等差数列与等比数列的证明方法
证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、 定义法
10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：
an?1?an?d(常数)??an?是等差数列
a2n?2?a2n?d(常数)??a2n?是等差数列
a3n?3?a3n?d(常数)??a3n?是等差数列
20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：
an?an?1?d(n?2)??an?是等差数列
an?1?an?an?an?1(n?2)??an?是等差数列
30.证明数列是等比数列的充要条件的方法：
an?1?q(q?0且为常数，a1?0)??an?为等比数列 an
40.证明数列是等比数列的充要条件的方法：
an?q（n>2，q为常数且≠0）??an?为等比数列 an?1
注意事项：用定义法时常采用的两个式子an?an?1?d和an?1?an?d有差别，前者必须加上“n≥2”，否则n?1时a0无意义，等比中一样有：n≥2时，有an???q（常数?0）；②an?1
n?N?时，有an?1． ???q（常数?0）an
例1. 设数列a1,a2,?,an,?中的每一项都不为0。 证明：?an?为等差数列的充分必要条件是：对任何n?N，都有
111n。 ?????a1a2a2a3anan?1a1an?1
证明：先证必要性 设{an}为等差数列，公差为d，则 当d=0时，显然命题成立 当d≠0时， ∵11?11????? anan?1d?anan?1?
再证充分性： ∵1n111 ???① ??????an?an?1a1?an?1a1?a2a2?a3a3?a4
11n?1111 ???② ???????an?an?1an?1?an?2a1?an?2a1?a2a2?a3a3?a4∴
②﹣①得：
1n?1n ??an?1?an?2a1?an?2a1?an?1两边同以anan?1a1得：a1?(n?1)an?1?nan?2 ???③ 同理：a1?nan?(n?1)an?1???④ ③—④得：2nan?1?n(an?an?2) 即：an?2?an?1?an?1?an ?an?为等差数列 例2. 设数列{an}的前n项和为Sn，试证{an}为等差数列的充要条件是
Sn?
n(a1?an)
,(n?N*)。 2
证：?）若{an}为等差数列，则
a1?an?a2?an?1?a3?an?2?……， 故
2Sn?(a1?an)?(a2?an?2)?.......?(an?a1)
Sn?
n(a1?an)
2
（?）当n≥2时，由题设，Sn?1?
(n?1)(a1?an?1)n(a1?an)
,Sn?
22
所以an?Sn?Sn?1?
n(a1?a2)(n?1)(a1?an?1)
? 22
同理有an?1?
(n?1)(a1?an?1)n(a1?an)
?
22
(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1)
?n(a1?an)?
22
从而an?1?an?
整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立. 从而{an}是等差数列.
例3.已知数列?an?是等比数列（q??1），Sn是其前n项的和，则Sk，S2k?Sk，S3k?S2k，?，仍成等比数列。
证明一：
（1）当q=1时，结论显然成立；
（2）当q≠1时， Sk?
a1?1?qk?1?q?
,S2k?
a1?1?q2k?1?q
,S3k?
a1?1?q3k?1?q
S2k?Sk?
a1?1?q2k?1?q
a1?1?qk?1?q
?
a1qk?1?qk?1?q?
S3k?S2k?
2
a1?1?q3k?1?q
2
?
a1?1?q2k?1?q
a1q2k?1?qk?1?q
2
??S2k?Sk??
a12q2k?1?qk?(1?q)2a1?1?qk?a1q2k?1?qk?a12q2k?1?qk?
? Sk?(S3k?S2k)??
(1?q)21?q1?q
∴?S2k?Sk?=Sk?(S3k?S2k)
∴Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比数列.
证明二：S2k－Sk=(a1?a2?a3??a2k)－(a1?a2?a3??ak)
=ak?1?ak?2?ak?3??a2k=qk(a1?a2?a3??ak)=qkSk?0
同理，S3k－S2k=a2k?1?a2k?2?a2k?3??a3k= q2kSk?0
∴Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比数列。
练习：
2
二、中项法
(1).(充要条件)
若2an?1?an?an?2??an?是等差数列
?a?c) (注：三个数a,b,c为等差数列的充要条件是:2b
(充分条件)
2an?an?1?an?1(n?2)?{an}是等差数列，
（2）.(充要条件)
若 anan?2?an?12(an?0) ?{an}是等比数列
(充分条件)
2an?an?1?an?1（n≥1）?{an}是等比数列，
注:
b?(a?c?0)?是a、b、c等比数列的充分不必要条件
b??是a、b、c等比数列的必要不充分条件
.
b?(a?c?0)?是a、b、c等比数列的充要条件.
任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
三、通项公式与前n项和法
1. 通项公式法
（1）.若数列通项an能表示成an?an?b（a，b为常数）的形式，
则数列?an?是等差数列。(充要条件)
(2).若通项an能表示成an?cqn(c，q均为不为0的常数，n?N?)的形式，
则数列?an?是等比数列．(充要条件)
2. 前n项和法
(1).若数列?an?的前n项和Sn能表示成Sn?an2?bn (a，b为常数)的形式，
则数列?an?是等差数列；(充要条件)
(2).若Sn能表示成Sn?Aqn?A(A，q均为不等于0的常数且q≠1)的形式，
则数列?an?是公比不为1的等比数列． (充要条件)
四、归纳—猜想---数学归纳证明法
先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。
这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n?k时命题成立”到“n?k?1时命题成立”要会过渡．
五、反证法
解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．
六、等差数列与等比数列的一些常规结论
若数列{an}是公比为q的等比数列
（1）数列{an}{?an}（?为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；
（2）若{bn}是公比为q?的等比数列，则数列{an?bn}是公比为qq?的等比数列；
?1?1（3）数列??是公比为的等比数列； q?an?（4）{an是公比为q的等比数列；
（5）在数列{an}中，每隔k(k?N?)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk?1；
（6）若m，n，p(m，n，p?N?)成等差数列时，am，an，ap成等比数列；
（7）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n均不为零时，则Sn，S2n?Sn，S3n?S2n成等比数列；
（8）若{logban}是一个等差数列，则正项数列{an}是一个等比数列．
若数列{an}是公差为d等差数列，
则
（1）{kan?b}成等差数列，公差为kd（其中k?0，k，b是实常数）；
（2）{S(n?1)k?Skn}，（k?N，k为常数），仍成等差数列，其公差为k2d；
（3）若{an}{ ，bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，则{an?bn}是等差数列，公差为d1?d2；
（4）当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列；
（5）m，n，p(m，n，p?N?)成等差数列时，am，an，ap成等差数列．
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