高中数学竞赛专题讲座
1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另
一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．
2． 射影定理（欧几里得定理）
3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P，则有AB2?AC2?2(AP2?BP2)； 中线长：ma?2b2?2c2?a2． 2
22224． 垂线定理：AB?CD?AC?AD?BC?BD． 高线长：ha?2bcp(p?a)(p?b)(p?c)?sinA?csinB?bsinC． aa
5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．
如△ABC中，AD平分∠BAC，则BD?AB；（外角平分线定理）． DCAC
角平分线长：ta?
6． 正弦定理：22bcA． (p?a)?cos（其中p为周长一半）b?cb?c2abc（其中R为三角形外接圆半径）． ???2R，sinAsinBsinC
2227． 余弦定理：c?a?b?2abcosC．
8． 张角定理：sin?BAC? sin?BAD?sin?DAC．
ADACAB
9． 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD．
10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）
11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．
12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）
13． 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线
必平分对边．
14． 点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一
直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．
15． 托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广
义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．
16． 蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．
17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外
接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．
18． 拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF
＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1 、⊙A1 、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1 、⊙A1 、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2 、⊙A2 、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2 、⊙A2 、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还
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