2013年全国统一考试数学理工农医类
(湖南卷)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()．
A．抽签法B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
3．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B
，则角A等于()．
A．
ππππ B． C． D． 12643
?y?2x,?4．若变量x，y满足约束条件?x?y?1,则x＋2y的最大值是()．
?y??1.?
555A．? B．0 C． D． 232
5．函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()．
A．3 B．2 C．1 D．0
6．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()．
A．
11] B．
12]
C．[1
1] D．[1
2]
7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()．
8．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于()．
A．2 B．1 C．84 D． 33
.
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．
(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)
9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：??x?t,?x?3cos?,(t为参数)过椭圆C：?(φ?y?2sin??y?t?a
为参数)的右顶点，则常数a的值为__________．
10．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为__________．
117的?O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为__________．
(二)必做题(12～16题)
12．12)若 ?T
0x2dx＝9，则常数T的值为__________．
13．13)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为__________．
x2y2
14．14)设F1，F2是双曲线C：2?2?1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点．若ab
|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为__________．
15．15)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－1*，n∈N，则 n2
(1)a3＝__________；
(2)S1＋S2＋?＋S100＝__________.
16．16)设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0.
(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为__________；
(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)
①?x∈(－∞，1)，f(x)＞0；
②?x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x∈(1,2)，使f(x)＝0.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．17)(本小题满分12分)已知函数f(x)?sin?x?
(1)若α是第一象限角，且f(α)
??π?π??2xsin，g(x)＝2. ?cosx????26?3??g(α)的值； (2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．
18．18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
19．19)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝
3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
20．20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20)，B(－10,0)，C(14,0)处．现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心．
(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：
(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
21．21)(本小题满分13分)过抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l. ?????????(1)若k1＞0，k2＞0，证明：FM·FN＜2p2；
(2)若点M到直线l
E的方程．
22．22)(本小题满分13分)已知a＞0，函数f(x)＝x?a. x?2a
(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；
(2)是否存在a，使函数y＝f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
2013年全国统一考试数学理工农医类
(湖南卷)答案与解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013湖南，理1)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
解析：z＝i＋i2＝－1＋i，对应点为(－1,1)，故在第二象限，选B．
2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )．
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
答案：D
解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样．
3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B
，则角A等于( )．
A．ππππ B． C． D． 12643
π2π，故A＝或.又△332答案：D 解析：由2asin B
得2sin Asin B
B，故sin A
＝
ABC为锐角三角形，故A＝π. 3
?y?2x,?4．(2013湖南，理4)若变量x，y满足约束条件?x?y?1,则x＋2y的最大值是( )．
?y??1.?
A．?555 B．0 C． D． 232
答案：C
解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分．
令x＋2y＝d，即y??1dx?， 22
由线性规划知识可得最优点为?,145?12???. ，所以d＝max?33333??
5．(2013湖南，理5)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为
( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
答案：B
解析：设f(x)与g(x)图象的交点坐标为(x，y)，
则y＝2ln x，y＝x2－4x＋5，联立得2ln x＝x2－4x＋5，令h(x)＝x2－4x＋5－2ln x(x＞0)，
2＝0得x1
＝1x2
＝1舍)． x
当h′(x)＜0时，即x∈
(0,1时，h(x)单调递减； 由h′(x)＝2x－4－
当h′(x)＞0，即x∈
(1?)时，h(x)单调递增．
又∵h(1)＝2＞0，h(2)＝1－2ln 2＜0，h(4)＝5－2ln 4＞0，
∴h(x)与x轴必有两个交点，故答案为B．
6．(2013湖南，理6)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )．
A．
11] B．
12]
C．[1
1] D．[1
2]
答案：A
解析：由题意，不妨令a＝(0,1)，b＝(1,0)，c＝(x，y)，由|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2
＝1，|c|
可看做(x，y)到原点的距离，而点(x，y)在以(1,1)为圆心，以1为半径的
圆上．如图所示，当点(x，y)在位置P时到原点的距离最近，在位置P′时最远，而PO
1，P′O
1，故选A．
7．(2013湖南，理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正
方体的正视图的面积不可能等于( )．
A．1 B
C
答案：C
解析：根据三视图中正视图与俯视图等长，
θ，如图所示．
D
故正视图的面积为S
θ(0≤θ≤
∴1≤S
而π)， 411. <1，
故面积不可能等于22
8．(2013湖南，理8)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )．
A．2 B．1 C．
答案：D 84 D． 33
解析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．
则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)．
设△ABC的重心为D，则D点坐标为? ?44?,?. ?33?
设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴的对称点P1为(－m,0)，因为直线BC方程为x＋y－4＝0，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4－m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，
∴kPD?kP2D， 1
4?4?m
即， ?44?m?433
4解得，m＝或m＝0. 3
当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．
∴m＝44. 3
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．
(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)
9．(2013湖南，理9)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：?
C：??x?t,(t为参数)过椭圆?y?t?a?x?3cos?,(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为__________． y?2sin??
答案：3
x2y2
??1，解析：由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为94
所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a，解得a＝3.
10．(2013湖南，理10)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为__________．
答案：12
解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，
即a2＋4b2＋9c2≥12，当a＝2b＝3c＝2时等号成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值为12.
11．(2013湖南，理11)如图，在半径为7的?O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为__________．
解析：如图所示，取CD中点E，连结OE，OC．
由圆内相交弦定理知PD·PC＝PA·PB，
所以PC＝4，CD＝5，则CE＝ 5，OC
2
所以O到CD距离为OE
?. 2(二)必做题(12～16题)
12．(2013湖南，理12)若
答案：3
解析：∵??T0x2dx＝9，则常数T的值为__________． ?13?x?'＝x2， ?3?
∴?T
0x2dx＝13T13x|＝T－0＝9，∴T＝3. 303
13．(2013湖南，理13)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为__________．
答案：9
解析：输入a＝1，b＝2，不满足a＞8，故a＝3；
a＝3不满足a＞8，故a＝5；
a＝5不满足a＞8，故a＝7；
a＝7不满足a＞8，故a＝9，满足a＞8，终止循环．输出a＝9.
x2y2
14．(2013湖南，理14)设F1，F2是双曲线C：2?2?1(a＞0，b＞0)的两个焦点，Pab
是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为__________．
解析：不妨设|PF1|＞|PF2|，由??|PF1|?|PF2|?6a,可得 |PF|?|PF|?2a?12
?|PF1|?4a, ??
|PF2|?2a.
∵2a＜2c，∴∠PF1F2＝30°，
?2c?2??4a?2??2a?2
∴cos 30°＝， 2
4a
整理得，c2＋3a2
－＝0，即e2－＋3＝0，∴e?15．(2013湖南，理15)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－1*，n∈N，则 n2
(1)a3＝__________；
(2)S1＋S2＋?＋S100＝__________.
答案：(1)?11?1? (2)?100?1? 163?2?
16．(2013湖南，理16)设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0.
(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为__________；
(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)
①?x∈(－∞，1)，f(x)＞0；
②?x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x∈(1,2)，使f(x)＝0.
答案：(1){x|0＜x≤1} (2)①②③
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(2013湖南，理17)(本小题满分12分)已知函数f(x)?sin?x?
g(x)＝2sin2??π?π???cosx????，6?3??x. 2
(1)若α是第一象限角，且f(α)
＝，求g(α)的值； 5
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合． 解：f(x)?sin?x?
??π?π???cosx????
6?3??11
sin x－cos x＋cos xsin x 22
x，
2xg(x)＝2sin＝1－cos x. 2
3(1)由f(α)sin
α＝. 5又α是第一象限角，所以cos α＞0.
从而g(α)＝1－cos α＝1
＝1?
41?. 55
(2)f(x)≥g(x)x≥1－cos x，x＋cos x≥1.
π?1??. 6?2
ππ5π从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 666
2π即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z. 3于是sin?x???
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为
2π??x|2kπ?x?2kπ?,k?Z?. ?3??
18．(2013湖南，理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
解：(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有
1C1
3C12＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为82?. 369
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)， 所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，则
n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P(X＝k)＝
P(X＝1)＝nk得 N246231?，P(X＝4)＝?. ，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝1515155155
故所求的分布列为
所求的数学期望为
E(Y)＝51×242134?64?90?42＋48×＋45×＋42×＝＝46. 1515555
19．(2013湖南，理19)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D．
而B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D． 解法1：(1)如图，因为BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.
(2)因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ)．
如图，连结A1D，因为棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所
以A1B1⊥平面ADD1A1.
从而A1B1⊥AD1.
又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1.
故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D．
由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.
在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB．从而Rt△ABC∽Rt△DAB， 故ABBC?.即AB
?DAAB
22连结AB1，易知△AB1D是直角三角形， 且B1D2＝BB1＋BD2＝BB1＋AB2＋AD2＝21，
即B1D
在Rt△AB1D中，cos∠ADB1
＝
从而sin θ
AD，即cos(90°－θ)
＝. ??7B1D. . 7即直线B1C1与平面ACD1
所成角的正弦值为
解法2：(1)易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
?????????????从而B1D＝(－t,3，－3)，AC＝(t,1,0)，BD＝(－t,3,0)． ????????因为AC⊥BD，所以AC·BD＝－t2＋3＋0＝0.
解得t?
t?(舍去)． ?????????于是B1D＝
(3，－3)，AC＝
1,0)． ?????????因为AC·B1D＝－3＋3＋0＝0，所以AC⊥B1D，即AC⊥B1D． ??????????????(2)由(1)知，AD1＝(0,3,3)，AC＝
1,0)，B1C1＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则 ??????n?AC?0,?y?0,即 ????????3y?3z?0.?n
?AD1?0,?
令x＝1，则n＝(1
，
．
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则 ??????????n?B1C1sin θ＝|cos〈n，B1C1〉|＝
n?B1C1
. ?7. 7即直线B1C1与平面ACD1
所成角的正弦值为
20．(2013湖南，理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20)，B(－10,0)，C(14,0)处．现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心．
(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：
(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
解：设点P的坐标为(x，y)．
(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为
|x－3|＋|y－20|，x∈R，y∈[0，＋∞)．
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