学大教育个性化教学教案
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.
【知识框架】
整 式同底数幂的乘法：幂的乘方积的乘方同底数幂的除法：零指数幂负指数幂 单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘 整式的乘法多项式与多项式相乘 平方差公式_________________________________ 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式【知识点讲解】
一、 同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则: am?an?am?n(m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用
法则运算时,要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；
②指数是1时，不要误以为没有指数；
③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；
④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为am?an?ap?am?n?p（其中m、n、p均为正数）；
⑤公式还可以逆用：am?n?am?an（m、n均为正整数）
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二．幂的乘方与积的乘方
1. 幂的乘方法则：(am)n?amn(m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.
2. (am)n?(an)m?amn(m,n都为正数).
3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，
如将（-a）3化成-a3
?an(当n为偶数时),一般地,(?a)??n ?a(当n为奇数时).?n
4．底数有时形式不同，但可以化成相同。
5．要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。
6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)n?anbn（n
为正整数）。
7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
三. 同底数幂的除法
1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即am?an?am?n (a≠0,m、n都是正数,
且m>n).
2. 在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0. ②任何不等于0的数的0次幂等于1,即a0?1(a?0),如100?1,(-2.50=1),则00无意义.
③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即
1a?p?p( a≠0,p是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正a
11的; 当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如(-2)-2?,(?2)?3?? 48
④运算要注意运算顺序.
四. 整式的乘法
1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘
与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
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③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
2．单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序。
3．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多
项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘
(x?a)(x?b)?x2?(a?b)x?ab，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到(mx?a)(nx?b)?mnx2?(mb?ma)x?ab
五．平方差公式
1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即(a?b)(a?b)?a2?b2。 其结构特征是：
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数； ②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
六．完全平方公式
1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，
即(a?b)2?a2?2ab?b2；
口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；
2．结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方；
②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现
(a?b)2?a2?b2这样的错误。
七．整式的除法
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1．单项式除法单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；
2．多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。
【典例讲解】
（一）填空题（每小题2分，共计20分）
1．x10＝（－x3）2·_________＝x12÷x（ ）
2．4（m－n）3÷（n－m）2＝___________．
3．－x2·（－x）3·（－x）2＝__________．
4．（2a－b）（）＝b2－4a2．
5．（a－b）2＝（a＋b）2＋_____________．
16．（）－2＋?0＝_________；4101×0.2599＝__________． 3
217．20×19＝（ ）·（ ）＝___________． 33
8．用科学记数法表示－0.0000308＝___________．
9．（x－2y＋1）（x－2y－1）2＝（ ）2－（ ）2＝_______________．
10．若（x＋5）（x－7）＝x2＋mx＋n，则m＝__________，n＝________．
（二）选择题（每小题2分，共计16分）
11．下列计算中正确的是????????????????????????（ ）
（A）an·a2＝a2n （B）（a3）2＝a5 （C）x4·x3·x＝x7 （D）a2n－3÷a3－n＝a3n－6
12．x2m＋1可写作????????????????????????????（ ）
（A）（x2）m＋1 （B）（xm）2＋1 （C）x·x2m （D）（xm）m＋1
13．下列运算正确的是????????????????????????（ ）
（A）（－2ab）·（－3ab）3＝－54a4b4
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（B）5x2·（3x3）2＝15x12
（C）（－0.16）·（－10b2）3＝－b7
（D）（2×10n）（1×10n）＝102n 2
14．化简（anbm）n，结果正确的是?????????????????????（ ）
（A）a2nbmn （B）anbm （C）anbmn （D）a2nbm
15．若a≠b，下列各式中不能成立的是??????????????????（ ）
（A）（a＋b）2＝（－a－b）2（B）（a＋b）（a－b）＝（b＋a）（b－a）
（C）（a－b）2n＝（b－a）2n （D）（a－b）3＝（b－a）3
16．下列各组数中，互为相反数的是???????????????????（ ）
（A）（－2）－3与23 （B）（－2）－2与2－2
11（C）－33与（－）3 （D）（－3）－3与（）3 332n2n
17．下列各式中正确的是????????????????????????（ ）
（A）（a＋4）（a－4）＝a2－4（B）（5x－1）（1－5x）＝25x2－1
（C）（－3x＋2）2＝4－12x＋9x2 （D）（x－3）（x－9）＝x2－27
18．如果x2－kx－ab＝（x－a）（x＋b），则k应为?????????????（ ）
（A）a＋b （B）a－b （C）b－a （D）－a－b
（三）计算（每题4分，共24分）
19．（1）（－3xy2）3·（
（2）4a2x2·（－13xy）2； 624331axy）÷（－a5xy2）； 52
（3）（2a－3b）2（2a＋3b）2；
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（4）（2x＋5y）（2x－5y）（－4x2－25y2）；
（5）（20an－2bn－14an－1bn＋1＋8a2nb）÷（－2an－3b）；
（6）（x－3）（2x＋1）－3（2x－1）2．
20．用简便方法计算：（每小题3分，共9分）
（1）982；（2）899×901＋1； （3）（
1000102002）·（0.49）7．
（四）解答题（每题6分，共24分）
21．已知a2＋6a＋b2－10b＋34＝0，求代数式（2a＋b）（3a－2b）＋4ab的值．
a2?b2
2222．已知a＋b＝5，ab＝7，求，a－ab＋b的值． 2
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23．已知（a＋b）2＝10，（a－b）2＝2，求a2＋b2，ab的值．
24．已知a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，求证a＝b＝c．
（五）解方程组与不等式（25题3分，26题4分，共7分）
(x?1)(y?5)?x(y?2)?025．? ?(x?4)(y?3)?xy?3.?
26．（x＋1）（x2－x＋1）－x（x－1）2＜（2x－1）（x－3）．
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