＋1
即2a≤2x2－x＋1.(13分)
111) 当≤0＜a≤时，2a≤2(2a＋1，∴ a≤1. 416
1结合条件得0＜a≤分) 16
11172) 当a＞＜a≤1)，即 a≤1时，2a≤1－ a. 416816
17结合条件得a1616
7由1)、2)，得0＜a≤.(15分) 16
7综上，得0＜a≤或a≥4.(16分) 16
无锡市2012年秋学期普通高中期末考试试卷
1. {x|0＜x≤1} 解析：集合A＝(0，2)，?UB＝(－∞，1]，A∩?UB＝{x|0＜x≤1}．
1－2i（1－2i）（2－i）2－2－5i2. －i 解析：＝－i. 52＋i（2＋i）（2－i）
3203. 64 200＝64.本题主要考查统计中的抽样方法及运算能力，属于容易题． 400＋320＋280
4. 17 解析：S＝237＋3＝17.
BCAC25. 1 解析：∠B＝30°，根据正弦定理得AC3sin30°＝1. 本题主要考查sinAsinBsin45°
三角形中的正弦定理及三角形内角和公式等基础知识，属于容易题．
6. [－6，2] 解析：a＋b＝(3，2＋k), |a＋b|9＋k＋4k＋4≤5，k2＋4k－12≤0，－6≤k≤2.本题主要考查向量的模及解一元二次不等式；考查转化运算能力．属于中等题．
7. －1≤a≤6 解析：綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，命题p对应
??a－4≤2，的实数集合为A＝(a－4，a＋4), 命题q对应的实数集合为B＝(2，3)，BA，?上面两个?a＋4≥3，?
等号不能同时成立，所以－1≤a≤6.本题考查命题及真假判定，考查等价转化的思想．属于中等题．
?x≤0，?8. 2 解析：画出区域?y≥0，是一个等腰直角三角形，其面积为8，当直线x＋y＝a与y轴正半
??y－x≤4
轴相交时，所经过平面区域的面积才可能为7，x＋y＝a与y轴交点坐标为(0，a)，与直线y－x＝4的
a－4a－41（4－a）＝1，所以a＝2，则t＝2.本题考查线性规划问题，涉及到222求直线交点、三角形面积等．属于中等题．
9. (x－2)2＋(y＋2)2＝1 解析：圆C1的圆心(－1，1)，半径为1，设圆C2的圆心(a，b)，半径也为b－11＝－1，?a＋1?a＝2，1，则?所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1. ?b＝－2.a－1b＋1?－1＝022
210. －30 解析：a23＝a1a4，即(a1－4)＝a1(a1－6)a1＝8，a20＝8－(20－1)32＝－30.
11. y2＝3x 解析：过点B作准线的垂线，垂足为D，则根据抛物线定义，BF＝BD，在直角三角
px－.形BCD中，BC＝2BD，故∠DBC＝60°，所以直线AF的倾斜角为60°，直线AF的方程为y＝3??2p3又AF＝3，所以xA＝3－yA＝3(3－p)．代入抛物线方程得p＝，故抛物线方程为y2＝3x.本题考22
查抛物线的定义、方程、直线方程．属于中等题．
π12. 解析：f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ) －3sin(3x＋φ)＝－6
πππ2sin?＋φ－?是奇函数，所以φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋k∈Z.又0＜φ＜π，所以k＝666??
π0，φ＝.本题考查复合函数的导数、三角函数的性质及三角变换．属于中等题． 6
13. 85 解析：A、B两点分别位于x轴的上方和下方，在对应法则f：P(m，n)→P′(m，2|n|)变换下，A′、B′的坐标分别为(－2，12)、(6，4)，线段AB与x轴的交点为N(4，0)，点N在对应法则f：P(m，n)→P′(m，2|n|)变换下不变，点M的对应点M′经过的路线的长度为A′N＋B′N＝（4＋2）＋12＋（6－4）＋4＝85.本题考查点的坐标及平面上两点间距离问题．考查了数形结合与变换的思想及阅读理解与推理运算能力．属于难题．
（1－t）x－t223t2
14. 解析：y＝(1－t)t≠0，函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，3xx2ty′＝>0，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调增，所以[a，b](－∞，0)或[a，b] (0，＋∞)，所x
a<b<0，0<a<b，??????（1－t）a－t＝a，?（1－t）a－ta，（1－t）x－taa以?或?所以方程x有两个不同的负实根或两x
（1－t）b－t（1－t）b－t＝b，?b?bb.22222
个不同的正实根，即方程x2－(1－t)x＋t2＝0有两个不同的负实根或两个不同的正实根，所以Δ＝(11－t)2－4t2>0，－1<t<，a＋b＝1－t，ab＝t2，所以方程只能有两个不同的正实根，所以b－a＝3
1423?（a＋b）－4ab＝－3t－2t＋1－3?t＋3＋≤.本题主要考查函数的性质及应用．考查了33
函数与方程、不等式的思想及灵活运用相关基础知识解决问题的能力．属于难题． 115. 解：(1) f(x)＝(m＋n)·m＝sin2x＋1＋3sinxcosx2
1－cos2x3131＝＋1＋＋sin2x－cos2x＋2 22222
π＝sin?2x－?＋2，(6分) 6??
2π∵ ω＝2，∴ T＝π.(8分) 2
ππ5πππ(2) ∵ x∈?，，∴ 2x－，(9分) 366?42
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