2016年高考数学理试题分类汇编
圆锥曲线
一、选择题
1、（2016年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y?2px(p?0) 上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为
2
（A
）
2
（B） （C
） （D）1
332
x2y2
?2=1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的2、（2016年天津高考）已知双曲线
4b
两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）
x23y2x2y2x2y2x24y2
?=1（B）?=1（C）?2=1（D）?=1（A）444b412 43
x2y2
3、（2016年全国I高考）已知方程–表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
m+n3m–n（A）(–1,3) （B）(–1,3)（C）(0,3)（D）(0,3)
4、（2016年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB
|=|
DE|=C的焦点到准线的距离为
（A）2（B）4 （C）6（D）8
5、（2016年全国II高考）圆x2?y2?2x?8y?13?0的圆心到直线ax?y?1?0的距离为1，则a=（） （A）?
43
（B）? （C
（D）2 34
x2y2
6、（2016年全国II高考）圆已知F1,F2是双曲线E:2?2?1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，
ab1
sin?MF2F1?,则E的离心率为（）
3
3
（A
（B）（C
（D）2
2
x2y2
7、（2016年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点，A，B分别为C的左，
ab
右顶点.P为C上一点，且PF?x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 （A）
1
3
（B）
12
（C）
23
（D）
3 4
1
x2
2x2
28、（2016年浙江高考） 已知椭圆C1：2+y=1(m>1)与双曲线C2：2–y=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，mn
C2的离心率，则
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m<n且e1e2>1 D．m<n且e1e2<1
选择题
1、C 2、D 3、A 4、B 5、A 6、A 7、A 8、A
填空题
3cc29c2
（c,)在双曲线E上，代入方程，得22=1，1、2 2、2【解析】由题意BC=2c，所以AB=3c，于是点2a4b
222在由a+b=c得E的离心率为e=c=2，应填2. 3
4、9 a二、填空题
x2y2
1、（2016年北京高考）双曲线2?2?1（a?0，b?0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，ab
点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a?_______________.
x2y2
2、（2016年山东高考）已知双曲线E：2?2?1 （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的ab
中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.
3、（2016年上海高考）已知平行直线l1:2x?y?1?0,l2:2x?y?1?0，则l1,l2的距离_______________
4、（2016年浙江高考）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．
三、解答题
x2y21、（2016年北京高考） 已知椭圆C2?2?1 （a?b?0）
，A(a,0)，B(0,b)，O(0,0)，?OABab的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N. 求证：AN?BM为定值.
2
2、（2016年山东高考）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
x2y22??1a＞b＞0
的离心率是，抛物线E：x?2y??22ab2
的焦点F是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与
C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且
垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的坐标.
（1）3、（2016年上海高考）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. S1的最大值及取得最大值时点PS2 y2
双曲线x?2?1(b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线b2
交于A、B两点。
（1）若l的倾斜角为?
2，?F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2
）设b?l的斜率存在，且(F，求l的斜率. 1A?F1B)?AB?0
3 ????????????
5、（2016年四川高考）已知椭圆E的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:y＝－x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（II）设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣· ∣PB∣，并求λ的值.
x2y2113e6、（2016年天津高考）设椭圆2?，?1（a?）的右焦点为F，右顶点为A，已知??a3|OF||OA||FA|
其中O 为原点，e为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，
若BF?HF，且?MOA??MAO，求直线的l斜率的取值范围.
7、（2016年全国I高考）设圆x?y?2x?15?0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，
D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明EA?EB为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
4 22
x2y2
??1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k?0)的直线交E8、（2016年全国II高考）已知椭圆E:t3
于A,M两点，点N在E上，MA?NA．
（Ⅰ）当t?4,|AM|?|AN|时，求?AMN的面积； （Ⅱ）当2AM?AN时，求k的取值范围．
9、（2016年全国III高考）已知抛物线C：y2?2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A，B两点，
交C的准线于P，Q两点．
（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR?FQ；
（II）若?PQF的面积是?ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
x2
210、（2016年浙江高考）如图，设椭圆2?y?1（a＞1）. a
（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
5
参考答案
解答题
x2c12221
、⑴由已知，?ab?1，又a?b?
c，解得a?2,b?1,c?∴椭圆的方程为?y2?1. 4a2
2x0y?2y02⑵方法一：设椭圆上一点P?x0,y0?，则. ?y0?1.直线PA：y?0?x?2?,令x?0，得yM?4x0?2x0?2
∴BM??2y0
x0?2直线PB：y?
x0y0?1?x0. ∴AN?2? x?1,令y?0，得xN?y0?1x0y0?1
22x02y0x0?2y0?2x0?2y0?2x0?4y0?4x0y0?4x0?8y0?4AN?BM?2?????? y0?1x0?2x0?2y0?1x0y0?x0?2y0?22x02将故AN?BM为定值. ?y0?1代入上式得AN?BM=4 42、(Ⅰ) 由离心率是113222，有a=4b，又抛物线x=2y的焦点坐标为F(0,，所以b=，于是a=1， 222
22m2
),(m>0)，由x2=2y得y′=x，所以E在所以椭圆C的方程为x+4y=1．(Ⅱ) （i）设P点坐标为P（m,2
m2
点P处的切线l的斜率为m，因此切线l的方程为y=mx－，设A(x1,y1),B(x2,y2)，D(x0,y0)， 2
4m3m2
222232将y=mx－代入x+4y=1，得（，1+4m)x－4mx+m－1=0．于是x1+x2=21+4m2
x1+x212m3m2－m2
ODy=－x． x0==y=mx－=，又，于是 直线的方程为004m21+4m222(1+4m2)
111x与x=m，得M的坐标为M(m,－)．所以点M在定直线y=－上． 联立方程y=－4m44
m2m2m2m2
，又，（ii）在切线l的方程为y=mx－中，令x=0，得y=－，即点G的坐标为G(0,－22221F(0,2，所以1m(m2+1)S1=mGF=24；再由2m3－m2
2,)4m+12(4m2+1)，得
12m2+12m3+mm(2m2+1)2S12(4m2+1)(m2+1)2S2=2=于是有 ．令t=2m+1，得=222244m+18(4m+1)S2(2m+1)
1
S12(t－t+1)11==2+S2tt2t21t当=
S191122时，即t=2时，取得最大值．此时m=，m=，所以P点4222S2
6
的坐标为S9211,)． 所以1的最大值为，取得最大值时点P的坐标为,． 42424S2
2224.【解析】（1）设??x?,y??．由题意，F2?c
,0?，c?，y??b?c?1??b， 3、（1
）y?．（2
）242因为?F所以2c?y?，即41?b?3b，解得b?2．
故双曲线的渐近线方程为y?． 1??是等边三角形，
??
?2y2
?1?x?l:k?0（2）由已知，F，．设，，直线．显然．由，?2,0F2,0?x,y?x,yy?kx?23?2???11??22????1??y?k?x?2??
222222得k?3x?4kx?4k?3?0．因为l与双曲线交于两点，所以k?3?0，且??361?k?0．设??的中????
?????????????????????x1?x22k2
?2点为??x?,y??．由F知F故kF1??k??1．而x??，?，1??F1?????0即F1???1?????0，2k?3??
y??k?x??2??3k3k36k2l
k??k??1k?，，所以，得，故的斜率为． ?F1?52k2?32k2?3k2?35
5
、有方程组?x2y2?2?2?1, b?2b?y??x?3,?得
3x2?12x?(18?2b2)?0.①方程①的判别式为?=24(b2?3)，由?=0，得b2=3，此方程①的解为x=2，
x2y2
??1. 点T坐标为所以椭圆E的方程为63
（2,1）. 4m4m2?122m,x1x2?由②得x1?x2=?.
所以PA????x1 ，
333
同理PB?2m??x2，所以3
7
PB?PB?52m2m52m22m(2??x1)(2??x2)?(2?)?(2?)(x1?x2)?x1x2433433
4252m22m4m4m2?12102?m.故存在常数??，使得PT??PA?PB. ?(2??(2???5943333
6、
（2）（Ⅱ）
?x2y2
?1?解：设直线l的斜率为k（k?0），则直线l的方程为y?k(x?2).设B(xB,yB)，由方程组?4，消去y，3?y?k(x?2)?
?12k8k2?68k2?6y?x?整理得(4k?3)x?16kx?16k?12?0.解得x?2，或x?，由题意得，从而. BB2224k?34k?34k?32222
9?4k212k,.由BF?HF，得??0，由（Ⅰ）知，F(1,0)，设H(0,yH)，有FH?(?1,yH)，?(24k?34k2?3
9?4k212kyH9?4k219?4k2
?2?0，解得yH?所以2.因此直线MH的方程为y??x?. 12kk12k4k?34k?3
?19?4k2
20k2?9?y??x?设M(xM,yM)，由方程组?.在?MAO中，k12k消去y，解得xM?212(k?1)?y?k(x?2)?
20k2?9?MOA??MAO?|MA|?|MO|，即(xM?2)?y?x?y，化简得xM?1，即，解得k???1412(k2?1)22
M2M2M
或k?66. 所以，直线l的斜率的取值范围为(??,??[,??). 444
??ACD??ADC，所以|EB|?|ED|，故7、（Ⅰ）因为|AD|?|AC|，EB//AC，故?EBD
|EA|?|EB|?|EA|?|ED|?|AD|. 又圆A的标准方程为(x?1)2?y2?16，从而|AD|?4，所以|EA|?|EB|?4.
x2y2
??1（y?0）. 由题设得A(?1,0)，B(1,0)，|AB|?2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：43
8
、⑴当t?4时，椭圆E的方程为x2
4?y2
83?1，A点坐标为??2，0?，则直线AM的方程为y?k?x?2?．
?
联立?x2y2
?4?3?1并整理得，22228k2?6??3?4k?x?16kx?16k?12?0,解得x??2或x???y?k?x?2?3?4k2，
AM??2?123?4k2 因为AM?AN，所
12
2?12
3?4???AN，k?0，
?1?3k? 因为AM?1?k??k
12
3?4k2?123k?，整理得?k?1??4k2?k?4??0，
k
4k2?k?4?0无实根，所以k?1．
则以9
1所以△
AMN的面积为AM22112?144?． ??23?4?492
?x2y2
?1??22222t3⑵直线AM
的方程为y?kx
，联立?并整理得，?
3?tk?x?2x?tk?3t?0
?y?kx????AM?
解得x?
x?
AN?因为2AM?AN
所以
26k2?3k? ．，整理得，t?3k?2所以
k2?1??k?2?6k2?3k??3，整理得因为椭圆E的焦点在x轴，所以t?3，即3?0
?k?
2．
3k?2k?2
9、
10
?y?kx?1?22221?akx?2akx?0，故x1?0，10、（I）设直线y?kx?1被椭圆截得的线段为??，由?x2得??2??a2?y?1
x2a2k2a2k
2??1?
a2k2．因此???1?x2?1?a2k2
（II）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点?，Q，满足 ????Q．记直线??，?Q的斜率分别为k1，k2，且k1，k2?0，k1?k2．
11
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