第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲要求
1．了解任意角的概念；了解弧度制的概念．
2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知识梳理
1．角的概念的推广
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
3.任意角的三角函数
三角函数正弦余弦
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么定义y叫做α的正弦，记作sin
αx叫做α的余弦，记作
cosα
各象
限符
号ⅠⅡⅢ
Ⅳ＋＋－－＋－－＋正切y
tanαx＋－＋－
三角函数线
有向线段口诀
要点精析
1.①与（0°≤有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：
②终边在x轴上的角的集合：
③终边在y轴上的角的集合：
④终边在坐标轴上的角的集合：
⑤终边在y=x
轴上的角的集合：⑥终边在⑦若角⑧若角⑨若角
⑩角与角与角与角
与角
轴上的角的集合：的终边关于
x
轴对称，则角的终边关于
y
轴对称，则角的终边在一条直线上，则角的终边互相垂直，则角
与角与角与角与角的关系：的关系：的关系：的关系：
2.角度与弧度的互换关系：360°=2180°=1°=0．017451=57．30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．
典型例题
考点一象限角与三角函数值的符号判断
cosα【例1】(1)若sinα·tanα＜0，且tanα
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角)．
cosα解析由sinα·tanα＜0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限的角，由cosα，tanα
tanα异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．
答案C
(2)sin2·cos3·tan4的值()．
A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在
解析∵sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，
∴sin2·cos3·tan4＜0.
答案A
规律方法熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限．
θcos2＝－cosθθ【训练1】设θ是第三象限角，且)．22
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限|
解析由θ是第三象限角，知
cosθ2θ2∵|＝－cosθθθ222
2试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ4答案B考点二三角函数定义的应用【例2】已知角θ的终边经过点P(－m)(m≠0)且sinθ＝
的值．
解3＋m∵m≠0，∴m＝±当m＝P的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，
x－6y15∴cosθ＝θ＝r24x－3当m＝－5时，r＝2P的坐标为(－x－36y－∴cosθ＝θ＝r224x－3
615综上可知，cosθ＝－θ＝－cosθ＝－θ＝4343
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．
3【训练2】已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋cosα
解设角α终边上任一点为P(k，－3k)，22则r＝＋－3k＝10|k|.
当k＞0时，r＝－3k31∴sinα＝10，cosαk10k3∴10sinα＋10＝0；cosα
当k＜0时，r＝－10k，
－3k3∴sinα＝－1－10kcosαk
3∴10sinα＋10＝0.cosα
3综上，10sinα＋cosα
考点三扇形弧长、面积公式的应用
【例3】已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
审题路线11(1)角度化为弧度?求扇形的弧长?S弓＝S扇－S△?分别求S扇＝△＝2sinα?计算得S弓．22由题意得，r＝3＋m，∴sinθ＝2m24
(2)由周长C与半径R的关系确定R与α的关系式?代入扇形面积公式?确定S扇与α的关系式?求解最值．
解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则
ππ10πα＝60°＝333
110π1π2S弓＝S扇－S△＝×sin2323
505032)．＝
32
C扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝2＋α
11∴S扇＝2＝22
1C21C2C2
＝2424＋4α＋α24＋α＋16
αC22当且仅当α＝4，即α＝2rad时，扇形面积有最大值16
法二由已知，得l＋2R＝C，
1112∴S扇＝＋RC)
22
2
2C＋16
2CC故当R＝rad时，这个扇形的面积最大，最大值为416
规律方法(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.
【训练3】(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？
解析设扇形的圆心角为θrad，则扇形的周长是2r＋rθ.
依题意：2r＋rθ＝πr，
∴θ＝(π－2)rad.
1212∴扇形的面积S＝θ＝.22
(2)一扇形的周长为20cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解设扇形的半径为r，弧长为l，
则l＋2r＝20，即l＝20－2r(0＜r＜10)．
11∴扇形的面积S＝22
22＝－r＋10r＝－(r－5)＋25.∴当r＝5cm时，S有最大值25cm2，
l此时l＝10cm，α＝rad.r
因此，当α＝2rad时，扇形的面积取最大值．(2)法一
课堂小结
1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．
2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．
创新突破4——以任意角为背景的应用问题
【典例】(2012·山东卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P
→
的位置在(0,0)，圆在
x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为________．
突破1：理解点P转动的弧长是解题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形．
突破2：在直角三角形中利用三角函数定义求边长．
突破3：由几何图形建立P点坐标与边长的关系．
解析如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ,Q为垂足．
π2，＝2，故∠DCP＝2，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－
2
根据题意得劣弧
2，
所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos2，所以P点的坐标为(2－sin2,1－cos2)，
→
故OP＝(2－sin2,1－cos2)．
答案(2－sin2,1－cos2)
[反思感悟](1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等知识来解决．
(2)常见实际应用问题有：表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等．
【自主体验】
π22已知圆O：x＋y＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动N，以ON为终边的角记为α，2
则tanα＝()．
A．－1B．1C．－2D．2
π
ππ4解析圆的半径为ON
tanα＝24
1.
答案B
针对训练
一、选择题
1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是()．
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
解析∵sinα＜0，则α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tanα＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．
答案C
2．(2014·汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()．
π2πA.B.33
解析设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R，∴圆弧长为
度数为
答案RC
223．点P从(1,0)出发，沿单位圆x＋y＝1按逆时针方向运动
1
2
21
2
2πQ点，则Q的坐标为(33
2)．
2π
1
2π32
解析
由弧长公式得，P点逆时针转过的角度α＝Q
3
答案A
3π44．已知点P
)．
πA.43π5π7πB.C.D.444
3π3π解析由sin知角θ是第四象限的角，44
3πcos7π4∵tanθ＝43πsin4
答案D
5．有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－x
x＋y22其中正确的命题的个数是()．
A．1B．2C．3D．4
解析①正确，②不正确，
π2ππ2π∵sin3333
③不正确．sinα＞0，α的终边也可能在y轴的正半轴上．
xx④不正确．在三角函数的定义中，cosα＝22rx＋y
答案A二、填空题
6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－＝______.解析
答案因为sinθ＝－8
y2＋y225y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.52y5
47.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为cosα＝5
____.
43因为A点纵坐标yA＝A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－55
3的定义可得cosα＝－53答案－5
8．函数y＝
x－1的定义域为________．解析解析
1∵2cosx－1≥0，∴cosx≥2
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．π2kπ－33Z)．∴x∈
答案π2kπ－33Z)
三、解答题
9．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α写出来．
解(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为－21°，339°，699°.
(2)终边在上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为－60°，120°.
10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
2(2)一个扇形OAB的面积是1cm，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解(1)设圆心角是θ，半径是
r，则
12
(舍去)．＝4，
2
1∴扇形的圆心角为2
(2)
设圆的半径为rcm，弧长为l
cm，
l∴圆心角α＝r
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1弧度．
∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，
∴AB＝2sin1(cm)．
提升训练
一、选择题
1．(2014·杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是
()．
A．(－2,3]B．(－2,3)
C．[－2,3)D．[－2,3]
解析由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在第二象限或y
解得－2＜a≤3.
答案A
2．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；
④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是()．
A．1B．2C．3D．4
解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，
π5ππ5π也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin但故④错；当θ＝π，cosθ6666
＝－1＜0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
答案A
二、填空题
3．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则
解析原式＝sinααcosαsinα|sinα|α与cosα的符号相反，所以原|cosα|cosα
式＝0.
答案0
三、解答题
4．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求α角的集合；
α(2)求2
ααα(3)试判断tan222
解(1)由sinα＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tanα＞0，知α在第一、三象限，
故α角在第三象限，其集合为
3π2k＋1π＜α＜2kπ＋
23π(2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋2
πα3π得kπ＋Z，224
α故2
αααα2222ααα所以tan222
αααα当2222ααα所以tan222
ααα因此，tan222(3)当
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