【6份】2017高考数学理（北师大版）
一轮复习高考大题规范练及答案
目录
高考大题规范练(一) 函数与导数 .................................................................... 1
高考大题规范练(二) 三角函数、解三角形 ...................................................... 9
高考大题规范练(三) 数列 .................. 15
高考大题规范练(四) 立体几何 ........... 21
高考大题规范练(五) 平面解析几何 ............................................................... 32
高考大题规范练(六) 概率与统计 .................................................................. 40
高考大题规范练(一) 函数与导数
1．(2015·广东卷)设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a。
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；
(3)若曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m≤ 32a－e－1。 解 (1)由题意可知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝(1＋x2)′ex＋(1＋x2)(ex)′＝(1＋x)2ex≥0，
故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间。
(2)证明：∵a>1，∴f(0)＝1－a<0，且f(a)＝(1＋a2)ea－a>1＋a2－a>2a－a＝a>0。
∴函数f(x)在区间(0，a)上存在零点。
1
又由(1)知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点。
(3)证明：由(1)及f′(x)＝0，得x＝－1。
2??2??－1，又f(－1)＝ea，即Pea?， ?
2ea－02∴kOPae －1－0
2又f′(m)＝(1＋m)2em，∴(1＋m)2em＝a－e。
令g(m)＝em－m－1，则g′(m)＝em－1，
∴由g′(m)>0，得m>0，由g′(m)<0，得m<0。
∴函数g(m)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增。 ∴g(m)min＝g(0)＝0，即g(m)≥0在R上恒成立，
即em≥m＋1。
2∴a－e(1＋m)2em≥(1＋m)2(1＋m)＝(1＋m)3，
即 33a－e≥1＋m。故m≤ a－e－1。
2．已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b1－2x(b∈R)。
(1)当b＝4时，求f(x)的极值；
1??(2)若f(x)在区间?0，3上单调递增，求b的取值范围。 ??
－5x?x＋2?解 (1)当b＝4时，f′(x)＝f′(x)＝0得x＝－21－2x
或x＝0。
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(－2,0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
2
1???当x∈0，2?时，f′(x)<0，f(x)单调递减， ??
故f(x)在x＝－2处取极小值f(－2)＝0，在x＝0处取极大值f(0)＝4。
－x[5x＋?3b－2?](2)f′(x)＝ 1－2x
－x1????因为当x∈0，3时，， ??1－2x
1??5依题意当x∈?0，3?时，有5x＋(3b－2)≤0，从而3(3b－2)≤0，??
1??所以b的取值范围为?－∞，9?。 ??
3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝emx＋x2－mx。
(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；
(2)若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围。
解 (1)证明：f′(x)＝m(emx－1)＋2x。
若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)>0。
若m<0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1>0，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f′(x)>0。
所以，f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增。
(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值。
所以对于任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要条件是??f?1?－f?0?≤e－1，? ??f?－1?－f?0?≤e－1，
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